高二数学椭圆 双曲线知识精讲 B 试题

卜人入州八九几市潮王学校高二数学椭圆双
曲线知识精讲
一.本周教学内容： 椭圆；双曲线 教学目的：
1.理解圆锥曲线的实际背景，掌握椭圆和双曲线的定义、HY 方程、几何图形及其简单性质；
2.掌握求椭圆和双曲线HY 方程的求法，会分析椭圆和双曲线的简单性质。

二.重点、难点：
重点：椭圆和双曲线的定义、HY 方程、几何图形及其简单性质； 难点：椭圆与双曲线的HY 方程的建立和推导及其几何性质的实际应用。

知识分析 〔一〕椭圆
1.椭圆的定义：在平面内，与两个定点F 1，F 2的间隔之和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点〔记为M 〕的轨迹〔或者集合〕叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的间隔叫做椭圆的焦距。

用符号表示为
12MF MF 2a +=〔常数〕
说明：
〔1〕“在平面内〞是前提，否那么得不到平面图形〔去掉这个条件，我们将得到一个椭球面〕； 〔2〕“两个定点〞的设定不同于圆的定义中的“一个定点〞，学习时注意区分；
〔3〕作为到这两个定点的间隔的和的“常数〞，必须满足大于|F 1F 2|这个条件。

假设不然，当这个“常数〞等于|F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数〞小于|F 1F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

〔4〕下面我们对椭圆进展进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1，A 2，B 1，B 2，于是我们易得|A 1A 2|的值就是那个“常数〞，且|B 2F 2|、|B 2F 1|、|B 1F 2|、|B 1F 1|也等于那个“常数〞。

这样，在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|=c ，|B 2F 2|=a ，于是|OB 2|2
=a 2
－c 2。

从而|OB 2|也有一定的意义了。

2.椭圆的HY 方程 〔1〕椭圆的HY 方程的推导
椭圆的HY 方程的推导采用的是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意：
①曲线的方程依赖于坐标系，曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，所以为了使方程简单，必须注意坐标系的选择。

求椭圆的方程时，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方。

同学们通过观察椭圆的图形或者根据椭圆的定义进展推理，可以发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。

②在求方程时，设椭圆的焦距为2c 〔c>0〕，椭圆上任意一点到两个焦点的间隔的和为2a 〔a>0〕，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便导出的椭圆的方程形式简单。

③对带根式的方程的化简是同学们感到困难的，特别是由点M 适宜的条件所列出的方程为两个根式的和等于一
个非零常数，即
2a =的化简整理需要多加注意。

一方面，教材采用的是
分子有理化加一次开方的处理方法，这时应注意x=0时的特殊情形；〔详细解法见教材P42～43〕另一方面，我们也可以采用移项加两次平方的方法，这种方法不需要讨论，但运算较费事。

过程如下： 以下同教材处理方式。

这里令2
22a
c b -=是为了使方程的形式整齐而便于记忆，同时b 还有特定的几何意义。

④在学习曲线和方程的概念时，我们知道，求得椭圆的方程以后，一般应证明所求得的方程确是椭圆的方程，就是说，要证明坐标适宜方程的点在椭圆上。

由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材不要求也没有给出证明，对同学们也不做要求。

〔2〕中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆HY 方程分别为： 一样点是：形状一样、大小一样；都有a>b>0，2
22a
c b =+。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同〔第一个椭圆的焦点坐标为〔－c ，0〕和〔c ，0〕，第二个椭圆的焦点坐标为〔0，－c 〕和〔0，c 〕。

椭圆的焦点在x 轴上⇔HY 方程中x 2
项的分母较
大；椭圆的焦点在y 轴上⇔HY 方程中y 2
项的分母较大。

〔3〕另外，形如2
2
Ax By C +=中，只要A ，B ，C 同号，就是椭圆方程，它可以化为
22
x y 1C C A B
+=。

例如，方程2
2
2x 3y 6+=就是椭圆方程，它可以化为HY 方程22
x y 132
+=
，这时a b == 3.椭圆的几何性质
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的
本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率。

对于第一类性质，只要22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的有关性
质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出22
22y x 1(a b 0)a b
+=>>的有关性质。

总结如下：
方程 )0b a (1b y a x 22
22>>=+ )0b a (1b x a y 2
2
22>>=+
图形
范围 b y b -a,x a ≤≤≤≤-
a y a ,
b x b ≤≤-≤≤- 对称性 关于x 轴，y 轴，坐标原点对称
关于x 轴，y 轴，坐标原点对称
顶点
A 1〔-a ，0〕，A 2〔a ，0〕
B 1〔0，-b 〕，B 2〔0，b 〕
A 1〔0，-a 〕，A 2〔0，a 〕
B 1〔-b ，0〕，B 2〔b ，0〕
离心率
)1e 0(a
c
e <<=
〔1〕当e 趋近于1时，c 趋近于a ，从而2
2c a b -=
越小，因此椭圆越扁平；
〔2〕当e 趋近于0时，c 趋近于0，从而b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆。

另外，在以下列图中，椭圆的离心率e=cos ∠OF 2B 2
例1.椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,1)6(P 1，)2,3(P 2--，求椭圆方程。

解析：设所求椭圆方程为)n m 0,n ,0m (1ny m x
22
≠>>=+且
由于P 1、P 2为椭圆上的点，因此有 解得3
1n ,91m
== 所求椭圆方程为：13
y 9x 2
2=+ 点评：由于此题的条件并不能确定焦点所在的坐标轴，假假设设1b y a x 2222=+或者1b
x a y 22
22=+来求解，
必然会出现较为复杂的运算，所以一般在不能确定焦点位置时，常设)0n ,0m (1ny m x
22
>>=+来求解。

例2.椭圆的长轴是短轴的三倍，长轴和短轴都在坐标轴上，且过点A 〔3，0〕，求椭圆的方程。

解析：由题意可知，椭圆中心在原点
〔1〕假设椭圆长轴在x 轴上，设方程为： ∵椭圆过点A 〔3，0〕，∴a=3，由于2a=3×2b
∴b=1，即椭圆方程为：1y 9
x 22
=+ 〔2〕假设椭圆长轴在y 轴上，设方程为： ∵椭圆过点A 〔3，0〕，∴b=3，同理可得a=9
∴椭圆方程为：
19
x 81y 2
2=+ 综上所述所求椭圆方程为：1y 9x 2
2=+或者181
y 9x 22=+ 点评：由于条件中说明了椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，可以确定该椭圆应为HY 方程的椭圆，但不能确定长轴、短轴的位置，所以应分类讨论。

例3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23e =
，点P 〔0，2
3
〕到这个椭圆上的点的最远间隔是
7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的间隔等于7的点的坐标。

解析：设所求椭圆方程为)0b a (1b
y a x 22
22>>=+
由222
c b a
+=，得a=2b
故所求椭圆方程为：)0b (1b
y b 4x 22
2
2>=+ 设M 〔x 0，y 0〕是椭圆上任一点，那么2
022
0y 4b 4x -=
假设21b >
，那么当2
1y 0-=时，73b 4|PM |2
max =+= ∴b=1
假设2
1
b 0<
<，那么当b y 0-=时，7b 23)23b (|PM |2max =-=-=，无解
综上所述b=1，故所求椭圆方程为：
7|PM |max = 时，2
1
y 0-=
所以椭圆上到P 点的间隔等于
7的点有两个〔2
1,3-
±〕
点评：所求椭圆方程是HY 方程，其中2
3
e =
，说明a=2b ，以b>0作为方程的参数，再根据题设中的最值条件求出b 的值。

例4.2003年10月15日9时，“神舟〞五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开场巡天飞行。

该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆。

选取坐标系如下列图，椭圆中心在原点。

近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km 。

地球半径R=6371km 〔如下列图〕 〔1〕求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
〔2〕飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱别离，完毕巡天飞行，飞船一共巡天飞行了约6×105
km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s ？〔结果准确到1km/s 〕〔注：km/s 即千米/秒〕
解：〔1〕设椭圆的方程为1b
y a x 2222=+。

由题设条件得
解得a=6646，c=75 所以44169316a
2
=
∴所求椭圆的方程为
144163691
y 44169316x 2
2=+ 〔注：由
5768.664544163691≈得椭圆的方程为16
.6645y 6646x 2
2
22=+，也是正确的〕 〔2〕从15日9时到16日6时一共21个小时，即21×3600s 。

减去开场的9分50秒，即9×60+50=590〔s 〕，再减去最后多计的1分钟，一共减去590+60=650〔s 〕，得飞船巡天飞行的时间是是21×3600－650=74950〔s 〕
平均速度是
)s /km (874950
60000≈
所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s 。

点评：此题的近地点即为a-c ，远地点即为a+c ，从而确定椭圆的HY 方程。

例5.设F 1
、F 2
为椭圆14
y 9x 2
2=+的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P 、F 1
、F 2
是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
|
PF ||
PF |21的值。

解法一：由|PF 1|+|PF 2|=6，52|F F |2
1=
根据直角的不同位置，分两种情况 假设∠PF 2F 1为直角，那么2212221
|F F ||PF ||PF |+=
即20|)PF |6(|PF |2121
+-=，得3
4|PF |,314|PF |21==
故
2
7
|PF ||PF |21= 假设∠F 1PF 2为直角，那么2221221|PF ||PF ||F F |+=
即2121|)PF |6(|PF |20
-+=
得2|PF |,4|PF |21==
故
2|
PF ||
PF |21= 解法二：由椭圆的对称性不妨设P 〔x ，y 〕〔x>0，y>0〕，那么由可得F 1〔5-，0〕，F 2
〔5，0〕
根据直角的不同位置，分两种情况
假设∠PF 2F 1为直角，那么P 〔
5，
3
4
〕 于是2
7|PF ||PF |,34
|PF |,314|PF |2121
===
故 假设∠F 1PF 2为直角，那么
解得5
54y ,553x ==
，即P 〔
5
5
4,553〕
于是|PF 1|=4，|PF 2|=2
故
2|
PF ||
PF |21= 点评：由于题中仅△PF 1F 2为一个直角三角形，直角顶点未明确，所以应分类讨论。

同时，由于P 为椭圆上一点，利用|PF 1|+|PF 2|=6来求解。

〔二〕双曲线
1.双曲线的定义：在平面内，与两个定点F 1，F 2的间隔的差的绝对值等于常数〔小于|F 1F 2|且不等于零〕的点〔记为M 〕的轨迹〔或者集合〕叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的间隔叫做双曲线的焦距。

用符号表示为12MF MF 2a -=〔常数〕
说明：
〔1〕“在平面内〞是前提，否那么得不到平面图形；
〔2〕作为到这两个定点的间隔的差的绝对值的“常数〞，必须满足小于|F 1F 2|这个条件。

假设不然，当这个“常
数〞等于|F 1F 2|时，我们得到的是两条射线；而当这个“常数〞大于|F 1F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

〔3〕注意定义中的关键词“绝对值〞。

事实上假设去掉定义中“绝对值〞三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支。

而完好的双曲线是两支。

〔4〕下面我们对双曲线进展进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的一条对称轴与双曲线的交点记为A 1，A 2，于是我们易得|A 1A 2|的值就是那个“常数〞。

2.双曲线的HY 方程 〔1〕双曲线的HY 方程的推导
双曲线的HY 方程的推导采用的还是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意：
①双曲线的方程的推导可以参考椭圆的HY 方程的推导过程；与建立椭圆的HY 方程一样，建立双曲线的HY 方程，是从“平面内到两定点的间隔差的绝对值是常数〔与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F 1F 2|〕的点M 的轨迹〞这个双曲线的定义出发，推导出它的HY 方程。

推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适宜方程
2222x y 1a b -=；但关于坐标适宜方程22
22x y 1a b
-=的点都在双曲线上，同椭圆一样，教材中未加证明。

2a =±的化简整理采用的是分子有理化加
一次开方的处理方法，这时就不需要注意x=0时的特殊情形了〔为什么？〕；〔详细解法见教材P52～53〕另一方面，我们同样可以采用移项加两次平方的方法，过程略。

③根据双曲线定义求双曲线的HY 方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似。

但应注意椭圆HY 方程的推导中，是令2
22b
a c =-；而在双曲线HY 方程的推导过程中，是令222
b
c a =-。

a ，b ，c 之间的关系与椭圆中不
同，不要搞混。

引入2
22b
c a =-不仅是化简的需要，而且还有实际的几何背景，2b 就是虚轴的长。

〔2〕中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的双曲线HY 方程分别为： 一样点是：形状一样、大小一样；都有a>0，b>0，2
22c
a b =+。

〔a ，b 大小不确定〕
不同点是：两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同〔第一个双曲线的焦点坐标为〔－c ，0〕和〔c ，0〕，第二个双曲线的焦点坐标为〔0，－c 〕和〔0，c 〕。

双曲线的焦点在x 轴上⇔HY 方程中x 2
项
的系数为正数，y 2
项的系数为负数；双曲线的焦点在y 轴上⇔HY 方程中y 2
项的系数为正数，x 2
项的系数为负
数。

〔3〕另外，形如2
2
Ax By C +=中，只要A ，B 异号，C ≠0就是双曲线方程，它可以化为
22
x y 1C C A B
+=。

例如，方程2
2
2x 3y 6-=就是双曲线方程，它可以化为HY 方程22
x y 132
-=
，这时a b ==
〔4〕在学习过程中，同学们可抓住双曲线与椭圆HY 方程的异同，列表进展比照，掌握椭圆、双曲线的HY 方程以及它们之间的区别和联络： 3.双曲线的几何性质 〔1〕双曲线的范围
由双曲线的HY 方程22221x y a b
-=，可得22
x a ≥。

当x a ≥时，才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数
值。

要讲清在直线x=－a ，x=a 之间没有图象，当x 的绝对值无限增大时，y 的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线。

〔2〕双曲线的对称性
双曲线的对称性与椭圆完全一样，也是既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，还关于原点呈中心对称。

〔3〕双曲线的顶点
双曲线22
221x y a b
-=有两个顶点〔a ，0〕，〔－a ，0〕。

当x=0时，方程y 2
=－b 2
无实数根，所以它与y 轴无交点，
2b 是双曲线的虚轴的长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同。

〔4〕双曲线的渐近线
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形。

椭圆是封闭曲线，没有渐近线，而双曲线有两条渐近线，做出双曲线的渐近线就完全地掌握双曲线的变化趋势。

学习双曲线的渐近线时，应注意以下问题： ①要明确双曲线的渐近线是哪两条直线。

过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线。

②要理解“渐近〞两字的含义。

当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的间隔逐渐变小而无限趋近于0。

③要掌握根据双曲线的HY 方程求出它的渐近线方程的求法。

最简单且实用的方法是：把HY 方程中的“1”用“0”
交换得出的两条直线方程，即双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为
22
22
0x y a b -=即b y x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b -=即a
y x b
=±；
④要掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法。

简单且实用的方法是：假设两条渐近线的方程为Ax ±By=0，那么双曲线的方程为(Ax ＋By)(Ax －By)=m ，这里m 是待定系数，其值可由题目中的条件确定。

〔5〕双曲线的离心率
与椭圆一样，我们把比值c
e a
=
叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描绘椭圆扁平程度的一个重要数据，双
曲线的离心率是描绘双曲线“张口〞大小的一个重要数据。

由于
b
a
=，当e 的值从接近于1逐渐增大时，
b
a
的值就从接近于0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口〞逐渐增大。

〔6〕椭圆与双曲线的HY 方程和图形、性质比照表如下： 【典型例题】 例1.圆C 1：1y 3)(x
22=++和圆C 2
：9y 3)-(x 22=+。

动圆M 同时与圆C 1
及圆C 2
相外切，求动圆圆
心M 的轨迹方程。

解析：圆C 1的圆心C 1〔-3，0〕，半径r=1 圆C 2的圆心C 2〔3，0〕，半径R=3 设动圆M 的圆心M 〔x ，y 〕，动圆半径为R' 由于OC 1与OC 2均外切，|MC 1|=1+R'，|MC 2|=3+R' 两式相减：|MC 2|－|MC 1|=2
点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点，中心在原点，实轴长为2的双曲线的一支，又a=1，c=3 ∴b 2
=c 2
－a 2
=8
动点M 的轨迹方程为：)0x (18
y x 2
2
<=- 点评：解决此题的关键是寻找点M 所满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然应考虑圆心距与半径的关系，且注意同圆的半径相等这一条件。

例2.F 1
和F 2
为双曲线1y 4
x 22
=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1
PF 2
=90°，求△F 1
PF 2
的面积。

解析：解法一： ∵4a 4|)PF ||PF (|
2221==- 而20)c 2(|PF ||PF |22221
==+
那么]|)PF ||PF (||PF ||PF [|2
1
|PF ||PF |221222121
--+=⋅
解法二：由双曲线方程知，a 2
=4，b 2
=1，c 2
=5 设P 点坐标为〔x 0，y 0〕，那么可得方程组
解得：5
1y ,524x 2
02
==
点评：由双曲线的定义及直角三角形知识即可求得。

例3.双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上，且与圆x 2
+y 2
=5交于点P 〔2，-1〕，假设圆在点P 的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程。

解析：∵双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上
∴双曲线的方程为)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-
∵点P 〔2，-1〕在双曲线上
∴
1b
1
a 422=-
①
∵圆x 2
+y 2
=5在P 点的切线平行于双曲线左顶点〔-a ，0〕与虚轴上端点〔0，b 〕的连线，而圆的切线斜率k 切与k OP 的乘积为-1 ∴2k =切
即
a 2
b ,2a
b
=∴=
②
解①②得，15b ,4
15a 2
2
==
∴双曲线方程为：115
y 15x 42
2=- 点评：正确利用直线的斜率公式及圆的切线的几何性质，双曲线的几何性质是求解此题的关键。

【模拟试题】 一.选择题 1.椭圆0144y 169x 22
=-+的两焦点的坐标为〔〕
A.),07(±
B.〔±5，0〕
C.〔0，7±〕
D.〔0，±5〕
2.椭圆13
y 12x 2
2=+的一个焦点为F 1
，点P 在椭圆上，假设线段PF 1
的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为〔〕
A.2
3±
B.2
2±
C.4
3±
D.4
3±
3.假设方程2ky x 22=+表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是〔〕
A.〔0，+∞〕
B.〔0，2〕
C.〔1，+∞〕
D.〔0，1〕 4.椭圆1b y a x 2222=+与椭圆)0(b
y a x 22
22>=+λλ有〔〕 A.一样的焦点
B.一样的顶点
C.一样的离心率
D.一样的长、短轴
5.椭圆1k
y 5x 2
2=+的离心率为55，那么k 的值是〔〕 A.4 B.425 C.4或者425 D.12
62562或 6.焦点分别是〔0，-2〕，〔0，2〕，且经过点P 〔-3，2〕的双曲线的HY 方程为〔〕 A.13x y 2
2=- B.1x 3
y 22=- C.1y 3x 22=- D.12y 2x 2
2=- 7.“AB<0”是“方程)0C (C By Ax
22≠=+表示双曲线〞的〔〕 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.中心在原点，一个顶点为A 〔-3，0〕，离心率为3
4的双曲线方程是〔〕 A.17
y 9x 2
2=- B.19x 81y 722=- C.17x 9y 2
2=- D.19x 817y 17y 9x 2222=-=-或 9.以椭圆19
y 16x 2
2=+的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是〔〕 A.19
y 16x 2
2=- B.116y 9x 22=- C.19x 7y 2
2=- D.19y 7x 22=- 10.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x 2
1y ±=，那么双曲线的离心率e 等于〔〕
A.5
B.5
C.25
D.4
5 二.填空题
11.椭圆)0b a (1b y a x 22
22>>=+，F 1、F 2是它的焦点，AB 是过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么△ABF 2的周长为________________。

12.中心在原点的椭圆，一焦点为F 〔0，25〕，直线l ：y=3x －2与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标为2
1，那么该椭圆的方程为_________________。

13.设F 1
、F 2为双曲线116y 25x 22=-的左、右两个焦点，直线L 过F 1且与双曲线的同一支交于A 、B 两点，|AB|=8，那么△ABF 2的周长为_____________________。

14.方程12
|k |y 5k x 2
2=---的图形是双曲线，那么k 的取值范围为________________。

15.设中心在原点的椭圆与双曲线1y 2x
222=-有公一共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该椭圆的方程为____________________。

三.解答题
16.写出适宜以下条件的椭圆的HY 方程。

〔1〕a=4，15c =，焦点在y 轴上。

〔2〕焦点在x 轴上，焦距等于4，并且过点P 〔3，62-〕
17.△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，且B 〔-1，0〕，C 〔1，0〕，求满足b>a>c ，b 、a 、c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程。

18.假设椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的间隔恰等于该椭圆的焦距，求该椭圆的离心率。

19.如图，F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP//AB ，求椭圆的离心率e 。

20.设P 为双曲线1y 4
x 22
=-上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程。

21.双曲线的离心率等于2，且经过点M 〔-2，3〕，求双曲线的HY 方程。

22.双曲线的渐近线为x 2
1y
±=，焦距为10，求双曲线的方程。

23.双曲线75y 5x 322=-，焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2=120°，试求△PF 1F 2的面积。

[参考答案]
1~10.ACDCCACADC
11.4a 12.125
x 75y 2
2=+ 16
14.)(5,(-2,2)+∞⋃ 15.1y 2
x 22
=+ 16.〔1〕1x 16y 22
=+ 〔2〕132
y 36x 22=+ 17.解：∵b 、a 、c 成等差数列
∴b+c=2a=4
即|AB|+|AC|=4
所以动点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上
由于⎩
⎨⎧==2c 24a 2 ∴点A 的轨迹方程为13
y 4x 2
2=+ 由于b>c ，即|AC|>|AB|。

可知A 点轨迹是椭圆左半局部。

还除去点〔-2，0〕，〔0，3-〕，〔0，3〕 所以所求轨迹方程为)0x 2(13
y 4x 2
2<<-=+ 18.解：由题意得：
即222c 4b a =+
又22222c 52a ,c a b =∴-= 故52a
c 22= 19.解：设椭圆方程为：)0b a (1b
y a x 2222>>=+，那么a b k AB -=
∵OP//AB ，∴直线OP 的方程为x a b y
-= 又PF ⊥x 轴
∴P 点的坐标为〔a
bc ,c -〕 而P 在椭圆上，1b
a c
b a
c 222
222=+∴ 20.解：设P 〔x 0，y 0〕，M 〔x ，y 〕 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2
y y 2x x 0
0 ∵P 在双曲线上 ∴1)y 2(4
)x 2(22
=-，即1y 4x 22=- 21.解：假设双曲线方程为：1b
y a x 22
22=- 由：2a
c = 即c=2a ，又M 〔-2，3〕在双曲线上
又c=2a ，22a 3b
=∴ 代入2222b a a 9b
4=- 解得3b ,1a 22== ∴双曲线方程为：13
y x 2
2=- 假设双曲线方程为：1b
x a y 22
22=- 同理得23b ,3
23a 22== ∴双曲线的方程为：123
x 23y 32
2=-
22.解：由渐近线方程为：x 2
1y ±=，设双曲线方程为：)0(y 4x 22>=-λλ 即1y 4x 2
2=-λ
λ，由222c b a =+ 得25|||4|=+λλ，即5±=λ ∴所求双曲线的方程为：15
x 20y 15y 20x 2
222=-=-或 23.解：∵双曲线方程为：115
y 25x 2
2=- ∴a=5，102c ,15b ==
在△PF 1F 2中，由余弦定理：。