江苏省姜淮高考复读学校高三数学寒假作业2

2012届高三数学寒假作业二
一、填空题：（共70分）
1、命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是__ __.
2、函数)3
(sin 12π+-=x y 的最小正周期是 ．
3、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .
4、某算法的伪代码如右：则输出的结果是 .
5、将复数3
i 321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为________.
6、已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则2
12b a a -的值为__ __.
7、已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是12
，焦距是8，则该椭圆的方程为 ．
8、已知抛物线y 2=4x
的准线与双曲线2
22x y 1a
-=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________． 9、函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π上的最大值是
10、在△ABC 中，已知向量4
1|
|||0)||||(=⋅=⋅+AC AC AB AB BC AC AC AB AB AC AB 且满足与，若△ABC 的面积是215，
则BC 边的长是 ．
11、已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是
12、抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数π()sin 3
a f x x =，则“ )(x f y =在[0，4]上至少有5个零点”的概率
是 ．
13、对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：
①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点A （1，0）对称； ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2； ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线0=x 对称. 其中正确命题的序号是 ．
14、已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且32BC =，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 15、（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()
sin ,12
A -.
（1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.
16、（本小题满分14分）
如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，△PMB为正三角形。

（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。

17、（本小题满分14分）
已知以点P为圆心的圆过点A（－1,0）和B（3,4）,线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D,且|CD|=410, (1) 求直线CD的方程; （2）求圆P的方程；（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q 共有几个？证明你的结论.
18．（本题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于
E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）
（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；
（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DE 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．
19、（本题满足16分）
水土流失是我国西部大开发中最突出的问题,全国9100万亩坡度为︒25以上的坡耕地需退耕还林,其中西部占70%,2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%. ⑴试问,从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题?
⑵为支持退耕还林工作,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.7元计算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?
20、（本小题满分16分）已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x
=．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程0)3|
12|2
(|)12(|=--+-x
x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．
2012届高三数学寒假作业二参考答案
1. 存在01,23>+-∈x x R x
2. π
3. 85，1.6
4. 9
5. i 10
7101+ 6. 21 7. y 264 + x 2
48=1 8.
3
9．
6
π 10． 11．a ≥1 12．23 13．① ② ③ 14．18π
15.解:（1）m ·n ＝2sin 2
A －()
22cos 12sin cos()22B C A B C +-=-+. ……………3分
因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ， 于是m ·n ＝2sin 2A ＋cos A ＝－22sin 2sin 122A A ++＝－2213(sin )222
A -+.………5分
因为()
π0,22A ∈，所以当且仅当sin 2A ＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值32.
故m ·n 取得最大值时的角A ＝π3
. ……………………7分
（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得 b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A …9分
即bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号.
… 12分
又S △ABC ＝12
bc sin A 当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 分
16、证明：（I ）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线
∴AP MD ∥ APC AP APC MD 面面⊂⊄,
∴APC MD 面∥ …………………………4分
（II ）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点
∴PB MD ⊥，∴PB AP ⊥又P PC PB PC AP =⋂⊥,
∴PBC AP 面⊥ ………………………………………6分 PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥
又A AP AC AC BC =⋂⊥, APC BC 面⊥∴ …8分
ABC BC 面⊂ ∴平面ABC ⊥平面APC ……10分
（III ）由题意可知，PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥D —BCM 的高，
∴7103
1==-Sh V DBC M ………………14分
17、解：（1）∵1AB k =,AB 的中点坐标为（1,2） ∴直线CD 的方程为：2(1)y x -=--即30x y +-=
（2）设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-=-----------------①
又直径|CD|=|PA|=∴22(1)40a b ++=----------------------------------------------② ①代入②消去a 得24120b b --=， 解得6b =或2b =-
当6b =时3a =-，当2b =-时5a =
∴圆心P (-3,6)或P （5,－2）
∴圆P 的方程为：22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=， （3）∵
∴当△QAB 面积为8时，点Q 到直线AB
的距离为
又圆心到直线AB
的距离为P
的半径r =
> ∴圆上共有两个点Q ，使△QAB 的面积为8.
18.解（Ⅰ）以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．
设()00,y x P ，()
0,3B ，()1,0D ，
圆弧DE 的方程()0,0122≥≥=+y x y x
切线l 的方程：100=+y y x x （可以推导：设直线l 的斜率为k ， 由直线l 与圆弧DE 相切知：l AP ⊥，所以0
0y x k -=， 从而有直线l 的方程为()00
0x x y x y y --
=-，化简即得100=+y y x x ）
． 设l 与AB 、CD 交于F 、G 可求F （01,0x ），G （
00
1,1y x -
），l 平分矩形ABCD 面积，
∴00
1120y FB GN y x x -==⇒+-= ……①
又2
2001x y +
=……② 解①、②得：00
11,
)22
x y P =∴．
（Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l 20y +-=，
当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切，设圆M 与直线l 、DC BC 、分别切于T Q R 、、，则r
MQ MT MR ===（r 为圆M 的半径）．
∴M ,1)r r -
1(),r r r
⇒
舍
∴M 点坐标为．
19、解：⑴设2002年起经x 年西部地区基本上解决退耕还林问题.依题意, 得:()()()
%709100%121515%121515%1215155151
2
⨯=+⨯+++⨯++⨯+-x
[]
637012.112.112.1151512=++++⨯-x 1031274515637012.1112.112.111==-⨯--x ⇒1031274
12.0112.1=
-x
整理得:03.80492
.03592
.012.1lg 4843.2lg 4843.2log 4843.212.112.1≈≈=
≈⇒≈x x
又N x ∈,故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题 ⑵设到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付y 亿元.
首批退耕地国家应支付:
()8207.0300105154
⨯+⨯⨯⨯, 第二批退耕地国家应支付:()()7207.0300%201105154
⨯+⨯⨯+⨯⨯, 第三批退耕地国家应支付:()()6207.0300%201105152
4
⨯+⨯⨯+⨯⨯,
… … … … …
最后一批退耕地国家应支付:()()1207.0300%201105157
4
⨯+⨯⨯+⨯⨯,
()()
87241012.1112.1612.178207.030010515⨯++⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=
y
令7
212.1112.1612.178⨯++⨯+⨯+= S …①
83212.1112.1612.1712.1812.1⨯++⨯+⨯+⨯= S …②
②－①得:()8
73212.1112.112.112.112.1812.0⨯+++++⨯-= S 12.012
.1773.2812.012.112.1812.1112.112.112.1812.098-+
-≈-+-=-⨯-+-=S
解得:1.48≈S ,故:()7.569101.48230105158
4≈÷⨯⨯⨯≈y (亿元)
答:到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元. 20、解:（Ⅰ）(1)2()(1)1g x a x b a =-++-
当0>a 时，[]()2,3g x 在上为增函数
故(3)2
96251(2)544220g a a b a g a a b b =-++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨
=-++==⎩⎩⎩ 当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数
故(3)2
96221(2)244253
g a a b a g a a b b =-++==-⎧⎧⎧⇒⇒⎨
⎨⎨
=-++==⎩⎩⎩
011==∴<b a b 即2()21g x x x =-+. ()1
2f x x x
=+
-. （Ⅱ）方程(2)20x x f k -⋅≥化为1
2222
x x x k +
-≥⋅ 2111(
)222x x k +-≥，令t x
=21，221k t t ≤-+ ∵]1,1[-∈x ∴]2,2
1[∈t 记12)(2+-=t t t ϕ∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤ （Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-x
x k f 化为0)32(|
12|21|12|=+--++-k k x x 0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x ≠-
令t x =-|12|， 则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠） ∵方程0)32(|
12|21|12|=+--++-k k x
x 有三个不同的实数解， ∴由|12|-=x t 的图像知，
0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ，
且21t 1t 0<<< 或 101<<t ，1t 2= 记)21()32()(2k t k t t +++-=ϕ
则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ 或 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<+<=-=>+=12k
3200k )1(0k 21)0(ϕϕ∴0k >。