[K12配套]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 2.1 抛物线及其标准方程

2.1抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一抛物线的定义
思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫作抛物线．
(2)焦点：________.
(3)准线：________.
知识点二抛物线的标准方程
思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
思考2抛物线标准方程的特点？
思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
梳理抛物线的标准方程有四种类型
类型一抛物线定义的解读
例1方程(x＋3)2＋(y－1)2＝|x－y＋3|
2
表示的曲线是()
A．圆B．椭圆
C．线段D．抛物线
反思与感悟根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．
跟踪训练1若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________．
类型二抛物线的标准方程及求解
命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y＝ax2(a≠0)．
引申探究
1．将例2(4)的方程改为y2＝ax(a≠0)结果如何？
2．将例2(4)的方程改为x2＝ay(a≠0)，结果如何？
反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练2 已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 为( )
A ．2
B ．1 C.12
D.14
命题角度2 求抛物线的标准方程
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；
(3)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF|＝5.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行
化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴
上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值． 跟踪训练3 根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)焦点为(－2,0)； (2)焦点到准线的距离是4； (3)过点(1,2)．
类型三抛物线在实际生活中的应用
例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
1．抛物线y2＋x＝0的开口()
A．向上B．向下
C．向左D．向右
2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为()
A．(1,0)，x＝－1 B．(2,0)，x＝－2
C ．(3,0)，x ＝－3
D ．(4,0)，x ＝－4
3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．x 2＝－3y
D ．x 2＝－6y
4．抛物线x 2＝8y 上的点M 到x 轴的距离为6，则点M 与抛物线的焦点间的距离为________． 5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－3；
(2)抛物线与椭圆x 24＋m ＋y 23＋m
＝1的一个焦点相同．
1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx(m ≠0)，此时焦点坐标为F(m
4，0)，准线方程为x ＝－m
4
；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my(m ≠0)，此时焦点为F(0，m 4)，准线方程为y ＝－m
4.
2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫作抛物线的焦半径．若M(x 0，y 0)在抛
物线y 2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x 0＋p
2.
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 平面内与一个定点F 和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．
思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．
梳理 (1)相等 (2)点F (3)直线l 知识点二
思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向． 思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p
2.
思考3 一次项变量为x(或y)，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究
例1 D [(x ＋3)2＋(y －1)2 ＝
|x －y ＋3|
2
，
它表示点M(x ，y)与点F(－3,1)的距离等于点M 到直线x －y ＋3＝0的距离，且点F(－3,1)不在直线上．
根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．] 跟踪训练1 抛物线
解析 由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x. 例2 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，
2p ＝6，p ＝3，p 2＝3
2
，
所以焦点坐标为(－3
2，0)， 准线方程为x ＝3
2.
(2)将3x 2＋5y ＝0化为x 2＝－5
3
y ，
知抛物线开口向下，
2p ＝53，p ＝56，p 2＝512
，
所以焦点坐标为(0，－5
12)， 准线方程为y ＝5
12.
(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14
y ，
知抛物线开口向上，
2p ＝14，p ＝18，p 2＝116
，
所以焦点坐标为(0，1
16)， 准线方程为y ＝－1
16.
(4)抛物线方程y ＝ax 2可化为x 2＝1a
y ，
当a>0时，2p ＝1a ，p ＝1
2a ， 故焦点坐标是(0，1
4a )， 准线方程是y ＝－14a .
当a<0时，2p ＝－1
a ，p ＝－1
2a ， 故焦点坐标是(0，14a )， 准线方程是y ＝－14a .
综上，抛物线y ＝ax 2的焦点坐标(0，1
4a )， 准线方程为y ＝－1
4a .
引申探究
1．焦点是(a 4，0)，准线方程是x ＝－a
4.
2．焦点是(0，a 4)，准线方程是y ＝－a
4
.
跟踪训练2 A [注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p
2， 曲线x 2＋y 2－6x －7＝0， 即(x －3)2＋y 2＝16，
它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆． 由题意得⎪⎪⎪⎪p
2＋3＝4. 又p>0，因此有p 2＋3＝4， 解得p ＝2，故选A.]
例3 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上且过点(－3,2)时， 可设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)， 把(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)， ∴p ＝2
3，
∴所求抛物线方程为y 2＝－4
3x.
当抛物线的焦点在y 轴上且过点(－3,2)时， 可设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝9
4，
∴所求抛物线方程为x 2＝9
2y.
综上，所求抛物线方程为y 2＝－4
3x 或x 2＝9
2y.
(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)，
故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，
当抛物线的焦点为(4,0)时， 设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)， ∵p
2＝4，∴p ＝8， ∴抛物线方程为y 2＝16x. 当抛物线的焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)， ∵－p 2＝－2，∴p ＝4， ∴抛物线方程为x 2＝－8y.
综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或
x 2＝－8y.
(3)设所求焦点F 在x 轴上的抛物线的标准方程为 y 2＝2px(p ≠0)，A(m ，－3)．
则由抛物线的定义得
|AF|＝⎪⎪⎪
⎪m ＋p
2＝5， ∵点A 在抛物线上， ∴(－3)2＝2pm ， 从而可得p ＝±1或p ＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x. 跟踪训练3 解 (1)焦点在x 轴的负半轴上，
p
2
＝2，即p ＝4. 所以抛物线的方程是y 2＝－8x.
(2)p ＝4，抛物线的方程有四种形式： y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y.
(3)方法一 点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论：
当抛物线的焦点在x 轴上时，
设抛物线的方程为y 2＝2px (p>0)，
则22＝2p·1，解得p ＝2，
∴抛物线方程为y 2＝4x ；
当抛物线的焦点在y 轴上时，
设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，
则12＝2p·2，解得p ＝14
， ∴抛物线方程为x 2＝12y.
方法二 设所求抛物线的标准方程为
y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点(1,2)代入，得m ＝4，n ＝12，
故所求的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y.
例
4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)．由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故
p ＝85，得x 2＝－165
y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A(2，y A )，
由22＝－165y A ，得y A ＝－54.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，
所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航． 跟踪训练4 解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)． 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p ×(－4)，2p ＝25.
即抛物线方程为x 2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6. 由图知，AB 是最长的支柱之一． 设点B 的坐标为(2，y B )， 代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425. 所以|AB|＝4－425＝3.84， 即最长支柱的长为3.84米． 当堂训练
1．C 2.B 3.D 4.8
5．解 (1)准线方程为y ＝－3， 则p 2＝3，p ＝6，
所以抛物线的标准方程为x 2＝12y.
(2)椭圆x 24＋m ＋y 2
3＋m
＝1的焦点坐标为F 1(1,0)， F 2(－1,0)， 所以抛物线的标准方程为y 2＝±4x.。