积分变换第1讲x

f ( u)e i u du
25
F ( ).
显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数 的变换，便可由此求出其位移函数的变换！ 同理可得
F 1[ F ( 0 )] f ( t )e i0 t .
推论 设F [ f ( t )] F ( ) ，则对于实常数 0 , 有
1 事实上，设 ( ) F ( ), 则 i
1 f (t ) 2
1 [ ( )]e i t d i
18

1 2
1 i t 1 e d ( )e i t d i 2

1 sin t 1 d ( )e i t d 2 2 1 sin t 1 d . (*) 0 2
2
第七章
傅立叶变换
主要内容：
1、 傅立叶积分公式 2、傅立叶变换及其性质 3、卷积
3
§1 傅立叶级数与积分
1、傅立叶级数的指数形式 在《高等数学》中有下列定理： 定理1 设fT ( t )是以T为周期的实函数，且在 T T [ , ]上满足狄氏条件，即在 一个周期上满足： 2 2 （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有
1 f (t ) 2



[


f ( )e i d ]e i t d .
( 2)
公式（2）称为函数 f(t) 的傅氏积分公式.
6
定理2 若 f(t) 在(-, +)上满足条件: (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 即


| f ( t ) | dt收敛.
则（2）在 f(t) 的连续点成立.
而在f ( t )的间断点t 0 处 , 应以 f ( t 0 0) f ( t 0 0) 来代替. 2
上述定理称为 傅氏积分定理.
7
§2
傅立叶变换
1、傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件（？）时， 在 f(t) 的连续点处有：


f (t )e i t dt为f (t )的傅立叶变换
简称傅氏变换,记为 F ( ) F [ f ( t )];
1 称( 2)式，即f ( t ) 2



F ( )e i t d为傅立叶逆变换
1
简称傅氏逆变换,记为 f (t ) F [ f ( t )].

( t )d t 1.


( 2)

证明： ( t )d t lim ( t )d t
0

1
0

d t 1.
15
一些工程书中，δ -函数常用一个长度等于1 的有向线段来表示.
(t)
1
O
(2) 筛选性质
t
对于无穷次可微的函数 f(t)，有
由于


0
sin x dx , x 2
t u
所以
当 t<0 时,有


sin t
0

d
t 0时 0


sin u sin u du du . 0 u u 2
19
同理当 t>0 时，有


sin t
f (t ) 2



[


f ( )e i d ]e it d .
从上式出发，设 F ( ) 则 1 f (t ) 2



f ( t )e i t dt ,

(1)


F ( )e i t d .
( 2)
8
称(1)式，即F ( )
4
a0 fT ( t ) (a n cos nt bn sin nt ). (1) 2 n 1
其中
2 T 2 2 a0 T f T ( t ) d t , , T 2 T 2 T a n 2 f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), T T 2 2 T 2 bn T f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ). T 2
即 F (sin 0 t ) i ( 0 ) ( 0 ) . 同理，可得
F (cos 0 t ) ( 0 ) ( 0 ) .
23
§4
傅立叶变换的性质
为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类 实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握. 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡 是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中 的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1、 线性性质 设F1 ( ) F [ f1 (t )], F2 ( ) F [ f 2 (t )], 则
F [k1 f1 (t ) k2 f 2 (t )] k1F1 ( ) k2 F2 ( ).
逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质. 24
其中k1，k 2为常数.
2、位移性质
称 f ( t t 0 )为 f ( t )的位移函数 .
设F [ f (t )] F ( ) ，则对于实常数0 , 0 , 有 t

t 0
1.
可见, 单位脉冲函数 氏变换对； 同理, 换对.
(t)与常数1构成了一傅
(tt0)和 e i t0 亦构成了一个傅氏变
17
例2
1, u( t ) 0,
t 0, t0
称为单位跃阶函数.
1 证明u( t )的傅氏变换为 ( ). i
证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明.
这个f (t )叫做指数衰减函数 是工程中常碰到 , .
f (t)
o
10
t
解:根据定义, 有
F ( )


f ( t )e
i t
dt

0
e t e i t d t


0
e ( i ) t d t
1 i i . 2 2
12
本讲小结：
1. 掌握傅氏积分定理的条件和结论； 2. 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念.
13
§3 单位脉冲函数
1、 单位脉动函数
1 , (t ) 0,
(t)
1/
0 t , 其它.
O 2、 单位脉冲函数

t
在物理和工程技术中, 有许多物理现象具有脉冲性质. 例如断电以后的突然来电等; 在力学中, 机械系统受冲击 力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介 绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理 及工程技术中被广泛地采用. 14
第二部分
积分变换
傅立叶积分变换 （傅氏变换）
拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）
1
积分变换简介
所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把 一个函数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参 变量，具体形式可写为 ：

b
a
k ( t , ) f ( t )dt F ( ).
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K ( t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
11
根据积分表达式的定义,有
1 f (t ) 2 1 2



F ( )e i t d



i i t e d 2 2
注意到 e i t cos t i sin t .
1 i f (t ) 2 2 (cos t i sin t )d 2 1 cos t sin t d . 2 2 0
断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [ f ' ( t )] iF [ f ( t )].
证明：根据定义，得
F [ f (t )]


f (t )e
i t
dt e i t d f (t )



sin u du . u 2
综上所述，根据(*), 有
1 f ( t ) F [ ( )] i 1 1 t0 1, 2 2 1 1 0, t0 2 2
1
u(t ).
证毕.
20
例3 求 ( 0 )和 ( ) 的傅氏逆变换. 解：由定义，有
( 3)

一般地


( t ) f ( t )d t f (0).



(t t 0 ) f (t )d t f (t 0 ).
(4)
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这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛 的应用.
例1 求单位脉冲函数的傅氏变换.
解： F ( )
( t )e i t d t e i t
(1)式和(2)式，定义了一个变换对 ( )和 f (t ). F 也称F ( )为 f (t )的像函数； (t )为F ( )的原像函数. f
还可以将 f(t) 和 F()用箭头连接: f(t) F() .
9
t0 0, 例1 求函数 f ( t ) t 的傅氏变换及 e , t 0 其积分表达式 其中 0. ,
1 F [ ( 0 )] 2
1



( 0 )e i t d
特别地 故 得到
1 i 0 t e . 2 1 1 . F [ ( )] 2
i0 t
F [e
] 2 ( 0 ).
21
于是，有



e
i ( 0 ) t
在间断点t 0 处， )式右端级数收敛于 (1 1 [ fT ( t 0 0) fT ( t 0 0)]. 2
5
2、傅立叶积分
任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周 期函数 fT (t) 当T→+∞时转化而来的.
T
lim fT ( t ) f ( t ).
于是
d t 2 ( 0 ).
(**)
注意0 0时也常用 .
例4
求正弦函数 f(t)=sin0 t 的傅氏变换.
解： F ( )




e
i t
sin 0 td t e 2i
i0 t


e
i 0 t

e
i t
dt
22
1 i ( 0 ) t i ( 0 ) t e ]d t [e 2i ** 1 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2i i ( 0 ) ( 0 ) .
1 F [ f ( t ) cos 0 t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )], 2
i F [ f ( t ) sin 0 t ] [ F ( 0 ) F ( 0 )]. 2
提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.
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3、微分性质
如果 f(t) 在(-, +)上连续或只有有限个可去间
F [ f (t t 0 )] e i t0 F ( ) .
证明：根据定义，得
F [ f ( t t 0 )]



f ( t t 0 )e i t d t

t t0 u


f ( u) e i ( u t 0 ) du
e e
i t 0 i t 0
2.1 单位脉冲函数的定义 定义 对于任何一个无穷次可微的函数 f(t), 称满足

( t ) f ( t )d t lim ( t ) f ( t )d t
0


(1)
的 ( t )为 函数.这里 ( t )是单位脉动函数 .
2.2 单位脉冲函数的性质 (1) 积分性质