七年级数学下册 第12章 证明 12.2 互逆命题课件 苏科苏科级下册数学课件
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12/6/2021
课后习题
（1）任何数的平方大于0;（2）两个锐角的和是钝角;（3）一个 角的补角一定大于这个角；
【参考答案】：（１）这个数为0；（２）这两个角分别为30°，45°，和 为75°；（３）若这个角是直角，补角和它相等
9.如图12.3--3，现有以下3句话：①a⊥c，②b⊥c，③a∥b．请
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知识要点
1.引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念； 会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一 个命题是错误的。 2.经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题， 获得新的数学结论的过程，学习逆向思考研究问题。
题的理论依据．
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图12.3-６
课堂练习
【参考答案】∵CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC（已知），∴∠ADC=2∠1， ∠BCD=2∠2（角平分线性质） 又∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ADC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°（ 等 式性质）， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A+∠B=180°（两直线平 行，同旁内角互补）． “同旁内角互补，两直线平行”与 “两直线平行，同旁内角互补”是互 逆命题．
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知识梳理
【参考答案】（1）假：若两角都是40°的角，未必是对顶角（2）假：若
a=0，b=2，不成立
知识点梳理
知识点：平行线的推论.
【例】（2014春•无锡期末）已知下列命题：①相等的角是对顶角；
②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为
钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互
【参考答案】： ∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平 分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角 相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），
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课后习题
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行， 同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角 平分线定义）Biblioteka 12/6/2021知识梳理
知识点梳理 知识点1：互逆命题.
【例】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个角都是直角，那么它们相等； (3)如果x=1，那么｜x｜=1。
【讲解】(1)的逆命题：同位角相等，两直线平行，它是一个真命题； (2)的逆命题：如果两个角相等,那么这两个角都是直角,它是一个假命题； (3)的逆命题：如果｜x｜=1 ，那么x=1，它是一个假命题。
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图12.3-９
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知识梳理
2. 写出下列命题的逆命题. （1）和为180°的两个角互为补角 （2）同旁内角互补
【参考答案】:（1）互为补角的两个角和为180°.（2）互补的两个角是 同旁内角.
知识点2： 反例. 【例】举反例说明下列命题是假命题： （1）如果a+b>0,那么a>0,b>0;（2）两个锐角的和大于90°
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知识梳理
2.（2014春•i东海期末）或若直线a∥b，b∥c，则 a∥c ，理
由是 平行于同一条直线的两条直线平行
。
中考在线 考点：命题的真假及互逆.
【例】（2014•襄阳）下列命题错误的是（ C ） A.所有的实数都可用数轴上的点表示 B.等角的补角相等 C.无理数包括正无理数，0，负无理数 D.两点之间，线段最短
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课后习题
6. 命题：①直角都相等；②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0； ③一个角的补角大于这个角.其中原命题和逆命题都为真命题的 有② ． 7.请写出一个命题，使其是假命题而它的逆命题是真命题，命题 是 对顶角相等（答案不唯一） 。 8. 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 平行 . 4. 举反例说明下列命题是假命题：
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知识梳理
【讲解】 （1）a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；（2） 30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°． 【方法小结】注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合 条件且结论不成立的例子．
【小练习】 判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例． （1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若ab=0，则a+b=0．
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知识梳理
【讲解】解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项的说法正 确；B、等角的补角相等，所以B选项的说法正确；C、无理数包括正无理 数和负无理，所以C选项的说法错误；D、两点之间，线段最短，所以D选 项的说法正确．故选C． 【方法小结】一一进行判断，不对的可以举反例。
【参考答案】(1) 如果a2＞0，那么a＞0；原命题真，逆命题假；(2)； 如果a＞b，那么ac2＞bc2；原命题真，逆命题假.
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课堂练习
9.如图12.3-6，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC， ∠1+∠2=90°，（1）求证：∠A＋∠B=180°；（2）找出互逆命
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课堂练习
7.命题:“如果｜a｜＝｜b｜,那么a=b”的逆命题为___如__果__ _a_=_b_，__那__么___｜__a_｜__＝___｜__b_｜____,逆命题是___真___命题.（填“真” 或“假”）. 8. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1) 如果a＞0，那么a2＞0；(2) 如果ac2＞bc2，那么a＞b.
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课堂练习
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.命题“锐角小于90度”的逆命题是( D )．
A.如果这个角是锐角，那么这个角小于90度 B．不是锐角的角不小于90度 C．不小于90度的角不是锐角 D．小于90度的角是锐角 4. “如果｜a｜=｜b｜，那么a=b.”的逆命题是 如果a=b， 那么｜a｜=｜b｜ 。
EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（ Ｃ ）
A．50°
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B．60°
C．65°
D．90°
课后习题
图12.3-８
5.（2011年德州）下列命题中，其逆命题成立的是 ① （只填 写序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们 相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
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课堂练习
5. 给出下列命题： （1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果 a+b>0，那么a>0,b>0； （4）两直线平行，同位角相等；（5） 相等的角都是对顶角；（6）如果a>0,b>0, 那么ab>0.其中，互 为逆命题的是：（__1_）__和___（__5_）__，___（__2_）__和__（___4_）_. 6. “直角三角形的两锐角互余“的逆命题是 真 命题（填“真” 或“假”）。
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课后习题
b⊥c，所以∠2＝90°．因为a∥b，所以∠1＝∠2＝90°．所以a⊥c．③ 若a⊥c，a∥b，则b⊥c． 证明：因为a⊥c，所以∠1＝90°．因为a∥b，所以∠2＝∠1＝90°．所 以b⊥c．
10.如图12.3-9，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE， 求证：EF也是∠AED的平分线．
以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题． (1) 你构造的是哪几个命题？ (2) 你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．
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课后习题
图１２.３-3
【参考答案】：(1)可以组合为3个命题，分别是：若a⊥c，b⊥c，则a∥b； 若b⊥c，a∥b，则a⊥c；若a⊥c，a∥b，则b⊥c．(2)①若a⊥c，b⊥c， 则a∥b；证明：因为a⊥c，b⊥c， 所以∠1＝∠2＝90°，所以a∥b．②若b⊥c，a∥b，则a⊥c；证明：因为
c
等腰三角形 △ABC。
b
b=c
B
a
C
A
三角形
△ABC。
c
b
B
a
C
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等腰三角形的两 个底角相等。
b=c
b=c
三角形两角相等， 则该三角形为等腰 三角形。
三角形 △ABC
教学新知
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题 的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两 个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．
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知识梳理
【方法小结】解题时应先分清原命题的条件和结论，再将其交换位置，但 有时要适当改变形式，使条件和结论都能单独成句.
【小练习】 1. 给出下列命题： （1） 直角都相等 ；（2） 同位角相等，两直线平行； （3）如 果a+b>0， 那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等； （5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0， 其中，互为逆命题的是：(_1__)_与__(_5_)_、__(__2_)_与__(_4_)_、___(_3_)_与__(_6__0_.
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
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课堂练习
1.以下说法中，正确的有（ B ）个。 (1) 每一个命题都有逆命题. (2) 如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题. (3) 原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题.
A. 1 B. 2 C. 3 D.0 2. 下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行；②直角都相等； ③锐角的补角是钝角；④若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0.它 们的逆命题是真命题的个数是( C ).
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课后习题
A．只有（1） B．只有（2） C．只有（1）和（2）
D．一个也没有 3.命题“2的平方等于4”的逆命题的是( Ｄ )．
A. 2的平方等于4
B．平方等于4的数是 2
C．平方等于4的数是±2
Ｄ.平方等于4的数是2
4. 如图12.3-8，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，
【实战演练】 １. (2012•内蒙古包头改)已知下列命题：
①若a≤0，则｜a｜=-a ②若ma2>na2，则m>n; 其中原命 题与逆命题均为真命题的个数是（ C ）
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知识梳理
A. 0个 B．1个 C．2个 D．3个 ２.（2012•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1 ，则a＞1”是假命题的反例是（ A ）
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知识梳理
【方法小结】准确掌握平行公理及推论；对顶角、邻补角；平行线的判定．
【小练习】 1.（2014春•铜陵期末）下列说法正确的是（ D ）
A． 同位角相等 B． 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C． 相等的角是对顶角 D． 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
相垂直．其中真命题的个数为（ B ）
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A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
知识梳理
【讲解】①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角， 故①错误； ②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误； ③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确； ⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤ 正确． 所以真命题有④⑤两个．
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课后习题
1. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正 确的反例是（ Ｃ ） A．∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α B．∠α=90°，∠α的补角∠β=900°，∠β=∠α C．∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α D．两个角互为邻补角
2. 下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题；（2）假 命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（ Ｂ ）．
第十二章 证明
12.1 互逆命题
12/6/2021
课题引入
据说，埃及的大金字塔 修成一千多年后，还没 有人能够准确的测出它 的高度。有不少人作过 很多努力，但都没有成 功。
在公元前6世纪， 古希腊哲人泰勒斯 利用影子测量了金 字塔的高度.
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课题引入
泰勒斯还发现 了三角形如下 的一个特征： A
课后习题
（1）任何数的平方大于0;（2）两个锐角的和是钝角;（3）一个 角的补角一定大于这个角；
【参考答案】：（１）这个数为0；（２）这两个角分别为30°，45°，和 为75°；（３）若这个角是直角，补角和它相等
9.如图12.3--3，现有以下3句话：①a⊥c，②b⊥c，③a∥b．请
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知识要点
1.引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念； 会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一 个命题是错误的。 2.经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题， 获得新的数学结论的过程，学习逆向思考研究问题。
题的理论依据．
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图12.3-６
课堂练习
【参考答案】∵CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC（已知），∴∠ADC=2∠1， ∠BCD=2∠2（角平分线性质） 又∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ADC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°（ 等 式性质）， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A+∠B=180°（两直线平 行，同旁内角互补）． “同旁内角互补，两直线平行”与 “两直线平行，同旁内角互补”是互 逆命题．
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知识梳理
【参考答案】（1）假：若两角都是40°的角，未必是对顶角（2）假：若
a=0，b=2，不成立
知识点梳理
知识点：平行线的推论.
【例】（2014春•无锡期末）已知下列命题：①相等的角是对顶角；
②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为
钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互
【参考答案】： ∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平 分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角 相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），
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课后习题
∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行， 同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角 平分线定义）Biblioteka 12/6/2021知识梳理
知识点梳理 知识点1：互逆命题.
【例】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个角都是直角，那么它们相等； (3)如果x=1，那么｜x｜=1。
【讲解】(1)的逆命题：同位角相等，两直线平行，它是一个真命题； (2)的逆命题：如果两个角相等,那么这两个角都是直角,它是一个假命题； (3)的逆命题：如果｜x｜=1 ，那么x=1，它是一个假命题。
12/6/2021
图12.3-９
12/6/2021
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知识梳理
2. 写出下列命题的逆命题. （1）和为180°的两个角互为补角 （2）同旁内角互补
【参考答案】:（1）互为补角的两个角和为180°.（2）互补的两个角是 同旁内角.
知识点2： 反例. 【例】举反例说明下列命题是假命题： （1）如果a+b>0,那么a>0,b>0;（2）两个锐角的和大于90°
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知识梳理
2.（2014春•i东海期末）或若直线a∥b，b∥c，则 a∥c ，理
由是 平行于同一条直线的两条直线平行
。
中考在线 考点：命题的真假及互逆.
【例】（2014•襄阳）下列命题错误的是（ C ） A.所有的实数都可用数轴上的点表示 B.等角的补角相等 C.无理数包括正无理数，0，负无理数 D.两点之间，线段最短
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课后习题
6. 命题：①直角都相等；②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0； ③一个角的补角大于这个角.其中原命题和逆命题都为真命题的 有② ． 7.请写出一个命题，使其是假命题而它的逆命题是真命题，命题 是 对顶角相等（答案不唯一） 。 8. 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 平行 . 4. 举反例说明下列命题是假命题：
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知识梳理
【讲解】 （1）a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；（2） 30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°． 【方法小结】注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合 条件且结论不成立的例子．
【小练习】 判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例． （1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若ab=0，则a+b=0．
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知识梳理
【讲解】解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项的说法正 确；B、等角的补角相等，所以B选项的说法正确；C、无理数包括正无理 数和负无理，所以C选项的说法错误；D、两点之间，线段最短，所以D选 项的说法正确．故选C． 【方法小结】一一进行判断，不对的可以举反例。
【参考答案】(1) 如果a2＞0，那么a＞0；原命题真，逆命题假；(2)； 如果a＞b，那么ac2＞bc2；原命题真，逆命题假.
12/6/2021
课堂练习
9.如图12.3-6，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC， ∠1+∠2=90°，（1）求证：∠A＋∠B=180°；（2）找出互逆命
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课堂练习
7.命题:“如果｜a｜＝｜b｜,那么a=b”的逆命题为___如__果__ _a_=_b_，__那__么___｜__a_｜__＝___｜__b_｜____,逆命题是___真___命题.（填“真” 或“假”）. 8. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1) 如果a＞0，那么a2＞0；(2) 如果ac2＞bc2，那么a＞b.
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课堂练习
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.命题“锐角小于90度”的逆命题是( D )．
A.如果这个角是锐角，那么这个角小于90度 B．不是锐角的角不小于90度 C．不小于90度的角不是锐角 D．小于90度的角是锐角 4. “如果｜a｜=｜b｜，那么a=b.”的逆命题是 如果a=b， 那么｜a｜=｜b｜ 。
EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（ Ｃ ）
A．50°
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B．60°
C．65°
D．90°
课后习题
图12.3-８
5.（2011年德州）下列命题中，其逆命题成立的是 ① （只填 写序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们 相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
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课堂练习
5. 给出下列命题： （1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果 a+b>0，那么a>0,b>0； （4）两直线平行，同位角相等；（5） 相等的角都是对顶角；（6）如果a>0,b>0, 那么ab>0.其中，互 为逆命题的是：（__1_）__和___（__5_）__，___（__2_）__和__（___4_）_. 6. “直角三角形的两锐角互余“的逆命题是 真 命题（填“真” 或“假”）。
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课后习题
b⊥c，所以∠2＝90°．因为a∥b，所以∠1＝∠2＝90°．所以a⊥c．③ 若a⊥c，a∥b，则b⊥c． 证明：因为a⊥c，所以∠1＝90°．因为a∥b，所以∠2＝∠1＝90°．所 以b⊥c．
10.如图12.3-9，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE， 求证：EF也是∠AED的平分线．
以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题． (1) 你构造的是哪几个命题？ (2) 你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．
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课后习题
图１２.３-3
【参考答案】：(1)可以组合为3个命题，分别是：若a⊥c，b⊥c，则a∥b； 若b⊥c，a∥b，则a⊥c；若a⊥c，a∥b，则b⊥c．(2)①若a⊥c，b⊥c， 则a∥b；证明：因为a⊥c，b⊥c， 所以∠1＝∠2＝90°，所以a∥b．②若b⊥c，a∥b，则a⊥c；证明：因为
c
等腰三角形 △ABC。
b
b=c
B
a
C
A
三角形
△ABC。
c
b
B
a
C
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等腰三角形的两 个底角相等。
b=c
b=c
三角形两角相等， 则该三角形为等腰 三角形。
三角形 △ABC
教学新知
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题 的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两 个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．
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知识梳理
【方法小结】解题时应先分清原命题的条件和结论，再将其交换位置，但 有时要适当改变形式，使条件和结论都能单独成句.
【小练习】 1. 给出下列命题： （1） 直角都相等 ；（2） 同位角相等，两直线平行； （3）如 果a+b>0， 那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等； （5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0， 其中，互为逆命题的是：(_1__)_与__(_5_)_、__(__2_)_与__(_4_)_、___(_3_)_与__(_6__0_.
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
12/6/2021
课堂练习
1.以下说法中，正确的有（ B ）个。 (1) 每一个命题都有逆命题. (2) 如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题. (3) 原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题.
A. 1 B. 2 C. 3 D.0 2. 下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行；②直角都相等； ③锐角的补角是钝角；④若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0.它 们的逆命题是真命题的个数是( C ).
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课后习题
A．只有（1） B．只有（2） C．只有（1）和（2）
D．一个也没有 3.命题“2的平方等于4”的逆命题的是( Ｄ )．
A. 2的平方等于4
B．平方等于4的数是 2
C．平方等于4的数是±2
Ｄ.平方等于4的数是2
4. 如图12.3-8，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，
【实战演练】 １. (2012•内蒙古包头改)已知下列命题：
①若a≤0，则｜a｜=-a ②若ma2>na2，则m>n; 其中原命 题与逆命题均为真命题的个数是（ C ）
12/6/2021
知识梳理
A. 0个 B．1个 C．2个 D．3个 ２.（2012•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1 ，则a＞1”是假命题的反例是（ A ）
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知识梳理
【方法小结】准确掌握平行公理及推论；对顶角、邻补角；平行线的判定．
【小练习】 1.（2014春•铜陵期末）下列说法正确的是（ D ）
A． 同位角相等 B． 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C． 相等的角是对顶角 D． 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
相垂直．其中真命题的个数为（ B ）
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A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
知识梳理
【讲解】①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角， 故①错误； ②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误； ③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确； ⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤ 正确． 所以真命题有④⑤两个．
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课后习题
1. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正 确的反例是（ Ｃ ） A．∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α B．∠α=90°，∠α的补角∠β=900°，∠β=∠α C．∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α D．两个角互为邻补角
2. 下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题；（2）假 命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（ Ｂ ）．
第十二章 证明
12.1 互逆命题
12/6/2021
课题引入
据说，埃及的大金字塔 修成一千多年后，还没 有人能够准确的测出它 的高度。有不少人作过 很多努力，但都没有成 功。
在公元前6世纪， 古希腊哲人泰勒斯 利用影子测量了金 字塔的高度.
12/6/2021
课题引入
泰勒斯还发现 了三角形如下 的一个特征： A