高二数学曲线和方程人教版(文)知识精讲

高二数学曲线和方程人教版（文）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
曲线和方程
二. 本周教学重、难点：
1. 重点：曲线的点集与方程的解集之间的对应关系。

2. 难点：求曲线的方程和曲线的交点。

【典型例题】
[例1] 作出方程1||22+-=
x x y 的曲线。

解：∵ |1|||)1|(|1||222-=-=+-=
x x x x y
把x 换成x -，方程不变 ∴ 图象关于y 轴对称
当0≥x 时，⎩⎨⎧>-≤≤-=-=-=)
1(1)
10(1|1||1|||x x x x x x y
可分段作出方程的图象，如下图
-11
O x
y
[例2] 用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和。

证明：如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P （y x ,）为任意点，矩形四个顶点为A （11,y x ），C （22,y x ），B （21,y x ），D （12,y x ）则有
2222212122)()()()(||||y y x x y y x x PC PA -+-+-+-=+
212222122)()()()(||||y y x x y y x x PD PB -+-+-+-=+2
∴ 2
222||||||||PD PB PC PA +=+
[例3] 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解法一：设点M 的坐标为（y x ,）
∵ M 为线段AB 的中点 ∴ A 的坐标为（0,2x ），B 的坐标为（y 2,0） ∵ 21l l ⊥，且1l 、2l 过点P （2，4） ∴ PA ⊥PB ，1-=⋅PB PA k k ，而)1(2204≠--=x x k PA ，0
224--=y
k PB
∴
)1(11
212≠-=-⋅-x y
x 整理，得052=-+y x （1≠x ） ∵ 当1=x 时，A 、B 的坐标分别为（2，0）（0，4） ∴ 线段AB 的中点坐标是（1，2），它满足方程052=-+y x 综上所述，点M 的轨迹方程是052=-+y x
解法二：设M 的坐标为（y x ,），则A 、B 两点的坐标分别是（0,2x ）、（0，y 2），连结PM 。

∵ 21l l ⊥ ∴ ||||2AB PM =
而22)4()2(||-+-=
y x PM 22)2()2(||y x AB +=
∴ 222
244)4()2(2y x y x +=
-+-
化简，得052=-+y x 为所求轨迹方程。

解法三：∵ 21l l ⊥，OA ⊥OB
∴ O 、A 、P 、B 四点共圆，且该圆的圆心为M ∴ ||||MO MP =
∴ 点M 的轨迹为线段OP 的中垂线
∵ 20
20
4=--=
OP k ，OP 的中点坐标为（1，2） ∴ 点M 的轨迹方程是)1(2
1
2--=-x y ，即052=-+y x
[例4] 若抛物线m x x y +--=22
与直线x y 2=相交于不同的两点A 、B ，（1）求m 的取值范围；（2）求||AB ；（3）求线段AB 的中点坐标。

解：由⎩⎨⎧+--==m
x x y x y 222
得042
=-+m x x （1）∵ 直线与抛物线有两个相异的交点，∴ 0416>+=∆m ，4->m （2）设A （11,y x ）、B （22,y x ），由根与系数的关系得421-=+x x ，m x x -=21
221221221221)(4)()()(||x x x x y y x x AB -+-=-+-= )4(2052]4)[(521221->+=-+=
m m x x x x （3）设线段AB 的中点坐标为（y x ,）
则有2221-=+=x x x ，2
2222
121x x y y y +=+=421-=+=x x 即线段AB 的中点坐标为（4,2--）
[例5] 已知点P （00,y x ）在曲线0),(=y x f 上，P 也在曲线),(y x g 0=上，求证：P 在曲线0),(),(=+y x g y x f λ上（R ∈λ）。

证明：∵ 点P 在曲线0),(=y x f 上也在曲线0),(=y x g 上 ∴ 0),(00=y x f ，0),(00=y x g ∴ 000),(),(0000=⋅+=+λλy x g y x f 即P 点在曲线0),(),(=+y x g y x f λ上
[例6] 求经过两曲线0322=-++y x y x ①和023322=+++y x y x ②交点的直线方程。

解：①-⨯3②：047=-y x
[例7] 是否存在实数a ，使曲线2x y =与1)(2
2=-+a y x 有且只有三个交点。

解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1)(2
22
a y x x y 有三组解： ∴ 01)12(2
2=-+--a y a y 有一正根一零根
∴ ⎪⎩⎪
⎨⎧=-=>-=+>---=∆010120)1(4)12(2
212122a y y a y y a a ∴ ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧±=><1
2145a a a ∴ 1=a
[例8] 设a 为非零实数，证明曲线)310()13(2
+--+=a x a ax y 恒过两定点。

证明：0)3()103(2
=++--+y x x x a
∴ ⎩⎨⎧=++=-+0301032y x x x ∴
⎩
⎨
⎧-==52
y x 或⎩⎨⎧=-=25y x ∴ 恒过两定点（5,2-）（2,5-）
[例9] 已知线段AB 的长为a ，点P 分线段AB 为||AP 1:2|:|=PB 两部分，当点A 在y 轴上移动时，B 在x 轴上移动，求动点P 的轨迹方程。

解：设点P （y x ,）、A （A y ,0）、B （B x ，0）
由定比分点公式有322120B B x x x =++=，3
2102A
A y y y =+⨯+=
则有x x B 2
3
=
，y y A 3= ∵ a AB =|| ∴ 22
2a y x A B =+代入得
222
94
9a y x =+ 即2224369a y x =+为所求动点P 的轨迹方程。

[例10] 两条直线1l 、2l 分别过点A （0,a ）、B （0,a -）（a 为常数），且分别绕A 、B 旋转，它们分别交y 轴于C （m ,0）、D （n ,0）（n m ,为参数），若2
a mn =，求两直线交点P 的轨迹方程。

解：设P （y x ,）
直线1l 的方程是1=+m y
a x ① 直线2l 的方程是
1=+-n
y
a x ② ∵ P 是直线1l 、2l 的交点，∴ x 、y 应是方程①、②构成的方程组的解。

由①，得a x
m y -=1 ③
由②，得a x
n y +=1 ④
③×④，得22
21a x m n y -= ∵ 2a mn =，代入上式，化简整理得2
22a y x =+为所求点P 的轨迹方程。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择：
1. 下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ）
A. x y =与2x y =
B. 0)2()1(2
2=++-y x 与0)2)(1(=+-y x
C. x y 1
=与1=xy
D. 2
lg x y =与x y lg 2=
2. 方程x xy x =+2
的曲线是（ ）
A. 一个点
B. 一条直线
C. 两条直线
D. 一个点和一条直线 3. 若点M 到两坐标轴的距离的积为2004，则点M 的轨迹方程是（ ）
A. 2004=xy
B. 2004-=xy
C. 2004±=xy
D. )0(2004>±=x xy 4. 两曲线22
2
=+y x ，1=xy 的交点个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 到直线0534=-+y x 的距离为1的点的轨迹方程为（ ） A. 01034=-+y x 和034=+y x B. 01034=-+y x 和0134=++y x
C. 01034=++y x 和034=+y x
D. 01034=++y x 和0134=++y x
6. 方程036422=-+-y x y x 表示的图形是（ ）
A. 直线02=-y x
B. 直线032=++y x
C. 直线02=-y x 或直线032=++y x
D. 直线02=+y x 和直线032=+-y x
7. 动点P 到点（2,1-）的距离为3，则动点P 的轨迹方程是（ ） A. 9)2()1(22=-++y x B. 9)2()1(22=++-y x C. 3)2()1(22=-++y x D. 3)2()1(22=++-y x
8. 直线032=-+y x 被曲线05=+xy 截得的线段长为（ ） A.
2
5
B. 5
C.
255 D. 2
5
7
二. 填空：
1. 点M 到x 轴的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点M 的轨迹方程是 。

2. 设A 、B 两点的坐标是（0,a -）、（0,a ），若动点M 满足1-=⋅MB MA k k ，则动点M 的轨迹方程是 。

3. 动点M （y x ,）到定点（1，1）的距离与M 到定直线01=+-y x 的距离相等。

则动点M 的轨迹方程是 。

4. 线段AB 的长度是10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是 。

三. 解答：
1. 已知点M 到点F （0，1）和直线l ：1-=y 的距离相等，求点M 的轨迹方程。

2. 已知两点P （2,2-）、Q （0，2）以及一条直线l ：x y =，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程。

3. 若点M （b a ,）在曲线02649422=+--+y x y x 上，求++++ 2
3
2
b a b a a 100
a
99b ⋅的值。

4. 已知直线l ：b x y +=，曲线C ：21x y -=有两个公共点，求b 的取值范围。

试题答案
一.
1. C
2. C
3. C
4. B
5. A
6. C
7. B
8. D 二.
1. 02=+y x 或02=-y x
2. 222a y x =+（a x ±≠）
3. 0326222=+--++y x xy y x
4. 2522=+y x
三.
1. 解：设点M 的坐标为（y x ,），点M 的轨迹就是集合|}||||{MQ MF M P ==，其中Q 是点M 到直线1-=y 的垂线的垂足。

由两点间距离公式及点到直线的距离公式得：
|1|)1(22+=-+y y x ，将上式两边平方得222)1()1(+=-+y y x
化简得2
4
1x y =
2. 解：∵ 线段AB 在直线l ：x y =上，且线段AB 的长为2 ∴ 设M （y x ,），A （t t ,），B （1,1++t t ）（t 为参数）
则直线PA 的方程为)2)(2(22
2-≠++-=
-t x t t y ① 直线QB 的方程为)1(1
1
2-≠+-=
-t x t t y ② ∵ M （x ，y ）是直线PA 、QB 的交点
∴ x 、y 是由①、②组成的方程组的解，由①、②消去参数t 得08222
2
=+-+-y x y x ③
当2-=t 时，PA 的方程为2-=x ，QB 的方程为023=+-y x ，此时的交点为M （4,2--）
当1-=t 时，QB 的方程为0=x ，PA 的方程为043=++y x 此时的交点为M （4,0-）
经验证，点（4,2--）和（4,0-）均满足方程③ 故点M 的轨迹方程为08222
2
=+-+-y x y x
3. 解：由02649422=+--+y x y x ，得0)3
1(9)2
1(42
2
=-+-y x
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==3121y x 即21=a ，31=b
∴ )6
1
1(5310099100
2
3
2
-=
⋅++++b a
b a b a a 4. 解：由方程组)0(12
≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y x
y b
x y 得)0(122≥⎩⎨⎧=++=y y x b x y 消去x 得)0(012222≥=-+-y b by y
l 和C 有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥->>--=∆02
10
0)1(84222b b b b 解得21<≤b ，即为所求。