【高中数学】新人教A版高一第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(练习题)

新人教A版高一第 2 课时两角和与差的正弦、余弦、
正切公式(2006)
1.sin35∘cos5∘−cos35∘sin5∘=（）
A.1
2
B.1
C.2
D.2sin40∘
2.sin(−285∘)=（）
A.√6−√2
4B.−√6−√2
4
C.√6+√2
4
D.−√6+√2
4
3.已知点P(1，a)在角α的终边上，tan(α＋π
4)=−1
3
，则实数a的值是（）
A.2
B.1
2C.−2 D.−1
2
4.已知α∈(π
2,π)，sinα=4
5
，则cos(α+π
4
)=（）
A.7√2
10B.−7√2
10
C.−√2
10
D.√2
10
5.若tan(α+β)=2
5,tan(α−β)=1
4
，则tan2α=（）
A.1
6B.22
13
C.3
22
D.13
18
6.√2sin(π
4−x)＋√6sin(π
4
＋x)的化简结果是（）
A.2√2sin(5π
12＋x) B.2√2sin(x−5π
12
)
C.2√2sin(7π
12＋x) D.2√2sin(x−7π
12
)
7.在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是（）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
8.函数f(x)=sin x−cos(x＋π
6
)的值域为（）
A.[−2,2]
B.[−√3，√3]
C.[−1,1]
D.[−√3
2，√3
2
]
9.若cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−4
5
，且450∘<β<540∘，则sin(60∘−β)=.
10.已知锐角α,β满足(tanα−1)(tanβ−1)=2，则tan(α+β)=,α+β=.
11.已知“在△ABC中,cos Acos B=+sin Asin B”中的横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是.
12.下列式子的结果为√3的有.(填序号)
①tan25∘+tan35∘+√3tan25∘tan35∘;
②2(sin35∘cos25∘+sin55∘cos65∘);
③1+tan15∘
1−tan15∘
.
13.已知α，β∈[π
2,π]，且cosα=−3
5
.
(1)求tan(π
4
−α)的值；
(2)若sin(α−β)=3
5
，求sinβ的值.
14.在平面直角坐标系xOy中，以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α,β，它们
的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为2√5
5,3√10 10
．
(1)求tan(α−β)的值；
(2)求α+β的值．
15.已知锐角α，β满足sin(3α+β)
cosα
=sin(2α+β)，则下列选项正确的是（）
A.sin2α=sinβ
B.sin2α=cosβ
C.cos2α=−sinβ
D.cos2α=−cosβ
16.若关于x的方程sin x−√3cos x=c有实数解，则c的取值范围是.
17.在△ABC中，tan B＋tan C＋√3tan Btan C=√3，且√3tan A＋√3tan B＋1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.
参考答案
1.【答案】:A
2.【答案】:C
3.【答案】:C
4.【答案】:B
5.【答案】:D
6.【答案】:A
7.【答案】:C
【解析】:由A，B为△ABC的内角，tan Atan B>1，
可得A，B都是锐角，即tan A和tan B都是正数，
∴tan(A+B)=tan A+tan B
1−tan Atan B
<0，
故A+B为钝角.
由三角形的内角和为180∘可得，内角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故选C.
8.【答案】:B
【解析】:f(x)=sin x−cos(x+π
6)=sin x−√3
2
cos x＋1
2
sin x=3
2
sin x−√3
2
cos x=√3sin(x−π
6
)，
所以函数f(x)的值域为[−√3，√3].故选B.
9.【答案】:−3+4√3
10
【解析】:由已知得cos[(α+β)−α]=cosβ=−4
5
，
又∵450∘<β<540∘,∴sinβ=3
5
，
∴sin(60∘−β)=√3
2×(−4
5
)−1
2
×3
5
=−3+4√3
10
.
10.【答案】:−1；3π
4
【解析】:因为(tanα−1)(tanβ−1)=2，
所以tan α+tan β=tan αtan β−1， 因此tan(α+β)=tan α+tan β
1−tan αtan β=−1， 又因为α+β∈(0,π)，所以α+β=3π4
.
11.【答案】:b <a <c
【解析】:由题意得，横线处的实数等于cos(A +B)，即cos(π−C)， 故当C 是直角时，a =cos π
2=0; 当C 是锐角时，−1<b <0;
当C 是钝角时，0<c <1.故b <a <c .
12.【答案】:①②③
【解析】:①tan 25∘+tan 35∘+√3tan 25∘tan 35∘=tan 60∘·(1−tan 25∘·tan 35∘)+√3tan 25∘tan 35∘=
√3；
②2(sin 35∘cos 25∘+sin 55∘cos 65∘)=2(sin 35∘·cos 25∘+cos 35∘sin 25∘)=2sin(35∘+25∘)=√3； ③1+tan 15∘1−tan 15∘=tan 45∘+tan 15∘
1−tan 45∘tan 15∘=tan 60∘=√3. 13
(1)【答案】因为cos α=−35，α∈[π
2,π]， 所以sin α=√1−(−35)2
=4
5， 因此tan α=sin αcos α=−4
3， 所以tan (π
4−α)=
tan π
4−tan α1+tan π
4
·tan
α
=
1+
431−43
=−7.
(2)【答案】因为α，β∈[π
2,π]， 所以−π2⩽α−β⩽π
2， 又sin(α−β)=3
5， 所以0<α−β<π
2， 所以cos(α−β)=4
5，
因此sin β=sin[α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=45×45+35×3
5=1.
14
(1)【答案】由条件得cos α=
2√5
5
，cos β=
3√10
10， 因为角α,β是锐角，所以sin α=√5
5，sin β=√
10
10
， 故tan α=12,tan β=1
3， 则tan(α−β)=tan⁡ α−tan⁡ β
1+tan⁡ αtan⁡ β =1
7.
(2)【答案】由(1)得tan(α+β)=tan α+tan β
1−tan αtan β=1， 又角α,β是锐角，所以0<α+β<π，故α+β=π
4.
15.【答案】:B
【解析】:由题意得，sin[(2α+β)+α]=sin(2α+β)cos α⇒cos (2α+β)sin α=0，
又α，β是锐角，∴cos(2α+β)=0⇒2α+β=π
2， 即2α=π
2−β，
∴sin 2α=cos β，故选B.
16.【答案】:[−2,2]
【解析】:关于x 的方程sin x −√3cos x =c 有解，
即c =sin x −√3cos x =2sin (x −π
3)有解，由于x 为实数，则2sin (x −π
3)∈[−2，2]，故−2⩽c ⩽2.
17.【答案】:tan A =tan[180∘−(B ＋C)]=−tan(B ＋C) =tan B ＋tan C
tan Btan C−1=√3−√3tan Btan C
tan Btan C−1
=−√3， 又0∘<A <180∘，所以A =120∘.
tan C =tan[180∘−(A ＋B)]=−tan(A ＋B) =tan A ＋tan B
tan Atan B−1 =
√3tan A ＋√3tan B
=
√3
3
， 又0∘<C <180∘，
所以C =30∘，所以B =180∘−120∘−30∘=30∘. 所以△ABC 是顶角为120∘的等腰三角形.。