高中数学互斥事件及其发生的概率苏教版必修3

互斥事件及其发生的概率
在一个盒子内放有8个大小相同的小球，其中红球4个，绿球3个，黄球1个．事件A 表示：从盒中摸出一个球为红球，事件B 表示：从盒中摸出一个球为绿球，事件C 表示：从盒中摸出一个球为黄球．现进行随机试验，从盒中任意摸出一个球，显然如果事件A 发生，那么事件B 必不发生；反之假设事件B 发生，那么事件A 也必不发生．我们把事件A 、B 的关系称为互斥事件．同样A 与C 及B 与C 也分别是互斥事件．那什么是互斥事件呢？请你随着我们的安排，一起深入地读下去．
学法建议
在上面的问题中，我们如果借助于Venn 图，便可得图7-4-1
所示的图形．由图可较好地理解彼此互斥事件间的关系：事件“A +B 〞表示：从盒中摸出一个球为红球或绿球，也表示：从盒中摸出一个球不为黄球．故事件“A +B 〞与事件C 不可能同时发生而且必有一个发生，我们就说事件“A +B 〞与事件C 是对立事件．又如何计算所有这些事件的概率呢？这就是本节所要研究的
全部内容．在本节的学习中，要能了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件；能了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；注意学习思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而利用逆
向思维． 一、知识网络
互斥是对立的前提，对立必定互斥，但互斥不一定对立．
判断两个事件是否互斥就是研究代表两个事件的集合有无公共部分．假设有公共部分，那么一定不互斥；假设没有公共部分，那么一定互斥． 二、知识归纳 1．互斥事件
不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
如果事件A 1、A 2、A 3、…、A n 中的任何两个都是互斥的，那么说事件A 1、A 2、A 3、…、A n 彼此互斥．
假设事件A 、B 互斥，那么P (A +B )= P (A )+P (B )．它也称为互斥事件的概率加法公式．它也可以推广．如果事件A 1、A 2、…、A n 彼此互斥，那么P (A 1+A 2+…+A n ) = P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )．
2．对立事件
图7-4-1
两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．
事件A 与B 对立，意即在一次随机试验中，事件A 与B 有且只有一个发生．它包含两层含义：一是A 与B 不可能同时发生，二是A 与B 必有一个发生．
两个对立事件的和是必然事件，即()()()1P A P A P A A +=+=．
当一个事件的概率直接求解比较复杂时，也可考虑从它的反面进行求解，此时利用的公式是：()1()P A P A =-． 三、释疑解难 1．事件A 与事件B 及C 均互斥，但未必有B 与C 互斥．
例如，盒子中装有编号为1~10的大小与形状完全相同的球．从中任意摸取一球．事件A
为：摸取的球的为偶数号，事件B 为：摸取的球的为3号或5号或7号，事件C 为：摸取的球的为1号或5号或9号．那么事件A 与事件B 互斥，事件A 与事件C 互斥，但事件B 与C 不互斥． 2．在使用公式P (A +B )= P (A )+P (B )时，一定要注意它的前提条件是：互斥．假设不互斥，一般地该公式未必成立．
例如，100X 卡片上分别写着1~100号，每X 卡片上写一个，每个只写在一X 卡片上．求抽到的卡片上是2或5的倍数的概率．
设事件A 表示：抽到卡片上是2的倍数；事件B 表示：抽到卡片上是5的倍数．在这100X 卡片中，2的倍数有50X ，5的倍数有20，故1()2P A =，1
()5
P B =．又既是2的倍数又是5的倍数的卡片有10X ，于是是2或5的倍数的卡片共有50+20-10=60，进而事件A +B 〔它表示抽
到卡片上是2或5的倍数〕的概率为603()1005P A B +==，它不等于7
()()10
P A P B +=．不等的原因是因为事件A 与B 不是互斥的． 3．只有在互斥的前提下才谈对立．对立事件一定是互斥事件，互斥事件加上必有一个发生的条件才成为对立事件．
根据互斥事件与对立事件的意义作答．
解题规律
判断两个事件的是否互斥的关系，其方法是根据互斥事件的定义．两个事件互斥是指：它们不可能同时发生．
判断两个事件
[解答]恰有一个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有一个白球与恰有2个白球的事件不可能必有一个发生，故答案选C ． 注 D 选项中的两个事件是对立事件，当然也是互斥事件．A 选项中的事件“都是白球〞包含中事件“至少有1个白球〞之中． 思路分析 利用互斥事件的概率进行计算．
[解答]〔1〕1()1000P A =
，101()1000100P B ==，1()20
P C =． 〔2〕∵A 、B 、C 两两互斥，
∴P 〔A +B +C 〕= P 〔A 〕+P 〔B 〕+P 〔C 〕=1105061
10001000
++=
． 〔3〕()1()P A B P A B +=-+
=11989
1()10001001000
-+=
． 答 〔1〕A 、B 、C 的概率分别为111
,,100010020．
〔2〕1X 奖券的中奖概率为61
1000
．
〔3〕1X 奖券不中特等奖或一等奖的概率为989
．
〔1〕利用互斥事件的概率加法公式；〔2〕利用对立事件和
的概率为1的结论进行计算．
[解答]〔1〕因为取到红心(事件A )与取到方片(事件B )不能同时发生，所以A 与B 是互斥事件，且有C =A +B ．故由互斥事件的对立关系，其方法也是根据定义，判断
两事件不可能同时发生且必有一个发生．
思维诊断
1．不能由事件A 、B 互斥，而得出A 与B 或A 与B 互斥，故
()()()
P A B P A P B +=+以及()()()P A B P A P B +=+均未必成立．
2．必须注意概率的加法公式的使用前提，事件间两两互斥． 解题技巧
此题中的第〔3〕问也可理解成：求中二等奖或不中奖的概率．因而又可解答成：
不中奖的概率为
61939
110001000
-
=
，中二等奖的概率为1
20
，将它们相加即得．
方法技巧 1．求复杂事件的概率通常有两种方
法：一是将所求事件
转化成彼此互斥的事件的和；二是先去
求对立事件的概率，
[例2]某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得。

第1000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。

设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：
〔1〕P 〔A 〕，P 〔B 〕，P 〔C 〕； 〔2〕1X 奖券的中奖概率；
〔3〕1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。

的概率的加法公式，得P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )=
111442
+=． 〔2〕因为当取一X 牌时，取到红色牌(事件C )与取到黑色牌(事件D )不可能同时发生，所以C 与D 也是互斥事件．又由于事件C 与事件D 必有一者发生，即C +D 为必然事件，所以C 与D 互
为对立事件．所以 P (D )=1-P (C )=11
122
-=．
答 〔1〕取到红色牌(事件C )的概率是0.5； 〔2〕取到黑色牌(事件D )的概率是0.5．
骰子共有六个面，每个面上分别标有1，2，3，4，5，6的数字，投掷两颗骰子共有36种情况，分清点数之和为8以及不小于8的各有那些情况，然后利用等可能事件的概率及互斥事件至少有一个发生的概率进行计算．
[解答]将两骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数之和的不同值共11种．
(1)设事件A ={两骰子向上的点数之和为8}，事件A 1 ={两骰子向上的点数分别为4和4}，事件A 2 ={两骰子向上的点数分别为3和5}，事件A 3 ={两骰子向上的点数分别为2和6}，那么A 1与A 2 、A 3互为互斥事件，且A =A 1 +A 2 +A 3，故
P (A )=P (A 1 +A 2 +A 3)=
36
5
362362361=
++． (2)设事件S ={两骰子向上的点数之和不小于8}，事件A ={两骰子向上的点数之和为8}，事件B ={两骰子向上的点数之和为9}，事件C ={两骰子向上的点数之和为10}，事件D ={两骰子向上的点数之和为11}，事件E ={两骰子向上的点数之和为12}，那么A ，
B ，
C ，
D ，
E 互为互斥事件，且S =A +B +C +D +E ，P (A )=365，P (B )=9
1
，P (C )=
121，P (D )=181，P (E )=36
1
，故 P (S )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )+P (E )
=
365+91+121+181+361=12
5
． 答 (1)向上的点数之和是8的概率为536
；〔2〕向上的点数之和不小于8的概率为
512
． 进而再求所求事件的概率．
2．此题中由于每种花色的牌都是13X ，故任抽1X 牌，抽到某种花色的概
率一定为14
〔这是古
典概型〕，取到红色牌或黑色牌的概率
也一定相等且为
1
2
〔因为红色牌与黑色牌的X 数相等〕
解题技巧
两骰子向上的点数之和的各种不同值的事件是互为互斥事件，分析清楚点数之和为8及不小于8的所有可能情况，是此题顺利求解的关键．
设两骰子向上的点数之和为n 的各种不同值事件的概率分别为P (n )，那么
P (2)=P (11)=1
36，
P (3)=P (11)=1
18，
P (4)=P (10)=1
12，
P (5)=P (9)=1
9，
P (6)=P (8)=5
36，
P (7)=16
．
此题的第〔2〕问采用的是互斥事
件的和事件来进行计算的，如从反面思考计算其对立事件的概率：点数之和小于8的概率，其繁简度与原解答相当．
体验探究
一、
思维发散
可按互斥事件和对立事件求概率的方法，利用公式进行求解．
[解答]解法1 (1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为193124
P ==． (2)从12只球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从
而得红或黑或白球的概率为12
1112245=++．
解法2 (利用互斥事件求概率)记事件A 1={任取1球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，
A 3={任取一球为白球}，A 4={任取一球为绿球}，那么15()12P A =，24()12P A =，32
()12
P A =，41
()12
P A =
． 根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为1212543()()()12124
P A A P A P A =+=+=+． (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 12312354211()()()()12121212
P A A A P A P A P A ++=++=
++=． 解法3(利用对立事件求概率的方法)
(1)由解法2知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4．所以取得一红球或黑球的概率为
P (A 1+A 2)=1-P (A 3+A 4)=1-P (A 3)-P (A 4)=213112124
-
-=． (2) A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4，所以1234111()1()11212
P A A A P A ++=-=-
=. [点评](1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致出错．
(2)要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用． 二、智慧列车
先求出各路车到站的概率．然后利用互斥事件的概率加法公式进行计算．
[解答]设事件H ：“到站的是1，3，4路车〞，事件A i ：“第i 路车到站〞〔i =1，2，3，4，
5〕，由题设得
P (A 1)= P (A 2)+ P (A 3) +P (A 4)+ P (A 5)， P (A 2)= P (A 3) =P (A 4)= P (A 5)，
P (A 1)+ P (A 2)+ P (A 3) +P (A 4)+ P (A 5)=1．
解得 P (A 1)=
12，P (A 2)= P (A 3) =P (A 4)= P (A 5)=18
． ∵H = A 1+A 3+A 4，且A 1、A 3、A 4两两互斥，
∴P (H )= P (A 1)+ P (A 3) +P (A 4)=
11132884
++=． [点评]1．本例采取了整体思考法．把各路车停靠在车站的五个事件A i 组成一个事件的全体，其概率和为1．
2．在概率计算中用到解方程〔组〕知识，H =A 1+A 3+A 4是一个和事件，整个问题的解决过程表达了分析与综合的相互结合．。