湖南省衡阳市衡阳县四中2014_2015学年高二数学上学期1月段考试卷理含解析

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试
卷（理科）
一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）
1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）
A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）
5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）
A． B． C． D．
6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A． B． C． D． 1
二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）
7．函数y=x•e1﹣2x的导数为．
8．y=在点（1，1）处的切线方程．
9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．
10．若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为．
三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）
11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，
（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．
12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）
1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．
专题：平面向量及应用．
分析：利用l1⊥l2，可得其方向向量=0，解得m即可．
解答：解：∵l1⊥l2，
∴=1×（﹣2）+2×3﹣2m=0，解得m=2．
∴实数m的值为2．
故选：B．
点评：本题出考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
考点：异面直线及其所成的角．
专题：计算题．
分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所
成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，
∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）
∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）
可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，
向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，
设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==
故选A
点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．
3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．
解答：解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．
由导函数的图象可知：
当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，
是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．
故选B．
点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．
4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）
A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数f（x）的导数，令导函数小于0，解出即可．
解答：解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），
令f′（x）≤0，解得：0＜x≤，
故选：A．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）
A． B． C． D．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导函数，令导函数为求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最大值．
解答：解：∵f（x）=x﹣x3
∴f′（x）=1﹣3x2
令f′（x）=0得
；
所以当
故答案为A
点评：求函数在给定区间上的最值问题，应该先通过求导函数判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间端点对应的函数值，从中选出最值．
6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（） A． B． C． D． 1
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
解答：解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2
∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=
故选A
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）
7．函数y=x•e1﹣2x的导数为e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据复合函数的导数的运算法则，求导即可，
解答：解：y′=x′•e1﹣2x+x•（e1﹣2x）′=e1﹣2x+x•e1﹣2x•（1﹣2x）′=e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x
故答案为：e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x
点评：本题考查了复合函数的导数的运算法则，属于基础题
8．y=在点（1，1）处的切线方程x+y﹣2=0 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程．
解答：解：由题意得，，
∴在点（1，1）处的切线斜率k=﹣1，
则在点（1，1）处的切线方程是：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
故答案为：x+y﹣2=0．
点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题．
9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：利用定积分表示阴影部分的面积，利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．
解答：解：由题意，阴影部分的面积为S=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx
=（x﹣）+（﹣x）=．
故答案为：．
点评：本题考查定积分知识的运用，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于基础题．10．（6分）（2014秋•衡阳县校级月考）若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为 3 ．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：求f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x，e x＞0，所以根据函数单调性和函数导数符号的关系即可得到不等式2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，﹣），所以x=﹣3，便是一元二
次方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根，从而根据韦达定理即可求出a．
解答：解：f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x；
∵f（x）的单调递减区间为（﹣3，）；
∴f′（x）＜0的解为；
即2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，）；
∴x=﹣3，﹣是方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根；
∴根据韦达定理；
∴a=3．
故答案为：3．
点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及根据导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系．
三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）
11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，
（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由已知先求f′（x）=3x2﹣3，令3x﹣3=0 得：x=±1，通过讨论f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的单调性．
（2）有f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，可得a≤3x2在（1，+∞）恒成立，从而解得a的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=3x2﹣3．
令 3x2﹣3=0 得 x=±1
当 x＞1 或 x＜﹣1 时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜1 时，f′（x）＜0．
因此 f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上为增函数，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．（2）因为f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，
所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x2﹣a≥0在（1，+∞）恒成立，
所以a≤3x2在（1，+∞）恒成立，
即a≤3．
故a的取值范围是（﹣∞，3]．
点评：本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，属于中档题．
12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；
（2）e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，等价于，由（1）的结
论求得函数的最值，解不等式组解得即可．
解答：解：（1）∵f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．
∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣2x+a=
由于a＞0，
即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（2）由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立
只要解得a=e．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．。