推荐高考数学一轮复习讲练测浙江专题85 直线平面垂直的判定与性质讲 含解析

2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章立体几何
第05节直线、平面垂直的判定与性质
【最新考纲解读】
内容
要求
备注A B C
立体几何1．以立体几何的定
义、公理和定理为
出发点，认识和理
解空间中线面垂直
的有关性质与判定
定理．
√
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别
用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有初步的，感性的认识，知道这一知识内
容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题
中识别和认识它.
理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，
能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识
内容对有关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题
的能力.
掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够
进行分析，研究，讨论，并且加以解决.
2．能运用公理、
定理和已获得的结
论证明一些空间位
置关系的简单命
题．
√
【考点深度剖析】
纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，体现了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容．空间中的垂直关系作为高考命题的重点，客观题、大题都有考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．
【课前检测训练】
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．
(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．
(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，π
2]．
(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b. (5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α. (6)若直线a⊥平面α，直线a
平面β，则α⊥β.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√. 2．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α，m
β.( )
A ．若l⊥β，则α⊥β
B ．若α⊥β，则l⊥m
C ．若l∥β，则α∥β
D ．若α∥β，则l∥m
答案：A
解析：面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础．如果采用排除法，思维量会增加．
1.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B
【解析】A 中两条直线也可以相交或异面，故A 错；B 中描述的是线面垂直的性质定理，故B 正确；
C 中还会出现n α⊂，故C 错；
D 中n 与α不垂直时也满足，故D 错.
2.【【百强校】2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是（ ）
A ．若,l m m α⊂∥,则l α∥
B ．若,l m αα⊥⊂,则l m ⊥
C ．若,l m l α⊥⊥,则m α⊥
D ．若,l m αα⊂∥,则l m ∥ 【答案】B
【解析】若,l m m α⊂∥,则l α∥或l α⊂；若,l m αα⊥⊂,则l m ⊥；若,l m l α⊥⊥,则
m α⊥或m α⊂；若,l m αα⊂∥,则l m ∥或,l m 异面；因此选B.
3.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）
( )．
A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13
【答案】B
【解析】取BD 的中点O ，连接A ′O ，OC ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面
BCD .平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C
⊥BD ，又A ′C ∩A ′O ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ，∴BD ⊥OC 与OC 不垂直于BD 矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误．∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′D ，∴A ′C ＝2，∵A ′B ＝1，BC ＝BD 2
＋CD 2
＝3，∴A ′B 2
＋A ′C 2
＝BC 2
，A ′B ⊥A ′C ，B 正确．∠
CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误．V A ′－BCD ＝1
3S △A ′BD ·CD ＝16
，
D 错误，故选B.
4.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( ) A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m
B ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m
D ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β 【答案】 D
【解析】对A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如下图(1)，α，β不垂直；对B ，l ⊂α，m ⊂β，
n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如下图(2)，α，β不垂直；
对C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，α，β的关系不能确定；对D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥
β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知α⊥β.
5.【选自2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，
5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5
4
AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF
∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '= （Ⅰ）证明：D H
'⊥平面ABCD ；
【答案】（Ⅰ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'
D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面. 试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由A
E C
F =得
AE CF
AD CD
=，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得2204DO B AB AO ==-=.
由//EF AC 得
1
4
OH AE DO AD ==.所以1OH =，3D H DH '==. 于是1OH =，2
2
2
2
3110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥. 又D H
EF '⊥，而OH EF H ⋂=，
所以D H ABCD '⊥平面.
A
B
D
D'
E H O
z x
y
F
【题根精选精析】
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
【1-1】【2015-2016学年福建省龙海市程溪中学】如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3
三点重合于点
G ，这样，下列五个结论：
（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（ ）
D S
G 2G 3
G 1
F
E
G
A ．（1）和（3）
B ．（2）和（5）
C ．（1）和（4）
D ．（2）和（4） 【答案】C 【解析】
故选C.
【1-2】【【百强校】2016届福建省厦门市高三5月月考】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ；
④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥.
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④ 【答案】D
【解析】对于①可以有β⊂m ,故不成立；关于③可以有βα ，所以不成立,故应选D. 【1-3】【【百强校】2016届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题正确的是（ ）
A ．若βα⊥，β⊂m ，则α⊥m
B ．若βα∥，α∥m ，则β∥m
C ．若βα∥，α⊥m ，则β⊥m
D ．若α∥m ，β∥m ，则βα∥ 【答案】C
【解析】依据空间线面角的定义可知答案C 是正确的,故应选C.
【1-4】【【百强校】2016届浙江省杭州市高三第二次质检】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若
PA AD AB kBC ===(01)k <<，则（ ）
A ．当1
2k =
时，平面BPC ⊥平面PCD B ．当1
2
k =时，平面APD ⊥平面PCD
C ．当(0,1)k ∀∈，直线PA 与底面ABC
D 都不垂直 D ．(0,1)k ∃∈，使直线PD 与直线AC 垂直 【答案】A 【解析】
试题分析：分别取PC PB ,的中点分别为N M ,,连结MN ，由平面⊥PAB 平面
ABCD ,AB BC ⊥,可知⊥BC 平面PAB ,AM BC ⊥∴；又点M 为PB 的中点，
PB AM ⊥∴.可得⊥AM 平面PBC ,而BC AD //且BC
AD 2
1
=，同时BC MN //且BC MN 2
1
=
，
MN AD //∴且MN AD =,则四边形ADNM 为平行四边形，可得DN AM //,则⊥DN 平面BPC ，又⊂DN 平面PCD ,∴平面⊥BPC 平面PCD .其余选项都错误，故选A ．
【1-5】【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研】（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． （1）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；
（2）若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，
即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分
A B
C
D
M
N
A 1
B 1
C 1
（第16题）
【基础知识】
直线与平面垂直
定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：
文字语言图形语言符号语言
判定定理
如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都
垂直，那么该直线与此平
面垂直.⎭
⎪
⎬
⎪⎫
aα
bα
l⊥a
l⊥b
a∩b＝A
⇒l⊥αA
B C
D
M N
A1
B1 C1（第16题）
性质
定理
如果两条直线同垂直于
一个平面，那么这两条直
线平行.
⎭⎪
⎬
⎪⎫
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
【思想方法】
证线面垂直的方法有：
(1)利用判定定理，它是最常用的思路．
(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．
(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．
②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
（4）是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．
【温馨提醒】
解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．
考点二平面与平面垂直的判定与性质
【2-1】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A．若，则B．若，则
C．若，则⊥ D．若，则
【答案】C
【2-2】已知直线l，m与平面α，β，γ，满足l=
⋂γ
β，α
//
l，α
⊂
m，γ
⊥
m，则必有（）
A．γ
α⊥且β
//
m B.β
α//且γ
α⊥
C.β
//
m且m
l⊥ D.γ
α⊥且m
l⊥
【答案】D
【解析】因为α⊂m ，γ⊥m ，所以γα⊥.因为l =⋂γβ,所以γ⊂l ,又因为γ⊥m ,所以m l ⊥.
【2-3】【【百强校】2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线给出下列命题： ①若,,βα⊂⊥m m 则βα⊥；
②若ββαα∥∥n m n m ,,,⊂⊥，则βα∥；
③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交； ④若,,,βαβα⊄⊄=n n m n m ，且∥ 则n ∥α且β∥n . 其中的真命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 【答案】D 【解析】
试题分析：若,,βα⊂⊥m m 由线面垂直的可得面面垂直，即βα⊥，①正确；若
ββαα∥∥n m n m ,,,⊂⊥，由线面垂直与线面平行的相关性质可得，βα⊥，②错误；
如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，也可出现n 与α平行，③错误；若
,,,βαβα⊄⊄=n n m n m ，且∥ 由线面平行的相关性质可得//n α且β∥n .④正确.故
选D.
【2-4】已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若过AB 1与BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的边A 1C 1于点D ． (1)确定D 的位置，并证明你的结论； (2)证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ．
【答案】（1）D 为A 1C 的中点．（2）见解析.
又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，
∴B1D⊥平面ACC1A1，
又B1D⊂平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面AA1D．
【基础知识】
平面与平面垂直
定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．定理：
文字语言图形语言符号语言
判定定理如果一个平面经过另
一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相
垂直.
⎭⎪
⎬
⎪⎫
ABβ
AB⊥α
⇒β⊥α
性质定理如果两个平面互相垂
直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面.
⎭⎪
⎬
⎪⎫
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ
AB⊥MN
⇒AB
⊥α
【思想方法】
判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【温馨提醒】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
考点三线面、面面垂直的综合应用
【3-1】如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【解析】要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C．
【3-2】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是__________(填序号)
①平面ABC⊥平面ABD
②平面ABD⊥平面BCD
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
【答案】③
【3-3】【2016-2017学年人教B版必修2第一章单元测验】如图M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．
（1）若BM MA ＝BN
NC
，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 【答案】见解析 【解析】
（1）证明：连AC ，BD ，在△ABC 中， ∵BM MA ＝BN
NC ，∴MN∥AC. 又∵AC⊥BD，DD 1⊥底面ABCD. ∴DD 1⊥AC，故AC⊥平面BDD 1B 1. 进而MN⊥平面BDD 1B 1， ∵BP ⊂面BDD 1B 1， ∴MN⊥BP.
（2）假设存在点P ，使面APC 1⊥面ACC 1，过P 作PF⊥AC 1，则PF⊥面ACC 1.
从而PF⊥面ACC 1，则面APC 1⊥面ACC 1.
故存在点P ，使P 为DD 1中点时，面APC 1⊥面ACC 1.
【3-4】如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；
（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .
【答案】见解析.
【解析】（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，
2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行
四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .
所以//BD 平面FGH .
(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得
GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边
形，所以//.CF HE
又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.
又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 【基础知识】 1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
【思想方法】 1. 垂直关系的转化：
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键． 【温馨提醒】
平行、垂直关系综合题的类型及解法
(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 【易错问题大揭秘】
易错典例：如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，，侧面⊥SBC 底面
ABCD ，已知 45=∠ABC ，SB SA =.
证明 :BC SA ⊥.
易错点：错误原因在于解答最后时无中生有地造类比一个判定定理：如果两个平面垂直，那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.这个结论是错误的. 分析：作BC SO ⊥，垂足为O ，连结AO ， 由侧面⊥SBC 底面ABCD ，得⊥SO 底面ABCD ， 因为SB SA =，所以BO AO =， 因为
45=∠ABC ，
所以AOB ∆是等腰直角三角形，
所以BO AO ⊥，
因为⊂SO 平面SAO ，⊂AO 平面SAO ，O AO SO = ， 所以⊥BC 平面SAO ， 又因为⊂SA 平面SAO ， 所以BC SA ⊥.
温馨提醒：
(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．
(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．②的关键是灵活利用①题的结论．
（3）以棱柱或棱锥为载体，综合考查直线与平面的平行、垂直关系是高考的一个重点内容．解决这类问题时，核心是熟练掌握平行、垂直等的判定定理以及性质定理，通过不断利用这些定理，进行平行与垂直关系的转化，证得问题结论．
【针对训练1】【【百强校】2016届福建福州三中高三最后模拟】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，平面⊥PCD 底面ABCD ，BC PD ⊥，0
90=∠ABD ，
a PD CD AB 2===，a BD =．
（Ⅰ）求证：⊥PD 平面ABCD ；
（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF?若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点D 到平面BCF 的距离；若不存在，请分析说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）a 3
6
【解析】
∴⊥BD 平面PCD ∵⊂PD 平面PCD ∴BD PD ⊥
又BC PD ⊥，B BD BC =⋂，BC 、⊂BD 平面ABCD ∴⊥PD 平面ABCD
（Ⅱ）连结AC 交BD 于点O ，取PC 中点F ，连结DF ，FO ，FB
则有PA∥平面BDF ，证明如下：
∴3
3a V BCF
D =- ∵由（Ⅰ）知：⊥PD 平面ABCD ，BD 、⊂CD 平面ABCD ∴⊥PD BD ，⊥PD CD ∴a PB 5=
BC =，a PC 22=
又∵F 是PC 中点 ∴PC BF ⊥，a FC 2= ∴a BF 3=
∴2
632212a a a S BCF
=⋅⋅=∆ ∴由h S V BCF BCF
D ⋅⋅=∆-3
1
，得：
h a a ⋅⋅=2631323 ∴a a a h 3
6
622
3=
=
即点D 到平面BCF 的距离为a 36． 【针对训练2】【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且
2
==，若E、F分别为PC、BD的中点.
PA PD AD
（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥平面PDC.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
点，在△CPA中，EF∥PA (3)
分
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD………………………………………6分。