2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第9章 第10节

第十节圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线中的最值问题
[明技法]
圆锥曲线中求解最值问题的常用方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．
(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．
[提能力]
【典例】(2018·安阳月考)设椭圆M：y2
a2＋x2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x
2－y2＝1
的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△P AB面
积的最大值．
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝2
2，
由2a ＝4，c a ＝2
2，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，
故椭圆M 的方程为y 24＋x 2
2
＝1.
(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ，
x 22＋y 24＝1，
得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，
由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.
且⎩⎨⎧
x 1
＋x 2
＝－22m ，
x 1x 2
＝m 2
－4
4
，
所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2
＋4＝3·4－m 22.
又P 到直线AB 的距离为d ＝
|m |
3
， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝1
2
⎝
⎛⎭⎫4－m 2
2·m 2 ＝1
22m 2(8－m 2
)≤122
·m 2＋(8－m 2
)
2＝ 2.
当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S △P AB max )＝ 2. [刷好题]
1．已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△
ABF 的面积的最大值为________.
解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，
∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2
)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，
即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.
答案：2
2．(2018·长春模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两
点．
(1)若AF →＝2FB →
，求直线AB 的斜率；
(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
解：(1)依题意知F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.
将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →， 所以y 1＝－2y 2. ②
联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±2
4.
所以直线AB 的斜率是±2 2.
(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．
因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，
所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.
圆锥曲线中的范围问题 [明技法]
圆锥曲线中求解范围问题的常用方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[提能力]
【典例】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6
3，且椭圆C
上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：(1)设椭圆的半焦距长为c ， 则由题设有⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝63，
a －c ＝3－2，
解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23
＋x 2
＝1.
(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)， 将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2
＝1，
得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，
Δ＝12k 2－12，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝1
3＋k 2.
∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k
2
12k 2－123＋k 2＝23k 4－1
3＋k 2
，
由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝12k 2
－12＞0，63＋k 2≤1
2|AB |， 解得k 4≥13，即k ≥413或k ≤－4
13. 故直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－413]∪[4
13，＋∞)． [刷好题]
(2018·贵阳月考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
8－a 2
＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，且椭圆E 的焦距为
4.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为5π
6的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若椭圆E
的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．
解析：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 28－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c 2
， ∴a 2＞8－a 2，即a 2＞4， 又∵a 2－(8－a 2)＝4，∴a 2＝6， 所以椭圆方程为x 26＋y 2
2
＝1.
(2)因为直线l 的倾斜角为5π6，则直线l 的斜率k ＝tan 5π6＝－3
3，
∴直线l 的方程为y ＝－
3
3
(x －m )(m ＞6)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－33(x －m )，
x 2＋3y 2＝6，
消去y 得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，
∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62
，
且Δ＝(－2m )2－8(m 2－6)＞0，即m 2＜12， ∵椭圆的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部， ∴FC →·FD →＜0，即(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＜0， ∴4x 1x 2－(m ＋6)(x 1＋x 2)＋m 2＋12＜0， ∴4×m 2－62－(m ＋6)×m ＋m 2＋12＜0，
即m 2－3m ＜0，则0＜m ＜3， 又m ＞6，m 2＜12， ∴m ∈(6，3)．
实数m 的取值范围(6，3)．。