2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.2参数方程与普通方程的互化同步测控苏教版选修
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.4.2 参数方程与普通方程的互化》6
泰兴市第三高级中学高二（ 数学 ）学科教学案授课老师： 徐琴【课题】：参数方程与普通方程的互化【学习目标】1掌握参数方程与普通方程的相互转化2了解几种常见曲线的参数方程【学习重点】参数方程化为普通方程的几种方法【学习过程】复习回顾：参数方程的定义引入新课：由参数方程cos 3,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数直接判断点M 的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。
参数方程与普通方程的相互转化1参数方程化为普通方程的过程就是消参的过程，常用方法有：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去转化过程中,的取值范围必须保持一致，否则互化不等价！2普通方程转化为参数方程必须引入参数，常见几种曲线的参数方程：（1）圆 的参数方程（2）圆 的参数方程为（3）椭圆 的参数方程为 222x y r +=cos sin x r y r ϕϕϕ⎧⎨⎩==为参数22()()1x a y b -+-=cos sin x a r y b r ϕϕϕ⎧⎨⎩=+=+为参数22221x y a b +=cos sin x a y b ϕϕϕ⎧⎨⎩==为参数普通方程转化为参数方程时,的取值范围依然要保持一致，否则转化不等价！例1： 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？小结：1参数方程化普通方程的常见方法,的范围必须保持一致练习：例2：曲线2y x =的一种参数方程是（ ）2224sin A B C sin x t x t x t x y t y t y t y t ==⎧⎧=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩⎩、、、、1)1t y ⎧⎪⎨=-⎪⎩(1)为参数sin cos ().1sin 2y θθθθ+⎧⎨=+⎩x=(2)为参数1()2()1()2a t t b y t t ⎧+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x=t (3)为参数23cos (1)3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩sin (2)cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩221(3)1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩注意 ：普通方程化参数方程，在引入变量过程中注意,的范围必须保持一致！例3求圆221y +=x 的参数方程变：求圆22(4)1y +-=(x-3)的参数方程 变：求椭圆22194x y +=的参数方程【课堂小结】1知识技能：2思想方法：【课后作业】书本P56 ，2,3，4，5，6，。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。
参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。
对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。
参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。
例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。
与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。
对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。
普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。
具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。
b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。
c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。
2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。
具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。
b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。
c.将方程整理，化为参数方程的形式。
值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。
参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。
因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。
除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。
例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。
苏教版高二数学选修4-4 4.4.2 参数方程与普通方程的互化 学案
4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[思考·探究]1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (t ＋1t )cos θ，y ＝a (t －1t )sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝(x ＋1)(x －1)23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． 【解】 (1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2＋1t 2＋2. 把y ＝t 2＋1t 2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2； 当t ＜0时，x ＝t ＋1t ≤－2. ∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)． (2)⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y3)2＝1. 即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.(1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数) (2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)， 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1， ∴⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)， 这就是所求的参数方程． [再练一题]2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. ∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).中点的轨迹方程．【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题．【自主解答】 直线MN 方程⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．[再练一题]3．经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)， 则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得 t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2， 且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554. (1)BC ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 9(2cos α＋sin α)2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)， 即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵BC ＝9(2cos α＋sin α)2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)， ∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32cos α(2cos α＋sin α)，y ＝－32＋32sin α(2cos α＋sin α)(0≤α<π)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32(cos 2α＋12sin 2α)，y ＋34＝32(sin 2α－12cos 2α).∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．[真题链接赏析](教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎨⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)；(5)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程： x －2y ＋2＝0，故所求直线的斜率为12， 因此其方程为y ＝12(x －4)， 即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4. 又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)的焦点坐标是________．【导学号：98990030】【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________． 【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化
参数方程和普通方程是微积分中极其重要的两个概念，它们也是数学家们探索与研究的重点之一。
几个世纪以来，数学家们一直努力地探索参数方程和普通方程之间的联系和关系。
本文主要讨论参数方程和普通方程之间的相互转换关系，并介绍一些用于实现转换的方法。
参数方程和普通方程是密切相关的两个概念，它们之间可以相互转换换。
参数方程可以称为微分方程的另一种表示形式，它的解也可以通过普通方程来定义。
即参数方程的解也可以看成是普通方程的解。
一般来说，当参数方程的参数被给定时，可以将参数方程转换为普通方程；当普通方程的参数被给定时，可以将普通方程转换为参数方程。
普通方程和参数方程之间的转换可以通过曲线积分法和线性变
换法来实现。
曲线积分法是以参数形式表示曲线的各种方程，可以将参数方程转换为普通方程，更准确地说是曲线积分方程。
线性变换法是将参数方程的参数进行变换，并由此将参数方程转换为普通方程。
在实际应用中，普通方程和参数方程的转换非常重要。
例如，如果需要求解某个参数方程的解，可以先将该参数方程转换为普通方程，然后再求解普通方程。
此外，参数方程和普通方程之间的转换也可以用来检验普通方程的解，并可用来求解更复杂的参数方程。
总之，通过曲线积分法和线性变换法，可以顺利地实现参数方程和普通方程的相互转换。
这种相互转换的方法为解决复杂的数学问题提供了很大的帮助，也为数学的探索做出了重要的贡献。
- 1 -。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。
将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。
以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。
我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。
首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。
然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。
因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。
同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。
通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。
二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。
以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。
通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。
类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。
根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。
三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。
参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。
参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。
此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。
参数方程与普通方程的互化
2cos 5(为参数)所 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
x r r cos 是3、4，圆则y圆 心2r 坐r s标in是 (__为_（_参_2_，数__1，_）_r___0)的直径
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
o
2
x
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤： 1、消掉参数 2、写出定义域
练习1
下列参数方程与方程y2 x表示同一曲线的是
A
x y
t t
2
(t为参数)
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y的取值范围保持一致。
作业：26页1、2、4、5
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。
参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。
接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。
1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。
下面以一个简单的例子来说明这个过程。
考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。
观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。
我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。
然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。
2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。
下面同样以一个例子来说明。
考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。
我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。
通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。
3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。
参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。
在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。
普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。
在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。
4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
高中数学4.4参数方程2参数方程与普通方程的互化课件苏教版选修4-4
阶
段
段
一
三
4.4.2 参数方程与普通方程的互化
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．
[基础·初探]
1．过定点
P0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线的参数方程为xy＝＝
x0＋lcos y0＋lsin
α α
， (l
为参数)，其中参数 l 的几何意义：有向线段 P0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．
【思路探究】 设出直线 MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参 数方程中 t 的几何意义及根与系数的关系解题．
1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量， 使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化 为普通方程．
2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数 l 的几何意义．
2．圆
x2＋y2＝r2
的参数方程为yx＝＝
rcos rsin
θ θ
，
(θ 为参数)．
圆心为
M0(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为yx＝＝
x0＋rcos y0＋rsin
θ θ
， (θ 为参数)．
参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11， (1)
y＝t3－2t 1
(t
为参数)；(2)yx＝＝45scions
1．将参数方程xy＝ ＝2
t， t－4
(t 为参数)化为普通方程为________．
【解析】 将 x＝ t代入 y＝2 t－4 得 y＝2x－4. 又∵x＝ t≥0，∴普通方程为 2x－y－40)
442 参数方程与普通方程的互化
4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程．2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]，αlcos x ＝x ＋?0?l 的直线的参数方程为(y)，倾斜角为α1．过定点P(x ，000αsin ＋ly ＝y ?0 )．的数量(P 为该直线上任意一点的几何意义：为参数)，其中参数l 有向线段PP 0 ，θx ＝rcos ?222? ．＝r 的参数方程为为参数(θ)2．圆x ＋y θsin y ＝r ?，cos θx ＋rx ＝?0? ．θ为参数，半径为r 的圆的参数方程为)(，圆心为M(xy) 000θsin y ＋ry ＝?0，acos φx ＝22?yx ? )．(φ为参数的参数方程为3．椭圆＋＝1 22 ba φbsin y ＝? ]探究思考[· ．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？1那么所求得的曲线的参数方如果选用的参数不同，【提示】 不一定惟一． 程的形式也不同． ．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？2用直角坐标变量表(【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式 ，再代入另一个方程．示)程数方对．例如于参式三或角函数中的恒等消去参数用②利代数 1?，＋?cos θ＝xa ?t ? t ?22θ＋θcossin 是常数，θ是参数，那么可以利用公式如果t1??，θtay ＝?－sin ? t 22)n －)－(mnm 是参数，那么适当变形后可以利用是常数，消参；如果＝1θt(＋＝4mn 消参．页 1 第[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：1t ＋?，x ＝? 1t －，θ5cos x ＝??? ．θ(1)为参数为参数)；(2))((tt21－＝4sin θy ??＝y ? 31－tt ＋1x ＋1. ＝＝，得t 【自主解答】 (1)由x1－xt －12?－1＋x1??x ?t2(x ≠1)．代入y＝化简得y＝23131x＋t－x?①cos θ＝，??5，＝5cos θx???得(2)由1y＋?1θ－y＝4sin ??②θ＝. sin ?42?y ＋1?2x22①＋②得＋＝1. 1625[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程：1?，＋x＝t?t?(t为参数)(1)；1?2?＋ty＝2t页 2 第，＝2＋3cos θx?? (θ为参数)(2)．θy＝3sin ?11222. ＋t∵x＝t＋，∴x＋＝【解】(1)2tt1222.＋＝把yt＝＋代入得xy2t11 2；＋＞0时，x＝t≥又∵x＝t＋，当t tt12. ≤－＜0时，x＝t＋当t t2.≤－∴x≥2或x2．2或x≤－2)∴普通方程为x＝y＋2(x≥?，＝2＋3cos θx?? (2)?θy＝3sin ??2x－?，cos θ＝3?可化为y?.＝sin θ?32－xy221. ＋()＝两式平方相加，得()33229.y－即普通方程为(x2)＝＋普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．22?1－?2?y?x－) θ为参数3cos θ＋1.(＝(1)＋＝1，x532)为参数＋t1.(t－1＝0，x＝(2)xy－＋x22?21－?y－??x【自主解答】(1)将x＝3cos θ＋1代入＋＝1得：y＝2＋553sin θ.页 3 第?，θ＋x1＝3cos ?? )∴，(θ为参数?2＋5sin yθ＝?这就是所求的参数方程．2得：＝0y＋x－x＝t＋1代入x1－(2)将222 1，t＋3＋＋t＋1－1＝y＝x(＋x－1＝t ＋1)t?，1x＝t＋??，(t为参数∴)2?1＋t＋3ty＝?这就是所求的参数方程．] 再练一题[22，将它化为参数方程．9＝0＋2x－62．已知圆的方程为xy＋y＋】【导学号：9899002922221. 3)＝＋(y－(x－6y＋9＝0化为标准方程为xx【解】把＋＋y1)＋2?，θ＝－x1＋cos ??).∴参数方程为为参数(θ?θsin y＝3＋?利用参数求轨迹方程2＝8x于M，N的动直线l交抛物线y两点，求MN中点的轨(1,0)过A迹方程．【思路探究】设出直线MN的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t的几何意义及根与系数的关系解题．?，α＋tcos x＝1?2?，x＝为参数)代入y8【自主解答】直线MN方程≠(α0，t?αtsin ＝y?220.＝8cos α－α－8tsint得α4cos 1 ，)t＝则t(＋t＝，tGMN，，t对应参数为，设MNt中点的参数为2200121αsin2页 4 第?，＋x＝1?2αsin?2．4(x∵－消去α得y1)＝α4cos ??，2α4cos＝yαsin用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变．1然后再消去参数，从而得到动点的参数方程，量，使动点的坐标分别与参数有关，化为普通方程．的几何意义．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l]再练一题[3??22，－－3??C、25x相交于3．经过点A＋yB＝，倾斜角为α的直线l与圆2??两点．求弦BC的长；(1) 的中点时，求直线BC的方程；(2)当A 恰为BC 时，求直线BC的方程；(3)当BC＝8 M的轨迹方程．的中点(4)当α变化时，求动弦BC )，(P为l上的动点【解】取AP＝t为参数?，α3＋tcos x＝－?则l的参数方程为3，αtsin y＝－＋?222 25代入x，整理，得＋y＝5520.＝tα＋sin α)－t－3(2cos 42 55>0恒成立，＋sin α)＋Δ∵＝9(2cos αt，∴方程必有相异两实根t，2155. tt·＝－＋t＝3(2cos αsin α)，t且＋221142＝4tt＋t|＝t－|＝?tt?－BC(1)2122112＋?55.α＋2cos 9?αsin页 5 第0，＋BC中点，∴tt＝(2)∵A为212. α＝－α＝0，∴tan 即2cos α＋sin3 3)，＋＝－2(x＋故直线BC的方程为y20. 15＝＋2y＋即4x2，＝?8＋55＝9?2cos α＋sin α(3)∵BC32. α＝－＝0或α)tan ＝1.∴cos α∴(2cos α＋sin40.15＝4y＋x的方程是x＝－3或3＋∴直线BCtt＋321，)＋sin α对应的参数是t ＝＝(2cos α(4)∵BC的中点M22 的轨迹方程为∴点M3?，sin α?α?2cos α＋x＝－3＋cos ?2?(0≤α<π)．33???αα＋sin ＋sin α?2cos ＝－y22133?，α?cos 2α＋sin 2?x＋＝?222?∴133??.α?y ＋＝sin 2α－?cos 2242453322.＝y＋)(∴x＋)＋(16245333 为半径的圆．，－(－)为圆心，以M即点的轨迹是以424][真题链接赏析并说将下列参数方程化为普通方程，题页习题(教材第564.4第2) 明它表示什么曲线：?，t3x＝－4＋??；)t(1)(为参数?t4－＝y3?页 6 第?，13cos θ－x＝??；θ为参数(2))(?2＋＝3sin θy?2?t1－?，x＝?；t为参数(3))(t4?＝y?2t＋1a?，x＝θcos 2t1＋?；(4)为参数)(θ?θtan y＝b?，sin θx＝?? )．(θ为参数(5)?θcos 2y＝?，x＝5cos φ??的右φ为参数中，在平面直角坐标系xOy求过椭圆)(φy＝3sin ?，t4x＝－2??焦点，且与直线平行的直线的普通方程．(t为参数)t3y＝－?本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性【命题意图】质、直线方程、两条直线的位置关系等知识．b，＝3【解】由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长22，所以右焦点为a＝(4,0)－b．＝从而c4将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，1故所求直线的斜率为，21因此其方程为y＝(x－4)，2即x－2y－4＝0. 页 7 第?，＝xt? ________1．将参数方程．(t为参数)化为普通方程为4ty＝－2?4. －＝2代入y＝x2t－4得【解析】将xy＝t x≥0)．，∴普通方程为2x－y－4＝0(又∵x＝t≥00)＝0(x≥【答案】2x－y－42，＝tx?? ________2．圆锥曲线．(t为参数)的焦点坐标是t＝2y?【导学号：98990030】2轴x，表示开口向右，焦点在y【解析】将参数方程化为普通方程为x＝4 ，则焦点坐标为(1,0)．p＝4?p＝2正半轴上的抛物线，由2(1,0)【答案】2，θsinx＝2＋??．(θ为参数)化为普通方程为3．将参数方程________2θsiny ＝?．y∈[2,3]，∈[0,1]【解析】转化为普通方程为y＝x－2，且x3)≤x－2(2≤x【答案】y＝，x＝t??t(C的参数方程分别为4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C和21t＝y??，＝2cos θx?的交点坐标为________．θ为参数)，则曲线C与和为参数)C(21θ＝2sin y?2 0)，≥0，y≥C【解析】的普通方程为yx＝x(1222.x＝＋yC的普通方程为2??2，1≥0，y0x＝≥＝yx，x????得由22??1.y ＝＝x＋y2??∴C与C的交点坐标为(1,1)．21【答案】(1,1)我还有这些不足：页 8 第(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 页 9 第。
高中数学4.4.2参数方程与普通方程的互化教案新课标人教A版选修4-4
参数方程与普通方程的互化 学案【学习目标】1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型2．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程【学习重难点】参数方程与普通方程相互转化。
【学习过程】一、导入新课同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：例：2x+y+1=0表示直线请同学们阅读课本24页，回答第（3）小题。
思考：1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程的互化中，要注意哪些方面？二、例题选讲【例3】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数） （2）⎨⎧+=θθcos sin x （θ为参数） 解：（1）由11≥+=t x 有-=x t 代入t y 21-=得到)1(32≥+-=x x y 这是以（1，1）为端点的一条射线三．课堂练习)(sin 3cos )3(149)2(123)1(222为参数θθθ⎩⎨⎧=+==+++=y x y x x x y 为端点的线段和、以、圆为端点的射线、以、直线的轨迹是则点为参数、若曲线)1,0()0,2(,1)1()0,2(,022)(),(),(sin 2cos 1{1222D y x C B y x A y x y x =+-=-+=+=θθθ.____)(sin 2cos 2{)(11{2个的交点有为参数则它与曲线为参数为若已知直线的参数方程ααα==-=+=y x t t y t x 、四、例4 （请同学们自学课本例4，思考并讨论）归纳：把含有参数等式代入即可回答问题：1.如果没有明确x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？五、高考链接六、小结把参数方程转化为普通方程：()的范围x 1 ()消去参数2把普通方程转化参数方程：把含有参数等式代入即可七、课后作业_______)(12cos cos {1的取值范围为则有两个交点与直线为参数为若已知曲线的参数方程a ，a y t y x 、=+==θθ_________)4()5(,)(sin cos 2{),(222为的最大值则上任意一点为参数是曲线、++-=+=y x y x y x P ααα__________))2[(sin cos 2),())(2010(3的取值范围为则上为参数在曲线已知点理量测评年普通高中高三教学质汕头市、x y ，，，y x y x P ππθθθθ∈⎩⎨⎧=+-=⎩⎨⎧==++=-=_______14)(3221))(09(k ，ky x t ty t x 则常数垂直与直线为参数若直线文广东。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。
一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。
然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。
参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。
对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。
一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。
这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。
以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。
在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。
通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。
二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。
这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。
2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。
3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。
以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程是一类多项式方程组，在一定条件下可以相互互化。
参数方程是把未知量以参数的形式表示，即在方程中以参数的形式出现，把直接求解出来的未知量的过程改为先求出参数大小，再根据参数给出的方程求解未知量，这样可以非常方便地解决一些复杂的问题，并且求解时更容易得到整体的解。
普通方程是指未知量出现在方程中，通过求解这些方程就可以求出未知量的值。
通过适当的替换，可以把参数方程转换为普通方程。
首先，可以用定义的参数来替换参数方程中的参数，然后对方程的每个自变量和参数进行分别求导，得到无关的普通方程，再利用分离变量法去除参数，最后求解得到未知量的值。
参数方程转换为普通方程步骤如下：
1.用定义的参数替换参数方程中的参数；
2.对每个自变量和参数分别求导，得到无关的普通方程；
3.利用分离变量法去除参数，得到普通方程；
4.将普通方程转化为一般形式，求解自变量的值；
通过上述步骤，可以将参数方程转换为普通方程，并获得解析函数，从而求出未知量的值。
参数方程在一定条件下可以转换为普通方程。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4知识必备4.4.2参数方程与普通方程的互化
4.4.2 参数方程与普通方程的互化自主整理1.如图所示，直线过点P0(x0,y0)，且倾斜角为α，则直线的参数方程为______________．参数l的几何意义是有向线段P0P的数量．答案:⎩⎨⎧+=+=ααsin,coslyylxx（l为参数）2．圆心在原点的圆的参数方程为⎩⎨⎧==,sin,cosθθryrx,圆心在C(a,b)的圆的参数方程为______________（其中r>0，θ是参数,θ∈［0,2π)）．参数θ的几何意义是以圆心C(a,b)为顶点且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．答案:⎩⎨⎧+=+=θθsincosrbyrax高手笔记1.关于直线参数方程一般式：⎩⎨⎧+=+=btyyatxx,（t为参数），有下面的一些结论：（1）abatbtxxyyk==--=0；（2）设直线上两点A、B对应的参数分别为t1、t2，则|AB|=22212212)()(babtbtatat+=-+-|t1-t2|．2．圆的参数方程可由圆的标准方程转化而来，在圆的参数方程中参数φ具有明确的几何意义．由(x-a)2+(y-b)2=r2,得1)()(22=-+-rbyrax，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,sin,cosϕϕrbyraxφ∈［0,2π),则可得到圆心在C(a,b)，半径为r的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin,cosrbyrax（其中r>0，φ是参数,φ∈［0,2π)）．3．椭圆的普通方程与参数方程的互化．（１）12222=+byax可化为1)()(22=+byax，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos ϕϕby a xφ∈［0,2π),则可得到椭圆的参数方程为 ⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos b y a x （φ为参数,φ∈［0,2π)）． （２）⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos b y a x ,φ∈［0,2π)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos ϕϕb y axφ∈［0,2π),由cos 2φ+sin 2φ＝1得12222=+by a x ． 4．抛物线参数方程的推导.设抛物线的普通方程为y 2=2px ．要选一个参数把它化为参数方程十分简单.例如，可选y 自身为参数t ，则x=p t 22，得抛物线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==.,212t y t p x 通常令t=p 21y ，则x=p y 22=2pt 2，此时抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==.2,22pt y pt x名师解惑1．曲线参数方程与普通方程的互化具有什么意义？ 剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程．这都是基于对曲线的更好的研究，有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．在进行曲线的参数方程与普通方程互化时要注意什么问题？剖析：曲线的参数方程与曲线的普通方程可以相互转化．在将二者互化的过程中，要注意互化前后二者的等价性，在消参数时要特别注意变量范围的“一致性”，即要注意曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减少，否则它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧途，不能真正解决问题（注意：并不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便对其性质进行研究，如后面要学习到的摆线和圆的渐开线，一般都是研究其参数方程）． 讲练互动 【例题1】曲线⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数,θ∈［0,2π))上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是A.21B.22C.1D.2解析：方法一：消去θ得x 2+y 2=1．所以曲线是一个单位圆，其圆心在原点，半径为１.所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于１，且不会等于１（这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边），最大值必大于１，排除A 、B 、C ，故选Ｄ．方法二：取θ=4π，这时曲线上的点到x 轴和y 轴的距离之和,即点（22,22)到两坐标轴的距离之和为2＞１，淘汰A 、B 、C ，故选Ｄ． 方法三：设M 为曲线⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数,θ∈［0,2π))上任意一点,则M(cosθ,sinθ),M 到x轴、y 轴的距离之和d=|cosθ|+|sinθ|≤2)|sin ||cos (|222=+θθ(当且仅当|cosθ|=|sinθ|,即θ=4π,43π,45π,47π时取“＝”).故选D ． 答案：D 绿色通道本题利用参数方程本身，消参后化为普通方程，以及所表示的图形，从直接求解或间接淘汰都能正确地选出选项． 变式训练1．求圆的方程为x 2+y 2＝2的参数方程．解：圆的方程可化为(1)2()2(2=+y x ．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin 2,cos 2θθy x θ∈［0,2π),从而得圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数,θ∈［0,2π)）． 2．直线⎩⎨⎧+=+=ty t x 2,21(t 为参数)被圆x 2+y 2=9截得的弦长为（ ）A.512 B.5512 C.559 D.1059解析：把⎩⎨⎧+=+=ty t x 2,21代入到圆方程x 2+y 2=9中，整理,得5t 2+8t-4=0．|t 1-t 2|=512516)58(4)(221221=+-=-+t t t t ，所以弦长l=2212+|t 1-t 2|=5512．【例题2】化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（１）⎪⎩⎪⎨⎧++==11,2ttyx（t为参数，t≠－１）；（２）⎩⎨⎧-==αα2cos2,cos2yx（α为参数）；（３）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212,12ttytx（t为参数）．思路分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，但要注意消去参数时变量范围的一致性．解：（１）∵|(t+1)+11+t|≥２，∴|y+1|≥２.∴y≥１或y≤－３．∴普通方程为⎩⎨⎧-≤≥=,3,1,2yyx，方程的曲线如下图．（２）y＝２－（2cos2α－１）＝3－2cos2α，将cosα＝2x代入，得y＝３－２×42x＝－22x＋３．∴普通方程为y＝－22x＋３（|x|≤２），方程的曲线如下图．（3）两式相除得t=xy，代入x=211t+,得2)(12xy+．整理得x2+y2-2x＝０．∵x=212t+＞０，∴普通方程为x2+y2-2x＝０（x＞０），方程的曲线如下图．绿色通道（１）消去参数的常用方法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法；（２）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的x、y的范围，以保证普通方程与参数方程等价．变式训练3．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎨⎧==θθsin3,cos3yx(0≤θ≤2π);(2)⎩⎨⎧==tytxsin2,cos2(π≤t≤2π).解：（１）由⎩⎨⎧==θθsin3,cos3yx得x2+y2＝９.又由０≤θ≤2π,得０≤x≤３，０≤y≤３.所以所求方程为x2＋y2＝0（0≤x≤3且0≤y≤3）,这是一段圆弧（圆x2＋y2＝9位于第一象限包含端点的部分）．（２）由⎩⎨⎧==,sin2,cos2tytx得x2＋y2＝４．由π≤t≤2π,得－２≤x≤２，－２≤y≤0．所求方程为x2+y2＝４（－２≤x≤２，－２≤y≤０）．这是一段半圆弧（圆x2+y2＝４位于y 轴下方包括端点的部分）．4．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--mmmmyx22,22（m为参数）所表示的曲线是（）Ａ．直线Ｂ．双曲线的一支Ｃ．椭圆的一部分Ｄ．抛物线解析：∵x+y=2m+1,x-y=2-m+1，∴(x+y)·(x-y)=2m+1·2-m+1，即x2-y2=4.但注意到x=2m+2-m≥2mm-2·2＝2，∴方程表示的曲线为双曲线的右支．答案：Ｂ。
2019-2020年高中数学 2.1 第2课时 参数方程和普通方程的互化教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.1 第2课时 参数方程和普通方程的互化教案新人教A 版选修4-4课标解读1.了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．3．掌握参数方程化为普通方程的方法.参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f ty ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.参数方程化为普通方程在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t 为非零常数时， 原方程组为⎩⎨⎧x －at＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b 2t 2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆．(ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x－e －x )2＝4，(1－k 21＋k 2)2＋(2k 1＋k 2)2＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θy ＝1－2sin 2θcos 2θ(θ为参数)； (3)⎩⎨⎧x ＝a2t ＋1ty ＝b2t －1t(a ，b 为大于零的常数，t 为参数)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ两式平方相加，得x 2＋y 2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x ≤2,0≤y ≤2.所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎨⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0. ∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 所以方程x －y ＝0(12≤x ≤1)表示一条线段．(3)∵x ＝a 2(t ＋1t)，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2(t ＋1t)，两边平方可得x 2＝a 24(t 2＋2＋1t2)①由y ＝b 2(t －1t )两边平方可得y 2＝b 24(t 2－2＋1t2)②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．普通方程化为参数方程 曲线的普通方程为x －123＋y ＋225＝1，写出它的参数方程．【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程．【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ，(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)； (2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)已知x 、(1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝ba(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ.∴sin θ－k cos θ＝k －3即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3.(φ由tan φ＝－k 确定)∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k 2.依题意，得|k －31＋k 2|≤1，∴(k －31＋k 2)2≤1，解得k ≥43.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[43，＋∞)．(教材第26页习题2.1第4题)把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．(xx·广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【命题意图】 本题考查了极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．利用普通方程过渡，三种方程的互化体现了转化与化归思想的应用，同时也考查函数与方程思想的应用，这个过程用计算串联起来，考查考生的运算求解能力．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2xx 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t【答案】 D3．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ.(θ为参数)．故选D. 【答案】 D4．(xx·郑州模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．【解析】 消去α得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 【答案】 ρ＝4sin θ(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1，(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24. 【答案】 A3．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan φy ＝1－tan 2φ C.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 由x 2＋y －1＝0，知x ∈R ，y ≤1. 排除A 、C 、D ，只有B 符合． 【答案】 B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝－4＋sin θ，(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．【解析】 设M (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝－4＋sin θ上任意一点，∴|OM |＝3＋cos θ2＋－4＋sin θ2＝26＋6cos θ－8sin θ＝26＋10sin θ＋φ(φ由tan φ＝－34确定)当sin(θ＋φ)＝1时，|OM |取最大值6.【答案】 66．(xx·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝4－42＋8＋82＝16.【答案】 16三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝3t ＋1t ，(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程． 【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t －2， 又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2. ∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．8．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点．(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)． (1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝25，cos φ＝15确定)． ∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立．∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1.∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．9．(xx·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(233，π2)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． ①设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；②判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 ①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . ②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)， 所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交． 教师备选10．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求． .。
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2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.2参数方程与普通方程的互化同
步测控苏教版选修
同步测控
我夯基,我达标
1.已知三个方程：①②③（都是以t 为参数）．那么表示同一曲线的方程是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．①② Ｃ．①③ Ｄ．②③
解析：①②③的普通方程都是y=x 2，但①②中x 的取值范围相同，都是x∈R ，而③中x 的
取值范围是－1≤x≤1.
答案：Ｂ
2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为（ ）
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)
解析：转化为普通方程为y=x-2，但由于x∈［2,3］,y∈［0,1］,故选C.
答案：C
3.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α
αααcos sin ,sin 2cos 212y x （α为参数）表示（ ） Ａ．圆 Ｂ．半圆 Ｃ．直线 Ｄ．线段
解析：x=cos2α+sin 2α=(1-2sin 2α)+sin 2α=,
而y=sin α+cos α=sin(α+),∴-≤y≤．从而该参数方程化成普通方程为x=（-≤y≤），它
表示一条线段．
答案：Ｄ
4.若一直线的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=t y y t x x 23,2100（t 为参数），则此直线的倾斜角为（ ） A.60° B.120° C.300° D.150°
解析：y-y 0=-(x-x 0)，斜率k=-，倾斜角为120°．
答案：Ｂ
5.曲线的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x （t 是参数，t≠０）,它的普通方程是（ ）
A.(x-1)2
(y-1)=1 B.y= C.y=-1 D.y=
解析：由x=1-,得=1-x.由y=1-t 2,得t 2=1-y.所以(1-x)2·(1-y)=()2·t 2＝1，进一步整理得
到y=．
答案：B
6.直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 211,212(t 为参数）被圆x 2+y 2=4截得的弦长为．
解析：直线化为普通方程为x+y-1=0，圆心到直线的距离d==，所以弦长的一半为，得弦长为．
答案：
7.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(参数t∈R ),圆C 的参数方程为(参数θ∈［0,2π)),则圆C 的圆心坐标为_____________,圆心到直线l 的距离为_____________.
解析：l 的普通方程为x+y=6,
圆C 的方程为x 2+(y-2)2=4,
∴圆心(0,2),d=
答案：(0,2)
我综合,我发展
8.曲线（θ为参数,θ∈［0,2π)）表示的图形是（ ）
Ａ．第一、三象限的平分线
Ｂ．以（-a,-a ）、（a,a ）为端点的线段
Ｃ．以（－a ，－a ）、（-a,-a ）为端点的线段和以（a,a ）、（a,a ）为端点的线段 Ｄ．以（－a ，－a ）、（a ，a ）为端点的线段
解析：显然y=x ，但x=asin θ+acos θ=asin(θ+)，-|a|≤x≤|a|．故图形为以（-a,-a ）、（a,a ）为端点的线段．
答案：Ｄ
9.参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=222
2
15,13t t
y t t x (t 为参数）表示的图形为（ ） 解析：从x=中解得t 2＝-x ，代入y=中，整理得到2x+y-5＝0．但由t 2
=≥0解得0≤x<3．所以化为普通方程为2x+y-5＝0（0≤x<3），表示一条线段,但不包括右端点.
答案：Ｃ
Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．线段(但不包括右端点) Ｄ．椭圆
10.已知曲线(t 为参数，p 为正常数）上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1+t 2=0，那么|MN|＝_______________．
解析：化为普通方程为y 2=2px(p>0)，表示抛物线.由t 1+t 2=0,可知线段MN 垂直于抛物线的
对称轴（即x 轴）．于是|MN|=2p|t 1-t 2|=2p|2t 1|．
答案：4p|t 1|
11.圆的参数方程为(θ为参数,θ∈［0,2π))，则此圆的半径为_______________．
解析：由得x 2+y 2=(3sin θ+4cos θ)2+(4sin θ-3cos θ)2=25(sin 2θ+cos 2θ)＝25，
所以圆的半径为5．
答案：5
12.参数方程(t 为参数)的普通方程为．
解析：4)2)(2(22
222=-+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---y x y x e y x e y x e e y e e x t t t t t t ． 答案：(x≥2) 我创新，我超越
13.参数方程(θ为参数,θ∈［0,2π))表示什么曲线？ 解：显然=tan θ，则,11
cos 2
22+=x y θ. x=cos 2θ+sin θcos θ=sin2θ+cos 2θ=×+cos 2
θ, 即22222211111221x
y x y x y x y x y x ++=+++⨯=,, 得x+=+1，即x 2+y 2
-x-y=0．
表示的曲线是圆． 14.分别在下列两种情况下，把参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=--θθsin )(21,cos )(21t t t t e e y e e x 化为普通方程：
（1）θ为参数，且θ∈［0,2π),t 为常数；
（2）t 为参数，θ为常数．
解：（1）当t=0时，y=0,x=cos θ，即|x|≤1,且y=0;当t≠0时，cos θ=)(2
1t t e e x
-+,sin θ=)(21t t e e y --. 而cos 2θ+sin 2θ=1,即)(412t t e e x -++2
2
)(4
1t t e e y --=1. （2）当θ=k π,k∈Z 时，y=0,x=±(e t +e -t )，
即|x|≥1，且y=0；
当θ=k π+,k∈Z 时，x=0,y=±(e t -e -t )，即x=0；
当θ≠k,k∈Z 时，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+--,sin 2,cos 2θθy e e x e e t t t t ,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=-.sin 2cos 22,sin 2cos 22θθθθy x e y x e t t 而2e t ·2e -t ＝4，于是
4)sin 2cos 2)(sin 2cos 2(=-+θθθθy x y x , 即.。