海南高一高中数学期中考试带答案解析

海南高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
2.下列描述不能看作算法的是（）
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书
C．利用公式计算半径为4的圆的面积，就是计
D．解方程
算
3.如图所示的程序框图，输出的结果是，则输入的值为（）
A．B．C．D．
4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，且其正视图为如图所示的等腰三角形，则该四棱锥的表面积是（）
A．B．C．D．
5.若输入5，如图中所示程序框图运行后，输出的结果是（）
A．B．C．D．
6.用简单随机抽样方法从有25名女生和35名男生的总体中，推选5名学生参加健美操活动，则某名女生被抽到的机率是（）
A．B．C．D．
7.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．1365石B．338石C．168石D．134石
8.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为，
；标准差分别是，，则有（）
A． <，<B． <，>C． >，<D． >，>
9.已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为（）
A．B．C．D．
10.在面积为的△的边上任取一点，则△的面积大于的概率是（）
A．B．C．D．
11.（课本69页例3改编）如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任
意一点，且，，则二面角的大小为（）
A．B．C．D．
12.已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.如图是某算法的程序框图，当输入的值为7时，则其输出的结果是 .
2.某班有学生45人，现用系统抽样的方法，以座位号为编号，现抽取一个容量为3的样本，已知座位号分别为11，41的同学都在样中，那么样本中另一位同学的座号应该是__________.
3.已知数据的方差为2，若数据的方差为6，则的值为______.
4.已知在四棱锥中，⊥底面，底面是正方形，，现在该四棱锥内部或表
面任取一点，则四棱锥的体积不小于的概率为__________.
三、解答题
1.某校高一（1）班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分
如图所示，据此解答如下问题：
（1）求该班全体男生的人数；
（2）求分数在之间的男生人数，并计算频率公布直方图中之间的矩形的高；
（3）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
2.下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量（单位：吨）及对应销售价格（单位：万元/吨）.
（1）若与有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出关与的线性回归方程；
（2）若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润最大？最大利润是多少？
参考公式：，.
3.（课本127页例2改编）已知过点的圆，圆心在轴的负半轴上，且半径为5.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆的所截得的弦长为，求直线的方程.
4.已知集合，，设，在集合内随机取出一个元素.
（1）求以为坐标的点落在圆内的概率；
（2）求以为坐标的点到直线的距离不大于的概率.
（提示：可以考虑采用数形结合法）
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）求在上的解析式；
（3）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间.
6.解下列关于未知数的不等式：
（1）；
（2）.
海南高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.设全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
本题选择B选项.
2.下列描述不能看作算法的是（）
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书
C．利用公式计算半径为4的圆的面积，就是计
D．解方程
算
【答案】D
【解析】A，B，C都说明了按一定规则解决某一类问题的明确、有限的步骤，而D只是提出了问题，故D不是算法。

本题选择D选项.
3.如图所示的程序框图，输出的结果是，则输入的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 .
本题选择D选项.
4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，且其正视图为如图所示的等腰三角形，则该四棱锥的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意画出原几何体如图，该几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，
高 ,则斜高 .
∴该四棱锥的表面积为 .
本题选择A选项.
5.若输入5，如图中所示程序框图运行后，输出的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】输入5>0，所以y=-1。

本题选择C选项.
6.用简单随机抽样方法从有25名女生和35名男生的总体中，推选5名学生参加健美操活动，则某名女生被抽到的机率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】某名女生被抽到的机率是
本题选择C选项.
点睛：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
7.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．1365石B．338石C．168石D．134石
【答案】C
【解析】由题意得，这批米内夹谷约为石，选C．
【考点】样本估计总体的实际应用．
8.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为，
；标准差分别是，，则有（）
A． <，<B． <，>C． >，<D． >，>
【答案】B
【解析】由茎叶图得到甲的数据位于茎叶图的左上方,
乙的数据位于茎叶图的右下方，
甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，
∵茎叶图中的数据越往下越大，
∴ <，>.
本题选择B选项.
点睛：茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．
9.已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，∴在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
本题选择D选项.
10.在面积为的△的边上任取一点，则△的面积大于的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|>”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.
11.（课本69页例3改编）如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任
意一点，且，，则二面角的大小为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵垂直于所在平面，∴∠PCA即为直线与底面所成的角。

在△ABC中，是的
直径，∴∠ACB=90°，又，，∴AC=1，∴在Rt△PAC中，
.
本题选择C选项.
点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
12.已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是上的偶函数，所以，又因为在上单调递增，所以，故.
本题选择A选项.
二、填空题
1.如图是某算法的程序框图，当输入的值为7时，则其输出的结果是 .
【答案】4
【解析】输入x=3，x>0 ，所以x=3-3=0，满足x≤0，∴，故输出1.
2.某班有学生45人，现用系统抽样的方法，以座位号为编号，现抽取一个容量为3的样本，已知座位号分别为11，41的同学都在样中，那么样本中另一位同学的座号应该是__________.
【答案】26
【解析】样本分段间隔为 ，11+15=26，26+15=41，所以样本中另一位同学的座号应该是26.
点睛：(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔． (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
3.已知数据的方差为2，若数据的方差为6，则的值为______. 【答案】
【解析】∵数据x 1,x 2,…,x n 的方差为2，∴数据ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为：a 2⋅2=6， ∴a 2=3，解得 .
4.已知在四棱锥中，
⊥底面
，底面
是正方形，
，现在该四棱锥内部或表
面任取一点，则四棱锥的体积不小于的概率为__________.
【答案】
【解析】当四棱锥O−ABCD 的体积为时，
O 到平面ABCD 的距离为 ，
据此可得 ， 四棱锥
与四棱锥
相似，
则满足题意的几何概型概率为相似比，即 .
点睛：很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．
三、解答题
1.某校高一（1）班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题： （1）求该班全体男生的人数； （2）求分数在之间的男生人数，并计算频率公布直方图中之间的矩形的高； （3）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
(1)由题意结合频率可得该班全体男生的人数为25人；
(2)结合茎叶图可得之间的男生人数为（人），矩形的高为.
(3)结合频率分布直方图可得该班全体男生的数学平均成绩约为.
试题解析：
解：（1）由茎叶图知，分数在之间的频数为2，
由频率分布直方图知，分数在之间的频率为，
所以该班全体男生人数为（人）
（2）由茎叶图可见部分共有21人，所以之间的男生人数为（人），
所以，分数在之间的频率为，
频率分布直方图中间的矩形的高为.
（3）由频率分布直方图可知，所求该班全体男生的数学平均成绩约为
2.下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量（单位：吨）及对应销售价格（单位：万元/吨）.
（1）若与有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出关与的线性回归方程；
（2）若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润最大？最大利润是多少？
参考公式：，.
【答案】（1）（2）万元
【解析】
(1)利用回归方程的公式求得，，故所求的线性回归方程为
(2)由回归方程得到利润函数，结合二次函数的性质可预测当年产量为吨时，年利润最大，最大利润为万元. 试题解析：
解：（1）由表格得，，，
，，
故所求的线性回归方程为
（2）由题意得，年利润，
所以，预测当年产量为吨时，年利润最大，最大利润为万元.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
3.（课本127页例2改编）已知过点的圆，圆心在轴的负半轴上，且半径为5.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆的所截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）（2），或
【解析】
(1)设出圆心坐标，结合题意求得圆心坐标为 ,则圆的方程为.
(2)设出直线方程，求得圆心到直线的距离，结合弦长公式可得直线的方程是，或.
试题解析：
解：（1）由题意可设圆的圆心坐标为，则圆的标准方程为，
将点代入，得，解得，或（不合题意）
故所求圆的标准方程为.
（2）由题意，可设直线的方程为，即，
又由（1）得圆心坐标为，半径为5，
则，解得，或，
所以所求直线的方程为，或.
即，或.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．4.已知集合，，设，在集合内随机取出一个元素.
（1）求以为坐标的点落在圆内的概率；
（2）求以为坐标的点到直线的距离不大于的概率.
（提示：可以考虑采用数形结合法）
【答案】（1）（2）
【解析】解：
(1)由题意结合几何概型可得点落在圆内的概率是；
(2)在平面直角坐标系中画图，由几何概型公式可得以为坐标的点到直线的距离不大于的概率为
.
试题解析：
（1）由题意知，所求事件的概率为；
（2）由题意，到直线的距离不大于的点为夹在两条平行直线与之间的范围内，如图所示，故所求事件的概率为.
5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）求在上的解析式；
（3）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间.
【答案】（1）;（2）（3）和
【解析】
(1)由题意结合函数的解析式可得，，则.
(2)结合题意分段求解函数的解析式可得.
(3)结合函数的图像可得函数的单调递增区间为和
试题解析：
解：（1）因为，所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以，
故.
（2）由题意，当，即时，则，
又，所以，
故所求函数在上的解析式为.
（3）图象如图所示.
由图可得，函数的单调递增区间为和.
6.解下列关于未知数的不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)零点分段求解不等式可得不等式的解集为；
(2)利用指数函数的单调性结合题意可得不等式的解集为.
试题解析：
解：（1）当，即时，有，
当，即时，有，
综上得，原不等式的解为.
（2）当时，函数为单调递减函数，
由题意得，，解得，故原不等式的解为。