高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学案新人教B版选修1-1

3.1.3 导数几何意义
1．了解导数概念实际背景．
2．知道瞬时变化率就是导数．
3．通过函数图象直观地理解导数几何意义．
1．瞬时变化率
设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx ________时，平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx
趋近于一个______，那么常数l 称为函数f (x )在______瞬时变化率．用趋近于符号“→〞记作当Δx →0
时，f x 0＋Δx －f x 0Δx
→l.这时，还可以说，当Δx →0时，函数平均变化率极限等于函数在x 0__________．记作“lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx
＝l 〞． (1)运动瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )瞬时变化率．
(2)运动瞬时加速度就是速度函数y ＝v (t )瞬时变化率．
【做一做1－1】函数f (x )＝x 2在x ＝1处瞬时变化率为__________．
【做一做1－2】一质点作直线运动，其位移s 与时间t 关系是s ＝3t －t 2，那么质点初速度为__________．
2．某点处导数
函数在x 0瞬时变化率，通常就定义为f (x )在x ＝x 0处导数，并记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.
于是可写作________________＝f ′(x 0)．
【做一做2】函数f (x )＝x 2在x ＝1处导数为__________．
3．导函数
如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 处导数都存在，那么称f (x )在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内__________，都对应一个确定导数f ′(x )，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )________．记为f ′(x )(或y x ′、y ′)．
导函数通常简称为导数．如不特别指明求某一点导数，求导数指就是求导函数．
函数f (x )在x 0处可导，是指当Δx 趋近于0时，Δy Δx
趋近于某个常数(极限存在)，如果Δy Δx
不趋近于某个常数(极限不存在)，就说函数在点x 0处不可导，也说无导数．
【做一做3】函数f (x )＝x 2导函数(导数)为__________．
4．导数几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处导数几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处__________．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线斜率为f ′(x 0)，相应切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
如果函数在x 0处导数不存在，那么说明斜率不存在，此时切线方程为x ＝x 0.
【做一做4】函数y ＝x 2在点(2,4)处切线斜率为__________．
1．如何求函数y ＝f (x )在点x 0处导数？
剖析：(1)求函数改变量Δy ；
(2)求平均变化率Δy Δx
； (3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx
. 2．“函数在一点处导数〞“导函数〞“导数〞三者之间有何区别与联系？
剖析：(1)函数在一点处导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．
(2)函数导数是针对某一区间内任意点x 而言．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内每一个确定值x 0，都对应着一个确定导数f ′(x 0)．根据函数定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新函数，就是函数f (x )导函数f ′(x )．
(3)函数y ＝f (x )在点x 0处导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.
3．“Δx →0”意义．
剖析：Δx 与0距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定任意小正数，但始终有Δx ≠0.
题型一 导数定义
【例1】函数y ＝f (x )在点x 0处可导，试求以下各极限值．
(1)lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx
； (2)lim h →0f x 0＋h －f x 0－h 2h
. 分析：利用函数y ＝f (x )在点x 0处可导条件，可将给定极限式变
形成导数定义构造形式来解决问题．导数定义中增量Δx 形式是多种多样，但不管Δx 选择哪种形式，Δy 也应与之相对应．
反思：解决此类问题应将给定极限形式恒等变形转化为导数定义构造形式即可解决．
题型二 求导数
【例2】函数y ＝x ，求y ′，y ′|x ＝1.
分析：按求导数步骤求解即可，但要注意变形技巧．
反思：函数导数与在点x 0处导数不是同一概念，在点x 0处导数是函数导数在x ＝x 0处函数值．分子有理化是解决此题一种重要变形技巧，要认真体会．
题型三 利用导数求曲线切线方程
【例3】求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13，3处切线斜率，并写出切线方程． 分析：利用导数几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程． 反思：(1)求函数在某点处切线方程一般步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x 0处导数f ′(x 0)；②根据点斜式得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意(x 0，y 0)为曲线上点并且是切点．
(2)函数f (x )在点x 0处有导数，那么在该点处函数f (x )曲线必有切线，且导数值是该切线斜率；反之不成立．例如f (x )＝x 在点x ＝0处有切线，但它不可导．
题型四 易错题型
【例4】试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切直线方程． 错解：∵函数y ＝x 2导数为y ′＝2x ，
∴y ′|x ＝3＝2×3＝6.
∴切线方程为y －5＝6(x －3)，即y ＝6x －13.
错因分析：没有注意到点P 不在曲线上，点P 不是切点，此题把点P 当成了切点，从而导致错误．
反思：求曲线上在点P 处切线与过点P 切线有区别，在点P 处切线，点P 必为切点；求过点P 切线，点P 未必是切点，点P 也不一定在曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．假设点P 在曲线上，要分点P 是切点与不是切点两种情况解决．
1设函数f (x )可导，那么lim Δx →0f 1＋Δx －f 12Δx
等于( ) A ．f ′(1) B ．2f ′(1)
C ．12
f ′(1) D．f ′(2) 2设函数f (x )可导，lim m →0f x 0＋m －f x 0－m m
等于( ) A ．2f ′(x 0) B ．f ′(x 0)
C ．12
f ′(x 0) D ．f ′(m) 3函数f (x )＝1x
在x ＝1处导数是__________． 4函数y ＝x 2在点P (x 0，y 0)处切线斜率为2，那么x 0等于__________．
5试求过点P (0，－1)且与曲线y ＝x 2＋3相切直线方程． 答案：
根底知识·梳理
1．趋近于0 常数l 点x 0 瞬时变化率l
【做一做1－1】2 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx
2－12Δx
＝Δx ＋2，当Δx →0时，Δx ＋2→2，故所求瞬时变
化率为2.
【做一做1－2】3 质点初速度即为s ＝3t －t 2在t ＝0处瞬时变化率．
Δs ＝s (0＋Δt )－s (0)＝3(Δt )－(Δt )2，
那么Δs Δt
＝3－Δt ， 当Δt →0时，3－Δt →3，故质点初速度为3. 2．lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx
【做一做2】2 由做一做1－1及导数定义知所求导数为2.
3．每个值x 导函数
【做一做3】2x 求函数f (x )＝x 2导数就是求其在其定义域内任一点x 处导数．
Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx 2－x 2Δx
＝2x ＋Δx ，
当Δx →0时，2x ＋Δx →2x ，
故函数f (x )＝x 2导数为2x ，即f ′(x )＝2x .
上述过程用极限符号表示为：
f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx
＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx
＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 4．切线斜率
【做一做4】4 函数y ＝x 2在点(2,4)处切线斜率就是函数y ＝x 2在x ＝2处导数．
因此其斜率k ＝lim Δx →0
2＋Δx 2－22Δx
＝lim Δx →0(Δx ＋4)＝4. 典型例题·领悟 【例1】解：(1)原式＝lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－－Δx
＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx
(Δx →0时，－Δx →0) ＝－f ′(x 0)．
(2)原式＝lim h →0f x 0＋h －f x 0＋f x 0－f x 0－h 2h
＝12⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤lim h →0 f x 0＋h －f x 0h ＋lim h →0 f x 0－f x 0－h h ＝12
[f ′(x 0)＋f ′(x 0)]＝f ′(x 0)． 【例2】解：∵Δy ＝Δx ＋x －x ，
∴
Δy Δx ＝Δx ＋x －x Δx ＝Δx r(Δx ＋x ＋x Δx )＝
1
Δx ＋x ＋x .
∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01Δx ＋x ＋x ＝12x
. ∴y ′|x ＝1＝12
. 【例3】解：∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0
1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x Δx
＝－1x 2，
∴曲线在点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13，3处切线斜率为k ＝y ′|x ＝13＝－9. ∴切线方程为y －3＝－9⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －13， 即9x ＋y －6＝0.
【例4】正解：函数y ＝x 2导数为y ′＝2x .
设所求切线切点为A (x 0，y 0)，那么y 0＝x 20，切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0.
∵切线过点P (3,5)与A (x 0，y 0)两点，
∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3，∴2x 0＝x 20－5x 0－3
， 解得x 0＝1或x 0＝5，从而切点A 坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线斜率为2x 0＝2；
当切点为(5,25)时，切线斜率为2x 0＝10.
∴所求切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)或y －5＝10(x －25)，
即y ＝2x －1或y ＝10x －245.
随堂练习·稳固
1．C 原式＝12lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝12
f ′(1)． 2．A 原式＝lim m →0f x 0＋m －f x 0＋f x 0－f x 0－m m
＝lim m →0f x 0＋m －f x 0m ＋lim m →0f x 0－f x 0－m m
＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．
3．－1 Δy ＝11＋Δx －11＝－Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝－11＋Δx
， f ′(1)＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－11＋Δx ＝－lim Δx →011＋Δx ＝－1. 4．1 由导数几何意义可知函数y ＝x 2在点P (x 0，y 0)处切线斜率就是该点处导数．
由做一做3知：y ′＝2x ，
由题意得，0
0|22x x y x '＝＝＝，解得x 0＝1. 5．分析：点P 不在曲线上，可设切点为A (x 0，y 0)．切线斜率k
＝f ′(x 0)，又k ＝y 0－－1x 0－0＝y 0＋1x 0
，利用二者相等列出方程即可解决．
解：函数y ＝x 2＋3导数为y ′＝2x .
设切点为A (x 0，y 0)，那么y 0＝x 20＋3，
切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0.
∵切线过点P (0，－1)与A (x 0，y 0)两点，
∴其斜率为y 0＋1x 0＝x 20＋4x 0.∴2x 0＝x 20＋4x 0
， 解得x 0＝2或x 0A 坐标为(2,7)或(－2,7)．
当切点为(2,7)时，切线斜率为2x 0＝4；当切点为(－2,7)时，切线斜率为2x 0＝－4.
∴所求切线方程为y －7＝4(x －2)或y －7＝－4(x ＋2)，即y ＝4x －1或y ＝－4x －1.。