(刷题1+1)2020高考数学讲练试题 基础巩固练(三)理(含2020高考+模拟题)

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（三）理（含2020
高考+模拟题）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2020·湖南衡阳三模)若集合{x |2x
>22}＝{x |log 12 (x －a )<0}，则实数a 的值为
( )
A.12 B ．2 C.3
2 D ．1 答案 A
解析 依题意知，⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >
32＝{x |x >a ＋1}， ∴a ＋1＝32，故a ＝1
2
.故选A.
2．(2020·黔东南州一模)1－2i 1＋i ＋1＋2i
1－i ＝( )
A ．－1
B ．－i
C ．1
D ．i 答案 A 解析
1－2i 1＋i ＋1＋2i 1－i ＝－1－3i －1＋3i
2
＝－1，故答案为A. 3．(2020·辽宁省辽南协作体一模)下列判断错误的是( ) A ．“|a |<|b |”是“|am |<|bm |”的充分不必要条件
B ．若綈(p ∨q )为真命题，则p ，q 均为假命题
C ．命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”
D ．若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2
)，P (ξ≤3)＝0.72，则P (ξ≤－1)＝0.28 答案 A
解析 当m ＝0时，若“|a |<|b |”，则“|am |<|bm |”不成立，即充分性不成立，故A 错误；若綈(p ∨q )为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确；
命题“∀x ∈R ，ax ＋b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax ＋b >0”正确，故C 正确；若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2
)，P (ξ≤3)＝0.72＝P (ξ>－1)，则P (ξ≤－1)＝1－P (ξ>－1)＝1－0.72＝0.28，故D 正确，故选A.
4．(2020·衡水模拟)已知e 1＝(1,0)，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为30°，若3e 1－e 2，e 1
＋λe 2相互垂直，则实数λ的值是( )
A．－ 3 B. 3
C．33＋4 D．－33＋4
答案 A
解析因为3e1－e2，e1＋λe2相互垂直，所以(3e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，整理得到3
e21＋(λ3－1)e1·e2－λe22＝0，故3＋(λ3－1)×
3
2
－λ＝0，故λ＝－3，故选A.
5．(2020·齐齐哈尔二模)函数f(x)＝6x
2x＋2－x
的图象大致是( )
答案 C
解析因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－6x
2－x＋2x
＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>0时，f(x)>0，排除D，故选C.
6．(2020·银川一中二模)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是( )
A．16＋ 2 B．12＋22＋2 6
C．18＋2 2 D．16＋2 2
答案 B
解析根据三视图可知原几何体为四棱锥E－ABCD，
则它的表面积＝S △ADE ＋S △EDC ＋S △ABE ＋S △BEC ＋S
梯形ABCD
＝12×2×2＋12×2×4＋12×2×22＋12
×23×22＋1
2
×(2＋4)×2＝12＋22＋2 6.故选B.
7．(2020·哈六中模拟)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，2x ＋y ≥0，
y y －m ≤0，
若z ＝3x ＋y 的最大值为5，则正数m 的值为( ) A ．2 B.12 C ．10 D.1
10
答案 A
解析 如图，先由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ≤0，
2x ＋y ≥0
画出可行域，发现y ≥0，所以由y (y －m )≤0可得y ≤m ，且m 为正数．画出可行域为△
AOB (含边界)区域．将z ＝3x ＋y 转化为y ＝－3x ＋z ，它是斜率为－3的一簇平行线，z 表示
在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，即m ＝－3·m
2
＋5，解得m ＝2.故选A.
8．(2020·洛阳三模)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行程序框图，则输出的n ＝( )
A ．62
B ．59
C ．53
D ．50 答案 C
解析 正整数n 被3除余2，得n ＝3k ＋2，k ∈N ； 被8除余5，得n ＝8l ＋5，l ∈N ； 被7除余4，得n ＝7m ＋4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53.故选C.
9．(2020·烟台一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解
析式为( )
A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6
D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6 答案 C
解析 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，
可得y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫ωx －
ωπ
6
＋φ的图象，
∵所得图象关于y 轴对称，∴－
ωπ
6＋φ＝k π＋π
2
，k ∈Z . ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω＝－12＝sin(π＋φ)＝－sin φ，即sin φ＝12，
∴φ＝π
6，
∴－
ωπ
6＝k π＋π
3
，当ω取最小值时，取k ＝－1， 可得ω＝4，
∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，故选C.
10．(2020·厦门一模)现有甲班A ，B ，C ，D 四名学生，乙班E ，F ，G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有( )
A ．10种
B ．15种
C ．18种
D ．19种 答案 D
解析 由题意按甲、乙班参加人数分情况讨论如下： 若甲班1人，乙班3人，共1种方法； 若甲班2人，乙班2人，共C 13C 2
3＝9种方法；
若甲班3人，乙班1人，共C 23C 1
3＝9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有1＋9＋9＝19种．故选D.
11．(2020·青岛二中一模)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别为F 1，F 2，P
是双曲线上一点，点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，则双曲线的离心率是( )
A.
102 B.62 C.52 D.23
答案 A
解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .因为|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .由点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，PF 1⊥PF 2，
所以|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
，即9a 2
＋a 2
＝4c 2
，得c 2a 2＝104.所以双曲线的离心率e ＝c a ＝10
2
.
故选A.
12．(2020·大同一中二模)已知定义在R 的函数y ＝f (x )对任意的x 满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1，f (x )＝x 3.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|log a x |，x >0，－1
x
，x <0，若函数h (x )＝f (x )－g (x )
在[－6，＋∞)上有6个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，17∪(7，＋∞)
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤19，17∪[7,9)
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫19，17∪(7,9] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫19，1∪(1,9] 答案 C
解析 因为f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故f (x )是周期函数且周期为2，如图f (x )的图象与y ＝－1
x
(x <0)的图象在[－6,0)上有两个不同的交点，故f (x )的图象与g (x )的图象在
(0，＋∞)上有4个不同的交点，故⎩⎪⎨
⎪
⎧
|log a 7|<1，|log a 9|≥1，
解得7<a ≤9或19≤a <1
7
，故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2020·贵阳二模)若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3
的系数为20，则a ＝________. 答案 －1
4
解析 ∵(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为4C 25＋8a C 3
5＝20，∴a ＝－14
.
14．(2020·永州市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为43，则b ＋c 的值为________．
答案 4 5
解析 ∵b tan B ＋b tan A ＝－2c tan B ， ∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C tan B . ∴sin B (tan B ＋tan A )＝－2sin C ·sin B
cos B .
∴cos B (tan A ＋tan B )＝－2sin C . ∴cos B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝－2sin C .
∴cos B ·sin A cos B ＋cos A sin B
cos A cos B ＝－2sin C .
∴cos B ·sin A ＋B cos A cos B ＝sin C
cos A ＝－2sin C .
解得cos A ＝－12，∴A ＝2π
3
，
∵a ＝8，由余弦定理，得64＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2
－bc ，又∵△ABC 的面积为43＝
12
bc sin A ＝12×
3
2
bc ， ∴bc ＝16，b ＋c ＝4 5.
15．(2020·保定市二模)如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点
C 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
1，12
.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随
机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为________．
答案 23
解析 由抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，所以抛物线Γ的方程为y 2
＝14x ，阴影区域的面积为2⎠⎛0
1 12
x d x ＝23x 32 ⎪⎪
⎪
10＝2
3
，又因为正方形的面积为1，所以点M 在阴影区域内的概率为2
3
.
16．(2020·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →
＝________.
答案 －1
解析 如图，∵E 在线段CB 的延长线上，
∴EB ∥AD . ∵∠DAB ＝30°，
∴∠ABE ＝30°.∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. 又∵AB ＝23，∴BE ＝2.∵AD ＝5，∴EB →＝25AD →
.
∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →.
又∵BD →＝AD →－AB →，
∴BD →·AE →＝(AD →－AB →)⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－25AD →
＝AD →·AB →－25AD →2－AB →2＋25
AD →·AB →
＝75|AD →|·|AB →|·cos 30°－25×52－(23)2
＝75×5×23×3
2
－10－12＝21－22＝－1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2020·怀化市二模)已知各项均不为0的等差数列{a n }的前n
项和为S n ，若a 8＝15，且a 1，a 2，S 3成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式与S n ； (2)设b n ＝
1S n ＋2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3
4
. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 8＝a 1＋7d ＝15.
由a 1，a 2，S 3成等比数列知a 2
2＝a 1S 3， 即(a 1＋d )2
＝a 1(3a 1＋3d )＝3a 1(a 1＋d )． 所以(d －2a 1)(a 1＋d )＝0，因a 1＋d ＝a 2≠0， 于是d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，
a n ＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12
＝n 2
.
(2)证明：因b n ＝
1
S n ＋2n ＝1n
n ＋2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝
1
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋14－16
＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2<34.所以原不等式成立．
18．(本小题满分12分)(2020·石家庄模拟)某公司为了提高利润，从2020年至2020年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：
年份 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 投资金额
x (万元)
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长
y (万元)
6.0
7.0 7.4
8.1 8.9
9.6 11.1
的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)
(2)现从2020～2020年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？
参考公式：b ^＝
∑n
i ＝1
x i －x
－
y i －y
－∑n
i ＝1
x i －x
－2
＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x －y
－
∑n
i ＝1
x 2
i －n x
－2
，
a ^
＝y －－b ^x －
.
参考数据：∑7i ＝1
x i y i ＝359.6，∑7
i ＝1
x 2
i ＝259.
解 (1)由题意计算，得x ＝6，y ＝8.3,7x －y －
＝348.6，
又∑7
i ＝1
x i y i ＝359.6，∑7
i ＝1
x 2
i ＝259，
所以b ^＝∑n
i ＝1
x i y i －n x －y
－
∑n i ＝1
x 2
i －n x
－2＝359.6－348.6259－7×36＝117≈1.571，
所以a ^＝y －b ^
x ＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13， 所以回归直线方程为y ^
＝1.57x －1.13；
将x ＝8代入方程，得y ^
＝1.57×8－1.13＝11.43， 即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元． (2)由题意可知，
年份
2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 λ
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
是P ＝C 2
5C 27＝1021
.
19．(本小题满分12分)(2020·长沙统测)已知三棱锥P －ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P －ABC 中：
(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P －BC －M 的余弦值．
解 (1)证明：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .
由题意，得PA ＝PB ＝PC ＝2，PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝1. ∵在△PAC 中，PA ＝PC ，
O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，
∵在△POB 中，PO ＝1，
OB ＝1，PB ＝2，PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB .
∵AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，AC ∩OB ＝O ， ∴PO ⊥平面ABC ，
∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC . (2)由(1)知，BO ⊥PO ，BO ⊥AC ，BO ⊥平面PAC ， ∴∠BMO 是直线BM 与平面PAC 所成的角，
且tan ∠BMO ＝BO OM ＝1
OM
，
∴当OM 最短，即M 是PA 的中点时，∠BMO 最大． 由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，∴PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，
于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O (0,0,0)，C (1,0,0)，B (0,1,0)，A (－1,0,0)，P (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，0，12，
BC →
＝(1，－1,0)，PC →＝(1,0，－1)，MC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，－12.
设平面MBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·BC →＝0，
m ·MC →＝0，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1－y 1＝0，3x 1－z 1＝0.
令x 1＝1，
得y 1＝1，z 1＝3，即m ＝(1,1,3)．
设平面PBC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0，n ·PC →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，x 2－z 2＝0，
令x 2＝1，得 y 2＝1，z 2＝1，即n ＝(1,1,1)．
cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝533
＝53333.由图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为53333. 20．(本小题满分12分)(2020·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．
解 (1)因为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝p 2，可得y ＝±p . 于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2.
所以抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，
由已知可求得直线AB 的方程为y ＝x －1，
所以M (－1，－2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －1消去x ，得y 2
－4y －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4.
若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k PA ＋k PB ，
即2·y 0＋2x 0＋1＝y 0－y 1x 0－x 1＋y 0－y 2x 0－x 2
， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，
所以x 0＝y 204，x 1＝y 214，x 2＝y 224
. 代入化简可得2y 0＋2y 20＋4＝2y 0＋y 1＋y 2y 20＋y 1＋y 2y 0＋y 1y 2
， 将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2.
将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1.
于是点P (1，±2)为满足题意的点．
21．(本小题满分12分)(2020·湖南永州三模)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝1e mx (m 是常数)． (1)求函数h (x )＝f (x )g (x )－1的单调区间；
(2)当x ∈(0,4e)时，函数h (x )＝f (x )g (x )－1有零点，求m 的取值范围．
解 (1)由题意，知h (x )＝x 2e －mx －1(x ∈R )，则
h ′(x )＝2x e －mx ＋x 2(－m )e －mx ＝e －mx (－mx 2＋2x )(x ∈R )．
①当m ＝0时，令h ′(x )>0，有x >0；令h ′(x )<0，有x <0.
故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
②当m >0时，令h ′(x )>0，有0<x <2m ；令h ′(x )<0，有x <0或x >2m
. 故函数y ＝h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 上单调递增，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ，＋∞上单调递减． ③当m <0时，令h ′(x )>0，有x >0或x <2m
； 令h ′(x )<0，有2m
<x <0. 故函数y ＝h (x )在(0，＋∞)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ，0上单调递减． 综上所述，当m ＝0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－
∞，0)；当m >0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2m ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ，＋∞； 当m <0时，函数y ＝h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，2m 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ，0. (2)①当m ＝0时，由h (x )＝0可得x ＝±1，有1∈(0,4e)，故m ＝0满足题意．
②当m >0时，若2m ∈(0,4e)，即m >12e 时，由(1)知函数y ＝h (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ，4e 上单调递减． 而h (0)＝－1<0，令h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＝4m 2e －2－1≥0，有－2e ≤m ≤2e ，∴12e <m ≤2e ， 若2m ∈[4e ，＋∞)，即0<m ≤12e
时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递增．而h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，解得m <12e
ln 4e ，
而12e ln 4e>12e ，故0<m ≤12e
. ③当m <0时，由(1)知函数y ＝h (x )在x ∈(0,4e)上单调递增，由h (0)＝－1<0，令h (4e)＝16e 2e －4e m －1>0，
解得m <12e ln 4e ，而12e
ln 4e>0，故m <0. 综上所述，m 的取值范围是{|m m ≤2e
}. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2020·湖南永州三模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ.
(1)写出当α＝3π4
时的直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P (－1,1)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求
1|PA |＋1|PB |的取值范围．
解 (1)当α＝3π4
时，直线l 的普通方程为y ＝－x ， 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4x ＋y 2＝0.
(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＋4x ＋y 2＝0，整理得t 2
＋(2sin α＋2cos α)t －2＝0，
由参数t 的几何意义，有|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2，|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|，
所以1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1－t 2|2＝12＋4sin2α2
＝3＋sin2α， 又sin2α∈[－1,1]，
所以1|PA |＋1|PB |
的取值范围是[2，2]． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2020·湖南永州三模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |.
(1)当a ＝1，b ＝1时，求不等式f (x )≤4的解集；
(2)若a >0，b >0，f (x )的最小值为2，求1a ＋2b
的最小值． 解 (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－1，2，－1＜x ≤1，
2x ，x ＞1，可得f (x )≤4的解集为[－2,2]．
(2)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |≥|(x ＋a )＋(b －x )|＝|a ＋b |，又f (x )的最小值为2， 所以|a ＋b |＝2，又a >0，b >0，a ＋b ＝2，
所以1a ＋2b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋b a ＋2a b ≥12
(3＋22)， 当且仅当a ＝22－2，b ＝4－22时取等号，
故1a ＋2b 的最小值为3＋222
.。