双曲线经典例题

【例1】若椭圆()0122φφn m n y m x =+与双曲线22
1x y a b
-=)0(φφb a 有相同的焦点F 1
，F 2
，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）
A. a m -
B. ()a m -2
1
C. 22a m -
D. a m -
【解析】椭圆的长半轴为()121PF PF ∴+=
()122PF PF ∴-=±
()()
()22
12121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.
【例2】已知双曲线12792
2=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF
2
1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1
2
是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，
右准线为3
2
l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，
连FP ，则1
22
PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时
PM 13752
2
5
PF PM PN MN +=+==-=为最小.
在127
92
2=-y x 中，令3y =，得212x x x =⇒=±∴Q f 0，
取x =所求P 点的坐标为（）.
（2）渐近线——双曲线与直线
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为
x y 2
1
±=的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为()2
214
x y k -=
点（1，3）代入：135
944
k
=
-=-.代入（1）： 2222
3541443535
x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y
a b a b -=⇒±
=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为22
22
x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置.
X
Y
O F(6,0)M(5,3)P N P ′
N ′X=
3
2
（3）共轭双曲线
将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22
221x y b a
-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦
距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：
2212
11
e e +=1.
【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222
1122c c a b e e a a a +=⇒==
；
双曲线22221x y b a -=的离心率2222
2222
c c a b e e b b b +=⇒==
.
∴22
2222
2212111a b e e a b a b
+=+=++.
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2
22
1x y a -=，
直线CD ：y=m.代入（1）：2
2
x x m
=±
+.故有：
()(
)
2222,,,C x m m D
x m m
-++.
取双曲线右顶点(),0B
a .那么：
()(
)
22
22,,,BC x m a m BD x m a m
=-+-=
+-u u u r u u u r
()2222
0,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r Q .即∠CBD=90°.
同理可证：∠CAD=90°.
● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1
F O 为半径的圆与
该
双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
（A ）
3 （B ）5 （C ）
2
5 （D ）31+
X
O
Y
C
D
A B
【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2
是等边三角形，∴,.22c OM MA c ==
点2c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
代入双曲线方程：
()()22
2222222222223
3444
c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：
422442284084041c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+=.
（∵e ＞1
，∴2
4e
=-
及1e =舍去）故选D.
【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令
1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：
211221221222
r r a
r c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()2
2
22222221
24,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.
∵e ﹥1
，∴取1e =
.选D.
【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.
（2）转换法——为解题化归立意
【例7】直线l 过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围
是 （ ）
A .e >
2 B.1<e <
3 C.1<e <5 D.e >5
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.
【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线
m 的倾斜角为β.显然。

当β＞α时直线l 与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
22
22
tan tan 245b c a e a a
βαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选D.
（3）几何法——使数形结合带上灵性
【例
8】设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为X
Y
O F
l
（ ）
A
．
B ．12
C. D ．24
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是
：
1,a b c ===.设；
12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=Q
于是
222
121212
6, 4.52PF PF PF PF F F ==+==Q ，
故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.
∴12
1211
641222
PF F
S PF PF ∆=
⋅=⨯⨯=.选B. 【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.
（4）设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例9】双曲线122
=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A.
12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y
【解析】设弦的两端分别为()()1,1
2,
2
,A
x y B x y .则有：
()()222222111212121222
1212
22101
x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.
∵弦中点为（2，1），∴121242
x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率1212
12122y y x x k x x y y -+=
==-+. 则所求直线方程为：
()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它. 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例10】在双曲线12
2
2
=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：
()()()()()22
11
121212122222111201121
2
x y x x x x y y y y x y ⎧-=⎪⎪⇒-+--+=⎨
⎪-=⎪⎩.
∵M （1，1）为弦AB 的中点，
∴()()()1212
12121212
2022
AB x x y y x x y y k y y x x +=⎧----=∴=
=⎨
+=-⎩代入1：2，
故存在符合条件的直线AB ，其方程为：
()12121y x y x -=-=-，即.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
其一：将点M （1，1）代入方程1222
=-y x ，发现左式=1-11
22
=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB
k =
，而双曲线的渐近线为y =.
2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
()()2
222
21221224302221y x x x x x y x ⎧-=⎪⇒--=⇒-+=⎨
⎪=-⎩
这里16240∆=-p
，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个
公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
（5）设参消参——换元自如 地阔天宽
一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.
【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线l 交x
1||||==FQ PQ ，且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；
（Ⅱ）若过点F 的直线m 与双曲线C 的左右 两支分别交于
A 、
B 两点，设λ=，当
),6[+∞∈λ时，求直线m 的斜率k 的取值范围.
【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到
点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向
第（Ⅱ）中，直线m 的斜率k 是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线m 的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.
【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：22221x y a b -=.其左焦点为F （-c 。

0）；左准线：2a x c
=-
.
由||1PQ =，得P （2
a c
-
，1）；由()22
2||111.1a b FQ c b c c c
=⇒-=⇒=⇒=
FP 的中点为2
2
1,2c a M
c ⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.代入双曲线方程：()2
2
2221144c a c a c +-= ()2
222224c a a c c a ⇒+-=()()2
222422c a a c b a c
⇒-=⇒=
m。