2011届武穴高三文科数学模拟题

2011届高三文科数学模拟题
武穴中学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若23456(1)161520156n x x x x x x x +=++++++，则n 等于（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2.一个球的直径为6，则此球的体积为（ ） A ．288π
B ．36π
C ．144π
D ．72π
3.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
（1）
//////αββγαγ⎫
⇒⎬
⎭（2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭
（3）
//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭（4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭
，其中，假命题是
A 、（1）（2）
B 、（2）（3）
C 、（1）（3）
D 、（2）（4）
4.已知空间向量a =（1，0），b =（2，k ），6
0a b <>=︒，，则k 的值为（ ）
A ．
B ．-
C ．±
D ． 5.已知直线6
x π
=
是函数sin cos y a x b x =-图象的一条对称轴，则函数
sin cos y b x a x =- 图象的一条对称轴方程是
A 、6
x π
=
B 、3
x π
=
C 、2
x π
=
D 、
6.曲线y = 2x 3 + x ，在点P （1，a ）处的切线方程是（ ） A ．0727=-+-a y x B ．047=--y x C ．047=+-y x
D ．077=-+-a y x
7.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和
2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是
A 、1(2,)2
B 、1(,2)2-
- C 、1
(,1)2
-- D 、(1,1)--
8.函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-=)0()0(12)(31x x x x f x ，则不等式1)(≥x f 的解集是（ ）
A ．),1[∞+
B ．),1(∞+
C ．),1()1,(∞+-∞-
D ．),1[]1,(∞+-∞-
9.若如图，正方形ABCD
的顶点A
，B ，顶点C D 、
位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将正方形ABCD
()f t ，则函数()S f t =的图象大致是
A 、3-
B 、2-
C 、1-
D 、10. 函数
2
()
(0),()f x a x b x c a f x =++≠的导函数是()f x '，集合
{}{}A ()0,()0x f x B x f x '=>=>，若B A ⊆，则 ( )
A ．2
0,40a b ac <-≥ B ．2
0,40a b ac >-≥ C ．2
0,40a b ac <-≤ D ．2
0,40a b ac >-≤
第Ⅱ部分 （非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11.直线242x ay x py +==与抛物线交于A 、B 两点，点A （2，1），设抛物线的焦点为F ，则||||FA FB +=_______________． 12.已知点P （x ，y ）在曲线4
y x
=
上运动，作PM 垂直x 轴于M ，则△POM （O 为坐标原
点）的周长的最小值为______________．
13.若||2,||4==a b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是 ．
14. 函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
n mx y +=的图象上，其中0mn >，则
12
m n
+的最小值为 ． 15.用5种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有1、2、3、4、5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为________________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16
、已知函数2
()cos 2
f x x x x =+ （1）求()f x 的单调增区间
（2）在直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象。

17.(1)某车场有一排16个停车位，现要停12辆汽车，求：事件“恰有四个空位连在一起发生的概率．
(2)从5男4女中选3位代表去参观学习，求3个代表中至少有一个女同志的概率． （均用数字作答）
18、已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，1()(())n n g x f g x -=(1,)n n N *
>∈
（1）求2()g x ，3()g x 的表达式，并猜想()n g x ()n N *
∈的表达式（直接写出猜想结果） （2）若关于x 的函数2
1
()()n
i i y x g x n N
*
==+∈∑在区间(,1]-∞-上的最小值为6，求n 的
值。

（符号“
1
n
i =∑”表示求和，例如：1
123n
i i n ==+++
+∑。

）
19、如图，梯形ABCD 中，//CD AB ，1
2
AD DC CB AB ===
，E 是AB 的中点，
将ADE ∆沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置，且二面角P DE C --的大小为
120 （1）求证：DE PC ⊥
（2）求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小 （3）求点D 到平面PBC 的距离
A
E
B
P
20、已知点P 是圆22
1x y +=上的一个动点，过点P 作PQ
O M O P O Q =+
（1）求点M 的轨迹方程
（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标 （3）判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论。

21.设x 1、x 2是函数32
1()(0)32
a b f x x x x a -=
++>的两个极值点． (1)若1224x x <<<，求证：'(2)3f ->； (2)如果121||22x x x <=，|-|，求b 的取值范围；
(3)如果211222()a x x x x x ≥-=∈，且，，时，求函数2()|'()2()|g x f x x x =+-的最大值h (a )．
数学试题参考答案（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．7 12．4+ 13．
23
π 14．8
15．1200
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.123()222sin(2)24
cos x f x x x x x π+=+==- 3222,2
42
k x k k Z π
ππ
ππ∴-
+≤-
≤+∈ ∴ 函数()y f x =的单调增区间为5[,],88
k k k Z ππ
ππ++∈
（2）图象（略）
17．解：(1) 16个停车位停12辆车有124
1616n C C ==种
而发生四个空位连在一起的情况数为m = 13种
故所求的概率14
16131
140
P C == (2) 从9人中选三位代表有3
9n C =种
而至少有一位女同志有12213
4
545474m C C C C C =++=种 故所求概率3
522339974743737
1)844242
C P P C C ==
==-= (或 18．（1）
1()()1g x f x x ==+，21()(())(1)(1)12g x f g x f x x x ∴==+=++=+
32()(())(2)(2)13g x f g x f x x x ==+=++=+，∴猜想()n g x x n =+
（2）
()n g x x n =+，121
(1)
()()()()2
n
i n i n n g x g x g x g x nx =+∴=++
+=+
∑ 22
2
21
(1)2()()224n
i i n n n n n
y x g x x nx x =++∴=+=++=++∑
（A ）当12n
-≥-，即2n ≤时，函数222()24n n n y x +=++在区间(,1]-∞-上是减函数
∴ 当1x =-时，2min
2
62
n n y -+==，即2100n n --=，该方程没有整数解
（B ）当12
n
-<-，即2n >时，2min 264n n y +==，解得4n =，综上所述，4n =
19、（1）连结AC 交DE 于F ，连结PF ，//CD AB ，BAC ACD ∴∠=∠，又A D C D =， DAC ACD ∴∠=∠，BAC DAC ∴∠=∠，即CA 平分BAD ∠，ADE ∆是正三角形，
AC DE ∴⊥，即PF DE ⊥，CF DE ⊥，DE PCF ∴⊥面，DE PC ∴⊥
（2）过P 作PO AC ⊥于O ，连结OD ，设AD DC CB a ===，则2AB a =，
DE PCF ⊥面，
DE PO ∴⊥，PO BCDE ∴⊥面，PDO ∴∠就是直线PD 与平面BCDE 所成的角。

PFC ∠是二面角P DE C --的平面角，60PFO ∴∠=，在Rt POD ∆中，
3sin 4PO PDO PD ∠=
=，∴直线PD 与平面BCDE 所成角是3
arcsin 4
（3）
//DE BC ，DE 在平面PBC 外，//DE PBC ∴面，D ∴点到面PBC 的距离即为
点F 到面PBC 的距离，过点F 作FG PC ⊥，垂足为G ，
DE PCF ⊥面，
BC PCF ∴⊥面
PBC PCF ∴⊥面面，FG PBC ∴⊥面，FG ∴的长即为点F 到面PBC 的距离，菱形
ADCE 中，
AF FC =
，2
PF CF a ∴==
，120PFC ∠=，30FPC FCP ∴∠=∠=，
124
FG PF ∴=
= 20、解：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,
)
O P x y =，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=
2222
12,1,124x x x x x x y y y y y y
⎧
==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩
（2）设向量OP 与OM 的夹角为α，则2222222(1)cos 31||||4x OP OM
x OP OM
x y
α+⋅=
==+⋅
+ 令2
31t x =+
，则
cos 3
α==≥
当且仅当
2t =时，即P 点坐标为(33±
±时，等号成立。

OP ∴与OM 夹角的最大值是arccos
3
21．解：由已知：2'()(1)1f x ax b x =+-+
故12'()0x x f x =，是方程的两根 (1)
由于
12'(2)0421024'(4)016430f a b x x f a b <+-<⎧⎧<<<⎨⎨
>+->⎩⎩①
故即②
由于
'(
2)f a b -=-
+
①×(– 3)＋②得：4a – 2b > 0 ∴ '(2)3f -> (2) 由韦达定理1212110b x x a
x x a -⎧
+=⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩
故12121212
1111
11x x b b x x x x x x +-==+=--即
当11221
0200x x x x a
<<=>>时，则得
这时，由2121||22x x x x -==+得
即12111112(1)112
1()111
2(1)1(1)1
x b x x x x x +=-+=-=-
++-+-
+为增函数（也可用求导
法来证），故111
1()244b <-+=
当11211112021()2
x x x b x x -<<-==-+-时，有，则也为增函数 故这时，1171(
)2224
b >-+=--- 综上，b 的取值范围是17
()()44
-∞+∞，，
(3) ∵ 211222'()()()a x x f x a x x x x ≥-==--，故可设
∴ 2212
()|'()2()||()()|g x f x x x a x x x x a =+-=--+
∵ 12()x x x ∈， ∴ 2112000x x x x x x a
-<->-+
>，， ∴ 2
2121221
()()()22x x a g x a x x x x a a a a ⎡
⎤-+⎢⎥=--+≤=++⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
当且仅当1221111
122x x a x x x x x x a a
+-=-+=-=+-即等号成立
∴ 1
()2[2)h a a a a
=++∈+∞，。