万源市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

万源市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题中的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
2． 若实数x ，y 满足，则（x ﹣3）2+y 2
的最小值是（ ）
A ．
B ．8
C ．20
D ．2
3． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A ．
B ．y=﹣2x+5
C ．y=lnx
D ．y=
4． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．6
5
B C ．5 D
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e
∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y
x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1[,]e e
B.2(,]e e
C.2(,)e +∞
D.21(,)e e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
8． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
9． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 10．设0＜a ＜1，实数x ，y
满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A
． B
． C
． D
．
11．设a ，b
为正实数，11a b
+≤23
()4()a b ab -=，则log a b =（ ）
A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 12．已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx
，则
= ．
14．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的
值是 ．
16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{ 5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若
()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
18．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2
c B a b ⋅=+，ABC ∆
的面积S =，
则边c 的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能
力．
三、解答题
19．设函数f（x）=x2e x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D. （1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．
22．（本题满分12分）已知向量(sin ,
(sin cos ))2
a x x x =+，)cos sin ,(cos x x x
b -=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C a c b cos 22=-，求)(B f 的取值范围.
【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.
23．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1=BC 1=2，∠AA 1C 1=60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D ．
（1）求证：BD ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值．
24．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．
（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
万源市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
2．【答案】A
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离d min=，
∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
3．【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
4．【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，
若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
5．【答案】B
考点：双曲线的性质．
6．【答案】B
【解析】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
7．【答案】B
【解析】
8．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令
，
平面PBC 的法向量所以，
同理平面PDC 的法向量，因为平面PBC ⊥平面PDC ，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=
，
所以PA=
．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
9． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a >，0d <”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10．【答案】A
【解析】解：0＜a ＜1，实数x ，y 满足，即y=
，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称， 在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A ．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
11．【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=，
∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.
12．【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A
B ∴=，故选D.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
14．【答案】
．
【解析】解：∵直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a ），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
15．【答案】345
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
16．【答案】4+．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
17．【答案】
7 1
4⎛⎤ ⎥⎝⎦，
【解析】
18．【答案】1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）…
令
∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；
单减区间为（﹣2，0）．…
（2）令
∴x=0和x=﹣2，…
∴
∴f（x）∈[0，2e2]…
∴m＜0…
20．【答案】
【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2时，y2=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴k MN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），
∴B的横坐标为x=3﹣，
直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2， 又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝2， ∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2， ∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝ 2.
由（1）知DE ＝12CA ＝2
2，
所以DE 的长为2
2.
22．【答案】
【解析】（1）由题意知，)cos )(sin cos (sin 2
3
cos sin )(x x x x x x x f +-+
=⋅= )3
2sin(2cos 232sin 21π-=-=
x x x ……………………………………3分 令2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ，Z k ∈，则可得12
512
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ，Z k ∈. ∴)(x f 的单调递增区间为]12
5,12
[π
ππ
π+
-
k k （Z k ∈）.…………………………5分
23．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1，
∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，
∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形， 同理△ABC 1是等边三角形， ∵D 为AC 1的中点，∴BD ⊥AC 1， ∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，
平面ABC 1∩平面AA 1C 1C=AC 1，BD ⊂平面ABC 1， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ．
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DB 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC 1
的一个法向量为，设平面ABC
的法向量为
，
由题意可得
，
，则
，
所以平面ABC
的一个法向量为=
（，1，1），
∴cos θ
=
．
即二面角C 1﹣AB ﹣C
的余弦值等于
．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，
∴所求概率为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
2251
(2)10
C P C ξ===
，（9分） 故ξ的分布列为：
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯+⨯+⨯= （12分）。