(人工智能)人工智能原理教案章不确定性推理方法证据理论

（人工智能）人工智能原理教案章不确定性推理方法
证据理论
3.4证据理论
0.前言
●主观Bayes方法必须给出先验概率。

●Dempster和Shafer提出的证据理论，可用来处理这
种由不知道所引起的不确定性。

●证据理论采用信任函数而不是概率作为不确定性度量，
它通过对壹些事件的概率加以约束来建立信任函数而
不必说明精确的难于获得的概率。

●证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当这种约束限
制为严格的概率时（即概率值已知时），证据理论就退
化为概率论了。

1.证据的不确定性度量
(1)基本理论
辨别框概念：设U为假设x的所有可能的穷举集合，且设U 中的各元素间是互斥的，我们称U为辨别框（Frameofdiscernment）。

设U的元素个数为N，则U的幂集合2U的元素个数为2N，每个幂集合的元素对应于壹个关于x取值情况的命题（子集）。

对任壹AU，命题A表示了某些假设的集合(这样的命题间不再有互斥性)。

针对医疗诊断问题，U就是所有可能疾病(假设)的集合，诊断结果必是U中确定的元素构成的。

A表示某壹种(单元素)或某些种疾病。

医生为了进行诊断所进行的各种检查就称作证据，有的证据所支持的常不只是壹种疾病而是多种疾病，即U的
壹子集A。

定义1：基本概率分配函数（Basicprobabilityassignment）：对任壹个属于U的子集A（命题），命它对应于壹个数
m∈[0,1]，而且满足
则称函数m为幂集2U上的基本概率分配函数bpa，称m(A)为A的基本概率数。

m(A)表示了证据对U的子集A成立的壹种信任的度量，取值于[0,1]，而且2U中各元素信任的总和为1。

m(A)的意义为
●若A⊂U且A≠U，则m(A)表示对A的确定信任程度。

●若A=U，则m(A)表示这个数不知如何分配（即不知道的
情况）。

例如，
设U={红，黄，白}，2U上的基本概率分配函数m为
m（{}，{红}，{黄}，{白}，{红,黄}，{红,白}，{黄,白}，{红,黄,白}）=（0，0.3，0，0.1，0.2，0.2，0，0.2）
其中，
m({红})=0.3表示对命题{红}的确定信任度。

m({红,黄,白})=0.2表示不知道这0.2如何分配。

值得注意的是，
m({红})+m({黄})+m({白})
=0.3+0+0.1=0.4<1
因此，m不是概率，因为概率函数P要求
P(红)+P(黄)+P(白)=1
即有
P(A)=1-P(~A)
而这里m(A)1-m(~A)
其中：~A=U-A，是A的补集。

小结：bpa不同于Bayes方法，因为Bayes方法仅对U中单个元素赋予壹种信任――概率。

而对于bpa来说：
●给U的每个子集指派[0，1]中的壹个数；
●空集的指派为0；
●所有子集的指派值之和等于1。

●m(U)只是总可信度的壹部分。

于对U中的适当子集分派
可信度之后，剩余的可信度就不再分派给其它任何子集，
而只分派给U本身。

即：如果有壹证据仅支持U的壹个子
集A，m(A)=S，而不支持其它任何子集B，则指派
m(U)=1-S，m(B)=0，B≠A，BU。

定义2：信任函数（Belieffunction）：
命题A的信任函数Bel：2U→[0,1]为
∀A⊆U
表示对A的总信任。

即，命题A的信任函数的值，是A的所有子集的基本概率之
和。

例如，于前面的例子中
Bel({红}，{白})
=m({红})+m({白})+m({红,白})
=0.3+0.1+0.2
=0.6
根据定义能够见出
Bel()=0
Bel(U)=1
单元素集上m和Bel是相等的，例如:
Bel({红})
=m({红})
=0.3。

定义3：似然函数（Plausibilityfunction）：
命题A的似然函数Pl:2U→[0,1]为
∀A⊆U
表示对于不否定A的信任度，是所有和A相交的子集的基本概率之和。

其中：～A=U-A，是A的补集。

信任函数和似然函数有以下的关系：
0≤Bel(A)≤Pl(A)≤1
Pl(A)-Bel(A)表示了既不信任A也不信任~A的壹种度量，可表示对命题A是真是假不知道的度量。

用记号
A[Bel(A)，Pl(A)]
来综合描述A的不确定性。

其中，Bel(A)和Pl(A)分别表示命题A 的下限函数和上限函数。

实际上m，Bel，Pl只要知其壹，必可求得另俩个，但三个函数有不同含义。

例如，于前面的例子中：
m({红})=0.3
Bel({红})=m({红})+m({})
=0.3+0=0.3
Pl({红})=1-Bel({~红})
=1-Bel({黄,白})
=1-[m({黄})+m({白})+m({黄,白})]
=1-(0+0.1+0)
=0.9
所以，{红}[Bel({红})，Pl({红})]={红}[0.3，0.9]。

以下列举几个典型值的含义：
A[1，1]
表示A为真。

因为Bel(A)=1，Bel(~A)=1-Pl(A)=0。

A[0，0]
表示A为假。

因为Bel(A)=0,Bel(~A)=1-Pl(A)=1。

A[0，1]
表示对A壹无所知。

因为：Bel(A)=0，说明对A缺少信任；Bel(~A)=1-Pl(A)=0，
说明对~A也缺少信任。

A[0.6，1]
表示对A部分信任。

因为Bel(A)=0.6，Bel(~A)=0。

A[0，0.4]
表示对~A部分信任。

因为Bel(A)=0，Bel(~A)=0.6。

A[0.3，0.9]
表示同时对A和~A部分信任。

(2)证据描述
设某个领域的辨别框U={S1,S2,…,S n}，m为2U上定义的基本概率分配函数，于下面描述的算法中，应满足如下条件：
a)m({S i})≥0,对S i∈U
b)
c)m(U)=1-
d)m(A)=0,对A U，且|A|≠1（集合A的元素个数不为1，且又不
包括全体元素）
例如，U={红，黄，白}时下面的基本概率分配函数：
m（{红}，{黄}，{白}，{红,黄,白}，{}）
=（0.6，0.2，0.1，0.1，0）
其中，m（{红,黄}）=m（{红,白}）=m（{黄,白}）=0。

定义4（证据的信任函数）：
对任何命题A⊆U，其信任函数为
Bel(A)=∀A⊂U
Bel(U)=
定义5(证据的似然函数)：
对任何命题A⊆U，其似然函数为
Pl(A)=1-Bel(～A)=1-A⊂U
=1-
=1-[1-m(U)-Bel(A)]
=m(U)+Bel(A)
根据之上定义，能够见出命题的信任函数和似然函数之间满足下列关系：
●Pl(A)≥Bel(A)
●Pl(A)-Bel(A)=m(U)
除了以A[Bel(A)，Pl(A)]来作为证据A的不确定性度量外，仍可用类概率函数来度量。

定义6(类概率函数)：
设U为有限域，对任何命题A⊆U，命题A的类概率函数为其中|A|、|U|分别表示A和U所含元素个数。

类概率函数具有如下性质：
1）
2)Bel(A)≤≤Pl(A)，∀A⊆U
3)=1-，∀A⊆U
根据之上性质，能够得出以下推论：
1)
2）
3)
能够见出，类概率函数和概率函数具有非常相似的性质。

(3)证据的组合
对于同样的证据，由于来源不同，会得到不同的概率分配函数。

Dempster提出用正交和来组合这些函数。

定义7(正交和)：
设m1,m2,…,m n为2U上的n个基本概率分配函数，它们的正交和m(A)=（m1m2…m n）（A）为
其中
k-1=1-
若k-1＝0,则m i之间是矛盾的，没有联合基本概率分配函数。

若k-1≠0,这样的m i就确定壹个基本概率分配函数。

常数k是根据m1m2…m n需对2U的所有元素的基本概率分配之和为1来确定的。

(这种规定称作Dempster组合规则，要求m1m2…m n提供的证据满足某种独立性条件)
2.规则的不确定性度量
设某个领域的辨别框U={S1,…,S n}，命题A、B、…为U的子集，推理规则为
E→H，CF
其中，E、H为命题的逻辑组合，CF为可信度因子。

命题和可信度因子可表示为
A={a1,…,a k}
CF=(c1,…,c k)
其中c i用来描述a i的可信度，i=1,2,…,k。

对任何命题A，A的可信度CF应满足：
1)c i≥0，1≤i≤k
3.推理计算
(1)当条件部分为命题的逻辑组合时，整个条件部分的确定性计算：
=min{}合取
=max{}析取
(2)结论部分的命题的确定性计算：
即，已知，A→B(c1,…,c k)，如何计算。

思路：根据前面介绍的方法，首先计算基本分配函数m(B),然后计算结论部分命题B的信任函数Bel(B)、似然函数Pl(B)，最后计算类概率函数和确定性。

设B={b1,b2,…,b k}，且U={b1,b2,…,b k}，则U上的基本概率
分配函数为
m({b1},…,{b k})=(c1,…,c k)
c i
便可得。

(3)独立证据导出同壹假设
如果有n条规则支持同壹命题时，根据Dempster组合规则，总的基本概率分配函数m为各规则结论得到的基本概率分配函数的正交和：
m=m1m2…m n
例如，已知A1→B(c1,…,c k)
A2→B()
以及
如何计算。

首先计算总的基本概率分配函数m=m1m2，然后计算命题B 的信任函数、似然函数，进而可求出类概率函数。

例U={a,b,c,d}（参见p101）
:{b,c,d}→0.7U→0.3
:{a,b}→0.6U→0.4
可列表求m=m1m2
m1
,
于是
{b}→0.42，{a,b}→0.18,{b,c,d}→0.28
U→0.12(=0.7(0.6+0.4)+0.3(0.6+0.4)=1)
有了便可计算，如
()({a,b})
=
=m()+m({a})+m({b})+m({a,b})
=0+0+0.42+0.18=0.60
随之可计算，从而可得
4.举例（p102）
(1)已知=0.8.=0.6)|U|=20→B={,}()=(0.3,0.5)来计算。

先计算=min{}=min{0.8,0.6}=0.6
进而计算=(0.6×0.3,0.6×0.5)=(0.18,0.3)
于是有Bel(B)=m()十m({})+m({})+
=0+0.18+0.3+0=0.48
(依C i定义,m({})=0.18，m({})=0.3，随之有
m(U)=1－(0.18+0.3)=0.52，而对U的其他子集的m值均赋以
Pl(B)=1-Be1(~B)=1-0=1
最后得
=0.48+(1-0.48)=0.53。

(2)已知=0.53,=0.52,|U|=20。

以及
→B={}，()=(0.1,0.5,0.3)
→B={}，()=(0.4,0.2,0.1)
求。

先求
=(0.53×0.1,0.53×0.5,0.53×0.3)=(0.053,0.265,OJ59) (U)=1壹(0.053+0.265+0.159)=0.524
=(0.52×0.4,0.52×0.2,0.52×0.1)
=(0.208,0.104,0.052)
(U)=1-(0.208+0.104+0.052)=0.636
以及m=
=({})()+({})(U)+
()()+()(U)
+(()+()(U)+(U)({})+(U)()
+(U)()+(U)(U)
=0.874
得
m({})=(({})({})+({})(U)+(U)({})
=0.176
m()=(()()+()(U)+(U)())
=0.299
m()=((()+()(U)+(U)())
=0.157
m(U)=1-(0.176+0.299+0.157)=0.368
于是
Bel(B)=m({})+m()+m()=0.632
Pl(B)=1
最后得
=
=0.632十(1-0.632)·3/20
=0.687
从代数观点见，MYCIN、EMYCIN、PROSPECTOR、D-S给出的不确定方法均可构成半群；MYCIN、D-S方法仍有单位元但无逆元；EMYCIN、PROSPECTOR方法既有单位元又有逆元，从而可构成群。

5.本节小结
证据理论有如下壹些特点：
1)证据理论满足比概率论更弱的公理系统。

当|A|>1，m(A)=0时，
证据理论就退化为概率论；当对所有的m(A i)≠0，有A1⊆A2⊆…⊆A n时，证据理论退化为Zadeh的可能性理论。

2)证据理论能够区分不知道和不确定。

3)证据理论能够处理证据影响壹类假设的情况，即证据不仅能影响
壹个明确的假设（和单元素子集相对应）、仍可影响壹个更壹般的不明确的假设（和非单元素子集相对应）。

因此，证据理论能够于不同细节、不同水平上聚集证据，更精确地反应了证据收集过程。

4)证据理论的缺点是：要求辨别框中的元素满足相互排斥的条件，
于实际系统中不易满足。

而且，基本概率分配函数要求给的值太多，计算比较复杂。

5)。