高中数学总复习第二轮专题一 1.2 函数的图象

§1.2 函数的图象
考点核心整合
1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.
2.函数图象的作法有两种:一种是描点法；另一种是图象的变换法.
(1)描点法作图:一般要考虑定义域,化简解析式,描出能确定图象伸展方向的几个关键点. (2)利用图象变换法作图:
①平移变换:y=f(x)
y=f(x-h);y=f(x)y=f(x)+k.
②对称变换:y=f(x)−−→−轴
关于x y=-f(x), y=f(x)−−→−轴
关于y y=f(-x)；
y=f(x)−−
−−→−=a
x 关于直线y=f(2a-x)； y=f(x)−−−−→−=x
y 关于直线y=f -1(x)； y=f(x)−−
−→−关于原点y=-f(-x). ③翻折变换:
y=f(x)y=f(|x|);
y=f(x)
y=|f(x)|.
④伸缩变换:
y=f(x)y=f(ax);
y=f(x)y=af(x).
考题名师诠释
【例1】已知函数y=xf ′(x)的图象如右图所示〔其中f ′(x)是函数f(x)的导函数〕，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )
解析：由图象知当0<x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0,即f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，否定A、B、D.故选C.
答案：C
【例2】已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2，规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x).试讨论h(x)是否有最大值或最小值,并说明理由.
解：画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A、B之间,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).
综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.
【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.
解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0 f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数.
又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,
∴f(0)≠0.
从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数. (2)⎩⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧+=-+=-).
14()(),
4()().7()7(),2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f ⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)，从而知函数y=f(x)的周期为T=10.
又f(3)=f(1)=0,
∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,
故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，在［2 000，2 005］上有2个根，在［-2 000，0］上有400个根，在［-2 005，-2 000］上没有根.所以函数y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802个根.
【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x. (1)求g(x)的表达式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在［-1,1］上是增函数，求实数λ的取值范围. 解：(1)设y=f(x)的图象上任意一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),则⎩⎨⎧-=-=.
,
00y y x x
∵Q(x 0,y 0)在y=f(x)的图象上， ∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x. 故g(x)=-x 2+2x.
(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x 2-|x-1|≤0.
当x ≥1时，2x 2-x+1≤0，此不等式无解； 当x<1时，2x 2+x-1≤0，解得-1≤x ≤2
1. 因此原不等式的解集为［-1,
2
1］. (3)h(x)=-(1+λ)x 2+2(1-λ)x+1.
①当λ=-1时，h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1. ②当λ≠-1时，对称轴方程为x=λ
λ
+-11. (ⅰ)当λ<-1时，
λλ
+-11≤-1,解得λ<-1； (ⅱ)当λ>-1时，λ
λ
+-11≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0.
【例5】已知函数f(x)=x 3+3ax-1,g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是f(x)的导函数. (1)对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，求实数x 的取值范围；
(2)设a=-m 2，当实数m 在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. 解：(1)由题意,g(x)=3x 2-ax+3a-5. 令φ(a)=(3-x)a+3x 2-5,-1≤a ≤1.
对-1≤a ≤1，恒有g(x)<0，即有φ(a)<0. ∴⎩⎨
⎧<-<,
0)1(,
0)1(ϕϕ
即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.
083,02322x x x x
解得-3
2
<x<1. 故x ∈(-3
2
,1)时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0.
(2)f ′(x)=3x 2-3m 2.
①当m=0时，f ′(x)=x 3-1的图象与直线y=3只有一个公共点； ②当m ≠0时， x (-∞,-|m|)
-|m| (-|m|,|m|)
|m| (|m|,+∞)
f ′(x) + 0 - 0 + f(x)
↗
极大
↘
极小
↗
极小 又因为f(x)的值域是R ，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x>|m|时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.
当x<|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|). 由题意得，f(-|m|)<3, 即2m 2|m|-1=2|m|3-1<3. 解得m ∈(-32,0)∪(0,32). 综上，m 的取值范围是(-32,32).。