2024—2025学年福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学高二上学期期中联考数学试卷

2024—2025学年福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学高二
上学期期中联考数学试卷
一、单选题
(★) 1. 椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
(★) 2. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（）
A．B．C．D．
(★) 3. 直线与圆的位置关系是（）
A．相交且过圆心B．相切
C．相离D．相交但不过圆心
(★★) 4. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（）
A．B．C．D．
(★★) 5. 若空间中有三点，则点到平面的距离为（）
A．B．C．D．
(★★) 6. 将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（）
A．B．
C．D．
(★★) 7. 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（）A．B． 2C．D．
(★★★★) 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
(★) 9. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（）
A．B．
C．D．不是平面的一个法向量
(★) 10. 若圆与圆相交，则k的取值可能为（）A．B． 0C． 3D． 5
(★★★) 11. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若
矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，
直线的斜率为
C．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D．若为正方形，则的边长为
三、填空题
(★★★) 12. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨
迹方程为 ______ .
(★★★) 13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线
的距离的最大值为 ____________ ．
(★★★) 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（
且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围
是 _____ ．
四、解答题
(★) 15. 已知直线和点．
(1)求经过点，且与直线平行的直线的方程；
(2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程；
(3)求点关于直线对称的点的坐标；
(★★) 16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. (★★★) 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
(★★★) 18. 已知直线：，：，且满足，垂足为C.
(1)求m的值及点C的坐标.
(2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.
(★★★) 19. 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线P A与直线交于点F，试证明B，Q，F 三点共线.。