高考数学 考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 试题

智才艺州攀枝花市创界学校考点42曲线
与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.〔2021·高考理科·Ｔ8〕双曲线22
221x y a b
-=〔a>0,b>0〕的两条渐近线均和圆C ：x 2
+y 2
-6x+5=0相切，且双曲线的右焦
点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为
〔A 〕22154x y -=〔B 〕22
145
x y -=
〔C 〕
221x y 36-= 〔D 〕22
1x y 63
-= 【思路点拨】先求出圆C 的圆心坐标〔3,0〕，半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的间隔等于半径即可得到a,b 的关系，再由双曲线的右焦点为圆C 的圆心知c=2，即可求出结果.
【精讲精析】选 A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为〔3,0〕，半径r=2.由圆心到直线的间隔为
2
23r b a b +=
所以4a 2=5b 2又因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以c=3，即9=a 2+b 2所以，a 2=5，b 2
=4.
2．〔2021·卷理科·Ｔ7〕设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足1122
::PF F F PF =4:3:2，
那么曲线Γ的离心率等于() 〔A 〕
1322或〔B 〕23或者2〔C 〕12或2〔D 〕23
32
或
【思路点拨】根据
1122::PF F F PF =4:3:2，设出1122PF F F PF ｜｜、｜｜、｜｜，
然后按曲线Γ为椭圆或者者双曲线，在12PF F ∆中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】选 A.1122
::PF F F PF =4:3:2，11224,||3,||2,PF k F F k PF k ∴==可设｜｜＝
其中12
||23F F c k ==，32
k
c
∴=
.假设圆锥曲线
Γ为椭圆，那么12||||26PF PF a k
+==，3a
k ∴=，
312.32
∴===k c e a k 假设圆锥曲线Γ为双曲线，那么12||||22,PF PF a k -==
3.〔2021·卷文科·Ｔ11〕设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线上Γ存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4:3:2，
那么曲线的Γ离心率等于〔〕
〔A 〕
1322或〔B 〕2
23或 〔C 〕122或〔D 〕2332
或
【思路点拨】根据
1122::PF F F PF =4:3:2，设出1122PF F F PF ｜｜、｜｜、｜｜，
然后按曲线为Γ椭圆或者者双曲线，在12PF F ∆中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】选 A.1122
::PF F F PF =4:3:2，1
1224,||3,||2,PF k F F k PF k ==设｜｜＝ 其中12
||23F F c k ==，32
k
c
∴=
.假设圆锥曲线
Γ为椭圆，那么12||||26PF PF a k
+==，3a k ∴=，
312,32
k c e a k ∴===假设圆锥曲线Γ为双曲线，那么12||||22,PF PF a k -==,∴=a k
二、填空题
4.〔2021·高考文科·Ｔ15〕双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22
x y =1169
+有一样的焦点，且双曲线的离心率
是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为.
【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b ，然后写出双曲线的方程.
【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为〔-
7，0〕、〔7，0〕，即c=7，又因为双曲线的离心率为
4
7
2=a c ，所以
a=2,故b 2
=3，所以双曲线的方程为13
42
2=-y x 5.〔2021·高考理科·T14〕曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的间隔的积等于常数2
(1)a a >的点的轨迹.
给出以下三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；
③假设点P 在曲线C 上，那么12F PF ∆的面积不大于2
12
a . 其中所有正确的结论的序号是.
【思路点拨】写出曲线C 的方程，再逐个验证三个结论. 【精讲精析】②③.设P(x,y)为曲线C 上任意一点，那么由21
2||||PF PF a ⋅=得，
2a =把〔0，0〕代入方程可得21a =，与1a >矛盾，故①不正确；
当M(x,y)在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点'(,)M
x y --，也满足方程，故曲线
C 关于原点对称，故②正确；
122212121111
||||sin sin 222
F PF S PF PF F PF a F PF a ∆=
∠=∠≤，故③正确. 6．〔2021·高考理科·Ｔ21〕假设0>λ
，点A 的坐标为〔1,1〕
，点B 在抛物线2
x y =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程.
【思路点拨】设出Ｐ点坐标，通过Ｑ，Ｂ等中间量建立方程，消去中间量，的点Ｐ的轨迹方程． 【精讲精析】解：由MP QM
λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,0y ),M(x,x 2),那么
).(202x y y x -=-λ即 .)1(20y x y λλ-+=①
再设),,(11y x B 由BQ
QA λ=，即),1,1(),(0101y x y y x x --=--λ解得
⎩⎨⎧-+=-+=.)1(.
)1(01
1λλλλy y x x ②
将①式代入②式，消去
0y ，得
⎩⎨⎧
-+-+=-+=.)1()1(.)1(221
1λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以2
1
1x y =，再将③式代入
2
1
1x y =，得
因为0>λ
，两边同时除以),1(λλ+得
故所求点P 的轨迹方程为
12-=x y .
7.〔2021·全国高考理科·Ｔ20〕在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,-1)，B 点在直线y=-3上，M 点满足//MB OA ，
MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C .
〔Ⅰ〕求C 的方程；
〔Ⅱ〕P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 间隔的最小值.
【思路点拨】第〔1〕问，求M 点的轨迹，可设M 点坐标为(,)x y ，然后利用条件//MB OA 得到点B 的坐标，最后将条件MA AB MB BA ⋅=
⋅转化为坐标关系，得到,x y 满足的关系式，化简整理即得C 的方程；
第〔2〕问，设出点P 的坐标，利用导数求出切线l 的斜率，表示出l 的方程，再利用点到直线的间隔公式求得O 点到l 间隔的函数，然后利用函数的知识求出最值即可. 【精讲精析】(Ⅰ)设M(x,y ),由得B(x ,-3),A(0,-1).
所以MA =〔-x,-1-y 〕,MB =(0,-3-y),AB =(x ,-2). 再由题意可知〔MA +MB 〕•
AB =0,即〔-x,-4-2y 〕•
(x,-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=
14
x 2
-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=
14x 2-2上一点，因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为
0001()2
y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=. 那么O 点到l
的间隔d
=
又
2
00124
y x =
-，所以 当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 间隔的最小值为2. 8.〔2021·高考理科·Ｔ22〕〔本小题总分值是14分〕
直线l 与椭圆C:22132
x y +=交于P 〔x 1
,y 1
〕，Q(x 2
,y 2
)两不同点，且△OPQ
的面积2∆=
OPQ S ,其中O 为坐标原点.
〔Ⅰ〕证明x 12
+x 22
和y 12
+y 22
均为定值
〔Ⅱ〕设线段PQ 的中点为M ，求
PQ OM ⋅的最大值；
〔Ⅲ〕椭圆C 上是否存在点D,E,G
，使得ODE
ODG OEG S S S 2
∆∆∆===
假设存在，判断△DEG 的形状；假设不存在，请说明理由.
【思路点拨】此题重点考察学生的计算才能，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.〔1〕分斜率存在和不存在两种情况讨论.〔2〕利用第一问的结论，再应用根本不等式容易得出结论.〔3〕利用反证法，假设存在这样的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立. 【精讲精析】〔Ⅰ〕当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，那么1
212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，
那么
22
11132
x y +=
，而11OPQ S x y ∆==
，那么
111x y =
=.于是22123x x +=，22122y y +=.当直线l
的斜率存在，设直线
l
为
y kx m
=+，代入
22
132
x y +=可得
2223()6
x kx m ++=，即
222(23)6360+++-=k x kmx m ，由0∆>得，222236k m 4(23k )(3m 6)0-+->，化简得2232k m +>
d =
1122POQ
S d PQ ∆=⋅⋅== 那么2
2322k
m +=，满足0∆>
22
2
2
21
2121222
63(2)
()2()232323km m x x x x x x k k
-+=+-=--⨯=++， 222222*********
(3)(3)4()2333
y y x x x x +=-+-=-+=，
综上可知2
21
23x x +=，22122y y +=.
〔Ⅱ〕当直线l
的斜率不存在时，由〔Ⅰ〕知
12OM x PQ =⋅=
= 当直线l 的斜率存在时，由〔Ⅰ〕知
12322x x k
m
+=-
， 2121231
()222y y x x k k m m m m
++=+=-+=， 2
2
221125
(3)(2)4OM
PQ m m =-
+≤，当且仅当22
1132m m -
=+
，即
m =时等号成立，综上可知
OM PQ ⋅的最大值为5
2
.
〔Ⅲ〕假设椭圆上存在三点,,D E G
，使得ODE
ODG OEG S S S ∆∆∆===
由〔Ⅰ〕知2
222223,3,3D
E E G G D x x x x x x +=+=+=，
2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.
解得2
2232D
E G x x x ===
,222
1D E G y y y ===， 因此,,D E G x x x
只能从2±中选取，
,,D E G y y y 只能从1±中选取，
因此
,,D E G
只能
从
(1)±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
故椭圆上不存在三点,,D E G
，使得2
ODE
ODG OEG S S S ∆∆∆===
. 9.〔2021·高考文科·Ｔ22〕〔本小题总分值是14分〕
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:13
x C y +=.如下列图，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两
点，线段
AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.
〔Ⅰ〕求2
2m k +的最小值；
〔Ⅱ〕假设
2
OG OD =∙OE ，〔i 〕求证：直线l 过定点；
〔ii 〕试问点B ，G 能否关于x 轴对称？假设能，求出此时ABG ∆的外接圆方程；假设不能，请说明理由.
【思路点拨】此题重点考察学生的计算才能，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.〔I 〕设直线:
(0)l y kx n n =+≠，联立方程，在由韦达定理得出中点
E 的坐标，由3点一共线，可知
OE OD k K =解得1
m k
=
，由根本不等式得出最小值.〔II 〕〔i 〕注意先求出k 和n 的关系，再由交点直线系方程得出l 过定点.〔ii 〕可先假设对称，然后通过运算验证这样的圆是否存在. 【精讲精析】〔Ⅰ〕由题意:设直线:
(0)l y kx n n =+≠,
由22
13
y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,那么由韦达定理得:
12x x +=
2
613kn k -+,即0
2313kn x k -=
+,00
2313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213n
k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2
)13n
k
+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上， 所以OE OD k K =，即133
m k -
=-， 解得1m
k
=
，
所以2
2m k +=
221
2k k
+≥,当且仅当1k =时取等号, 即2
2m
k +的最小值为2.
〔Ⅱ〕〔i 〕证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为
3
m
y x =-
, 所以由2
23
1
3
m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G
的纵坐标为G y = 又因为2
13E n y k =
+,D y m =,且2
OG OD =∙OE ，所以222
313m n
m m k =⋅
++, 又由〔Ⅰ〕知:1
m k
=
,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+,
令1x
=-得,y=0,与实数k 无关,
所以直线l 过定点(-1,0).
〔ii 〕假设点B ，G 关于x 轴对称,那么有ABG 的外接圆的圆心在x 轴上,
又在线段AB 的中垂线上,
由〔i 〕知点
G
,所以点
B
,
又因为直线l 过定点(-1,0),所以直线l
k =， 又因为1m k
=
，所以解得2
1m =或者26m =， 又因为2
30m
->,所以26m =舍去,即21m =，
此时k=1，m=1，E 〔31,44-
〕，31(,)22
G -. AB 的中垂线为2x+2y+1=0，
圆心坐标为1(,0)2-
，圆半径为，圆的方程为22
15()24x y ++=.
综上所述,点B ，G 关于x 轴对称,此时
ABG 的外接圆的方程为:2215
()24
x y ++=.
10.〔2021·高考理科·Ｔ20〕〔本小题总分值是12分〕如图，椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． 〔I 〕设1
2
e
=
，求BC 与
AD
的比值；
〔II 〕当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 【思路点拨】〔I 〕先利用离心率一样设出21,C C 的方程和直线l 的方程)(a t t x
<=，再求出B A ,的坐标，然后计算
BC
与
AD
的长度就可求出比值；〔II 〕先考虑直线过原点的情况，再考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等〔即
BO k ＝AN k 〕建立等式关系，再考虑a t <的因素，可得到关于e 的不等式，求讲解明即可．
【精讲精析】(Ⅰ)因为21,C C 的离心率一样，故依题意可设
1C ：1222=+b y a x ，2C ：122
422=+a
x a y b ，〔)0>>b a ， 设直线l ：)(a t t x
<=，分别与1C ，2C 的方程联立，求得
),,
(22t a b a t A -),(22t a a
b t B -……4分 当2
1
=
e
时，a b 23=，分别用B A y y ,表示A ，B 的纵坐标，可知 BC
:
AD =
43
2222==a
b y y A
B .……6分
〔Ⅱ〕0=t 时的l 不符合题意．0≠t 时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率
BO k 与AN 的斜率AN k 相等，即
=-t t a a b 22a
t t a b
a --2
2，
解得2
2
2b a ab t --=a e
e ⋅--=22
1， 因为a t <，又10<<e ，所以112
2
<-e
e ，解得122<<e ， 所以当2
2
≤
<e 时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当
12
2
<<e 时，存在直线l ，
使得BO ∥AN .……12分
11．〔2021·高考理科·T21〕〔13分〕
如图
7，椭圆,23
)0(122221的离心率为：>>=+b a b
y a x C x 轴被曲线2C ：
2x y =-b 截得的线段长等于1C 的长
半轴长.
〔Ⅰ〕求21,C C 的方程；
〔Ⅱ〕设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E. 〔i 〕证明：MD ME ⊥； 〔ii 〕记MDE MAB ，
∆∆的面积分别为2
1，S
S .问：是否存在直线l ，使得
32
17
21=S S ？请说明理由. 【思路点拨】此题以椭圆和抛物线为载体，考察两曲线的根本知识.题中通过求曲线的方程考察两曲线的根本知识点的关系.第二问通过证明的考察考察逻辑思维才能和探究参数的存在考察方程.解决此题需要较强的综合运用知识的才能.考察了数形结合思想、等价转化思想和方程思想.
【精讲精析】〔I 〕由题意知2
c e a =
=，从而2a b =，又a =，解得2,1a b ==。

故1C ，2C 的方程分别为2
221,14
x y y x +==-。

〔II 〕〔i 〕由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为
y kx =.
由2
1
y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设
1122(,),(,)A x y B x y ，那么12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-。

又点M 的坐标为(0,1)-，所以 故MA MB ⊥，即MD
ME ⊥。

〔ii 〕设直线的斜率为1k ，那么直线的方程为
11y k x =-，由12
11y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得0
1x y =⎧⎨=-⎩或者1211
x k y k =⎧⎨=-⎩，那么点
的坐标为2
11
(,1)k k -
又直线MB 的斜率为1
1k -
，同理可得点B 的坐标为2
1111(,1)k k -
-.
于是211111111||||||||.22||
k S MA MB k k k +=⋅=-=
由122
1
440
y k x x y =-⎧⎨
+-=⎩得2
21
1(14)80k x k x +-=，
解得01x y =⎧⎨=-⎩或者1212
12
181441
14k x k k y k ⎧=⎪+⎪
⎨-⎪=⎪+⎩，那么点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线的斜率为1
1
k -
，同理可得点E 的坐标2
1122
11
84(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1
||||2(14)(4)
k k S MD ME k k +⋅=⋅=++
因此
211221
11
(417)64S k S k =++ 由题意知，
21211117(417)6432k k ++=解得214k =或者2
114
k =。

又由点,A B 的坐标可知，21211111
1
11k k k k k k k -
=
=-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为
32y x =
和3
2
y x =-。

12．〔2021·高考文科T21〕〔本小题总分值是13分〕平面内一动点P 到点F(1,0)的间隔与点P 到y 轴的间隔的差等于1. 〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1
2l ，，设1l 与轨迹C 相交于点A ，B ，2l 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD
EB ·的最小值.
【思路点拨】此题考察求曲线的方程，考察利用代数方法研究几何问题的根本方法，考察数形结合思想.考察运算才能，考
察分析问题、解决问题的才能.
【精讲精析】
〔I 〕设动点P 的坐标为(,)x y
|| 1.x = 化简得
222||,y x x =+ 当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、
所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.
〔II 〕由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，那么1l 的方程为(1)y k x =-．
由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 那么12,x x 是上述方程的两个实根，于是
1212242,1x x x x k
+=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k
-． 设3344(,),(,),D x y B x y 那么同理可得23
43424,1x x k x x +=+= 故12342222()()
||||||||
(1)(1)(1)(1)41(2)11(24)1184()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB
AF FB FD EF x x x x k k
k k •=++=+++=+=+++++=+++++++=++≥22
18416k +⨯=
当且仅当221k k =即1k
=±时，AD EB •取最小值16． 13．〔2021·高考理科·T17〕〔本小题总分值是12分〕
如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，
M 为PD 上一点，且4||||5
MD PD =． 〔Ⅰ〕当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕求过点〔3，0〕且斜率为45
的直线被C 所截线段的长度． 【思路点拨】〔1〕动点M 通过点P 与圆相联络，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可；〔2〕直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的间隔公式计算．
【精讲精析】〔Ⅰ〕设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ，
因为点D 是P 在x 轴上投影，
M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54
p y y =， ∵P 在圆22
25x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是22
12516
x y +=． 〔Ⅱ〕过点〔3，0〕且斜率为45的直线方程是4(3)5
y x =-， 设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将直线方程4(3)5
y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：
22
(3)12525
x x -+=，化简得2380x x --=，∴1x =，2x =，
所以线段AB 的长度是||AB ==
415==，即所截线段的长度是415．。