二元函数重极限的计算方法

二元函数重极限的计算方法
一、定义
二元函数重极限是指，当自变量趋近于某个值的时候，函数值趋近于另一个值的极限。

用数学符号表示为:
lim (x→a) [f(x, g(x))] = l
其中，a 是某个实数，f(x, g(x)) 是一个二元函数，l 是一个
实数。

二、性质
1. 重极限具有有序性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且lim (x→a) [g(x)] = b，那么当 x 趋近于 a 的时候，f(x, b) 的
极限也等于 l。

2. 重极限具有连续性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且g(x) 在 x=a 处可导，那么 f(x, g(x)) 在 x=a 处也存在导数，且
导数等于 l。

三、计算方法
1. 代入法
将 g(x) 的极限代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, b),然后再
求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。

例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。

先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。

然后将 g(0) 代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。

最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 l = 1。

2. 替换法
将 g(x) 替换为它的极限值 b，然后求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。

例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。

先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。

然后将 g(x) 替换为 1，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。

最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于0 时的极限，得到 l = 1。

3. 级数法
将 f(x, g(x)) 展开成级数形式，然后利用级数的性质求解重极限。

例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。

将 f(x, g(x)) 展开成级数形式，得到:
f(x, g(x)) = x^2 + g(x) = x^2 + (1 + o(1))x
其中，o(1) 表示在 x 趋近于 0 时趋近于 0 的某个函数。