宁海县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁海县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
2．
以过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
3． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力． 4． f
（）
=，则f （2）=（ ） A ．3
B ．1
C ．2
D
．
5． 下列命题中正确的是（ ）
A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d
B ．任何复数都不能比较大小 C
．若
=
，则z 1=z 2
D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1
=
6． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ）
A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
7． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
8． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（﹣∞，﹣1）
9． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）
A ．2 B
． C ．﹣1 D ．以上都不正确
10．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
1+ B ．
1+ C ．
1+ D ．1+π
11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ） A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
12．若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
二、填空题
13．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．
14．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ． 15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
16．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．
17．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 18．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=
sin ωxcos ωx ﹣cos 2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象
π π
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f （x ）在区间[﹣
，
]上的值域；
（Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A+）=1，b+c=4，a=
，求△ABC 的面
积．
20．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆
22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.
（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.
21．已知全集U 为R ，集合A={x|0＜x ≤2}，B={x|x ＜﹣3，或x ＞1}
求：（I ）A ∩B ；
（II ）（C U A ）∩（C U B ）；
（III ）C U （A ∪B ）．
22． 坐标系与参数方程
线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．
23．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．
24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．
宁海县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
2． 【答案】C
【解析】解：设过右焦点F 的弦为AB ，右准线为l ，A 、B 在l 上的射影分别为C 、D
连接AC 、BD ，设AB 的中点为M ，作MN ⊥l 于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
=
=e ，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB 为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|） ∴圆M 到l 的距离|MN|＞r ，可得直线l 与以AB 为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F ，求以经过F 的弦AB 为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
3． 【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）4．【答案】A
【解析】解：∵f（）=，
∴f（2）=f（）==3．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
6．【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2．
当x=5时，．
∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
8．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
9．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
…
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
10．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体的下部是正方体，上部是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为1；
正方体的边长为1，
∴几何体的体积V=V正方体+=13+××π×12×1=1+．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及图中数据所对应的几何量．
11．【答案】D
【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
12．【答案】C
【解析】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标，
设A（x1，y1）B（x2，y2）
抛物y2=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8，
故选：C．
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，
∵mn﹣m﹣n=3，
∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），
∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，
∴m+n≥6，
则d=≥3．
故答案为：．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
14．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
15．【答案】3+．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+
．
16．【答案】 ﹣160
【解析】解：由于（x ﹣）6
展开式的通项公式为 T r+1=
•（﹣2）r •x 6﹣2r ，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x ﹣）6
展开式的常数项为﹣8
=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
17．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 18．【答案】1 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①
处应填入
．
=．
∵
T=，
∴
，
，
即．
∵
，
∴
，
∴
，
从而得到f （x
）的值域为．
（Ⅱ）
∵， 又0＜A ＜π，
∴，
得
，
．
由余弦定理得a 2=b 2+c 2
﹣
2bccosA=
=（b+c ）2﹣3bc ，
即
，∴bc=3．
∴△ABC
的面积
．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
20．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3
）6． 【解析】
试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =
2=，再进行化简，即可求
解()()44a b --的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨
迹方程；（3）将面积表示为()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值.
（3）()()()11
448244666224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+≥=,
∴当4a b ==+, 面积最小, 最小值为6.
考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446ADP S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题. 21．【答案】
【解析】解：如图：
（I ）A ∩B={x|1＜x ≤2}；
（II ）C U A={x|x ≤0或x ＞2}，C U B={x|﹣3≤x ≤1}
（C U A ）∩（C U B ）={x|﹣3≤x ≤0}；
（III ）A ∪B={x|x ＜﹣3或x ＞0}，C U （A ∪B ）={x|﹣3≤x ≤0}．
【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．
22．【答案】
【解析】解：圆C：的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4
由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离
d==＜2
故直线与圆相交
故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：
∴z1=2﹣i
设z2=a+2i（a∈R）
∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i
∵z1z2是实数
∴4﹣a=0解得a=4
所以z2=4+2i
【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．
24．【答案】
【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，
V2=••2•2•2=cm3，
∴V=v1﹣v2=cm3
（3）证明：如图，
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′
因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；
2016年4月26日。