方凌-谱半径与松弛因子

数值实验一
实验目的：了解SOR 法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系。

实验内容：10.50010.50.501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，画出SOR 迭代谱半径和ϖ之间的曲线，并据此分析ϖ的收敛范围及ϖ取何值时，迭代法收敛速递最快。

分析：本次试验中所给系数矩阵为三阶阵，且数字较为简洁。

由课本上的知识可知，迭代矩阵的表达式为1()[(1)]B D wL w D wU -=--+。

关于松弛因子w 的范围，课本上已经进行推导，只有在02w <<的氛围内迭代过程才能收敛。

本次试验中研究13w -<<，观察迭代矩阵B 的谱半径p 随松弛因子w 变化而变化的情况。

其中，谱半径越小，说明收敛速度越快。

Matlab 程序：
A=[1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1]; %A 是系数矩阵
D=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; %对角阵
L=[0 0 0;0 0 0;-0.5 0 0]; %L 是去掉对角元素下三角阵 U=[0 -0.5 0;0 0 -0.5;0 0 0]; %U 是去掉对角元素上三角阵 p=zeros(1,4001);
n=1;
for w=-1:0.001:3;
B=(inv((D-w*L)))*((1-w)*D+w*U); %B 就是迭代矩阵
p(n)=vrho(B);
n=n+1;
end
w=-1:0.001:3 ; %在[-1,3]的区间上画图
plot(w,p);
xlabel('w');
ylabel('p');
grid on;
title('谱半径随松弛因子的变化情况')
index=find(p==min(p)); %找到最小谱半径对应的点
wmin=w(index) %最小谱半径对应的松弛因子的值 pmin=min(p) %最小的谱半径的值
运行程序后得到的图为：
wmin =
0.9410
pmin =
0.3381
对所得结果进行分析，可得：
a) 观察图可知大概在0 1.5w <<的范围上，谱半径保持小于1，此时迭代是收敛
的。

说明课本中所得的02w <<是迭代收敛的必要条件而不是充分条件。

b) 观察可以发现在w 在0.9附近时谱半径最小，此时收敛速度最快。

在matlab
上可以找到这个点为0.9410w =，0.3381p =。

班级：B130209A 学号：1130209245 姓名：方凌。