山东省淄博市第七中学高二数学1月月考试卷

山东省淄博市第七中学2014-2015学年高二数学1月月考试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0 B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R,2x
≤0 D ．对任意的x ∈R,2x
>0
2.命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.一动圆的圆心在抛物线x y 82
=上，切动圆恒与直线02=+x 相切，则动圆必定过点（ ）
A.（4，0）
B. （2，0）
C.（0，2）
D.（0，-2）
4.抛物线px y 22
=上一点Q ),6(0y ,且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D.16 5．设f (x )可导，且f ′(0)＝0，又lim x →0
f ′(x )
x
＝－1，则f (0)＝( ) A ．可能不是f (x )的极值 B ．一定是f (x )的极值 C ．一定是f (x )的极小值 D ．等于0 6．下列判断不正确．．．
的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题 B ．“am 2
<bm 2
”是“a <b ”的充要条件
C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假
D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真 7. “x ＞0”是“3x 2
＞0”成立的( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件 8．函数y ＝2x 3
－3x 2
－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( ) A ．12，－15
B ．5，－15
C ．5，－4
D ．－4，－15
9．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x －1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2
B ．－3<a <6
C ．a <－3或a >6
D ．a <－1或a >2
10．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段
AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
11.已知抛物线12
+=y x 上一定点)0,1(-A 和两动点P 、Q ，当PQ PA ⊥时，，点Q 的横坐标的取值范围（ ）
A.]3,(--∞
B.),1[+∞
C.]1,3[--
D.),1[]3,(+∞⋃--∞
12.过双曲线12
2
=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ ） A.),0[π B.)43,2()2,4(
πππ
π⋃ C.)43,4(ππ D. ),2
()2,0(ππ
π⋃ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13.命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 。

14.抛物线x y 42
=上一点A 到点)2,3(B 与焦点的距离之和最小，则点A 的坐标为 。

15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽________m.
16．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →
|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →
)，则动点P 的轨
迹为椭圆；
③方程2x 2
－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 2
35＋y 2
＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)已知抛物线c bx ax y ++=2
通过点)1,1(A ，且在)1,2(-B 处与直线
3-=x y 相切，求a 、b 、c 的值。

18.(本题满分12分)点),(y x M 为抛物线x y 42
=上的动点， )0,(a A 为定点，求||MA 的最小值。

19.(本题满分12分)已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，切此焦点和x 轴上的较近端点的距离为)12(4-，求椭圆方程。

20．(本题满分12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．
21．(本题满分12分)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋a . (1)求f (x )的单调区间；
(2)当x ∈[0,2]时，若|f (x )|≤2恒成立，求a 的取值范围．
22、(本题满分12分)如图，由2
,8,0x y x y ===围城的曲边三角形，在曲线OB 弧上求一点M ，使得过M 所作的2
x y =的切线PQ 与AB OA ,围城的三角形PQA 的面积最大。

参考答案
DBBBB BABCB DC
13.若a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数。

14.（1，2） 15. 2 6 16.③④ 17.解：b ax y +=2'
则 14|'2=+==b a y x ………………………………① 又抛物线过点)1,1(A 则1=++c b a ………………② 点)1,2(-B 在抛物线上 124-=++c b a …………③ 解①②③得9,11,3=-==c b a 18.解：x y 42
= 42=p 12
=p
22)(||y a x MA +-=
2242a x ax x ++-= []44)2(2-+--=
a a x 根号下可看作关于x 的二次函数，这里0≥x
若02≥-a 2≥a
2-=a x 时，44||min -=
a MA
若02<-a ，2<a 时，||||min a MA =
19.解：设椭圆的方程为122
22=+b
y a x ，)0(>>b a
根据题意⎪⎩
⎪⎨⎧==-=-2
245cos )
12(40
a c c a 解得⎩⎨⎧==424c a 162
22=-=c a b 椭圆的方程为 116
322
2=+y x
20.解：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减； 当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．
曲线y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2
－4>0. 即a <12或a >52
.
(1)p 正确，q 不正确．
则a ∈(0,1)∩⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪
12≤a ≤5
2且a ≠1
，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.
(2)p 不正确，q 正确．
则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
0<a <12或a >
5
2， 即a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞.
综上，a 取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞.
21.解：(1)对函数f (x )求导数， 得f ′(x )＝3x 2
－2x －1.
令f ′(x )>0，解得x >1或x <－1
3；
令f ′(x )<0，解得－1
3
<x <1.
所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1
3
)和(1，＋∞)，
f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
3
，1.
(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的， 所以，f (x )在[0,2]上的最小值为f (1)＝－1＋a ； 由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)， 所以，f (x )在[0,2]上的最大值为f (2)＝2＋a . 因为，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1＋a ≥－2
2＋a ≤2，解得－1≤a ≤0，
即a 的取值范围是[－1,0]．
22.解： 设 ),(00y x M 00)(:y x x k y PQ +-=
则 2
00x y =，02|2'0x x y x x ===
即02x k = 所以000)(2y x x x y +-= 令0=y 则000022x x y x x =-
= )0,2
(0x
P
令8=x 则20016x x y -= )16,8(2
00x x Q -
=S )16)(28(212000x x x S PAQ --=
∆30
2
004
1864x x x +-= 2
004
31664'x x S +
-= 令0'=S ，则160=x （舍去）或3
160=x 即当3160=
x 时 274096max =S 9256)316(20==y )9
256
,316(M。