高考数学一轮总复习第九章解析几何专题研究1曲线与方程课件理
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专题研究一 曲线(qūxiàn)与方程
第一页，共40页。
专题要点
第二页，共40页。
1．求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点 的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直 线距离公式等)进行整理、化简． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程， 再确定其中的基本量．
第三十五页，共40页。
所以k是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的一个
根，同理－
1 k
是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的另
一个根．
所以k·－1k＝yx0022－ －49，得x02＋y02＝13，其中x0≠±3. 所以此时点P的轨迹方程为x02＋y02＝13(x0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x02＋y02＝13， 所以综上可知，点P的轨迹方程为x02＋y02＝13. 【答案】 (1)x92＋y42＝1 (2)x02＋y02＝13
第九页，共40页。
方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以M( 12 ，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再 利用圆的方程得解．
第十页，共40页。
★状元笔记★ 定义法求轨迹方程 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义． (2)关键 定义法求轨迹方程的关键是弄清各种常见曲线的定义．
第四页，共40页。
2．注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可， 求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、 大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面 性． (2)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对 应关系．检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否 是同解变形，二是是否符合题目的实际意义．
第十一页，共40页。
方法三(相关点法)：设 Q(x1，y1)，则 xy＝＝xy2211，⇒xy11＝＝22xy.，又∵(x1－1)2＋y12＝1， ∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．
第十二页，共40页。
★状元笔记★ 相关点法求轨迹方程 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的， 另一个是次动的，如本题中 P 是主动点，M 是次动点． (2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点 法求其轨迹方程： ①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化； ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律．
【解析】 (定义法)如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点， O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得 O1(－2，0)，O2(2，0)．设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝r－1；
第二十三页，共40页。
由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的 左支． ∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1(x≤－32)． 【答案】 49x2－47y2＝1(x≤－32)，点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支
【答案】 8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)
第二十六页，共40页。
思考题 3 自抛物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂 线，垂足为 Q，连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直 线交于 R 点，求 R 点的轨迹方程．
第二十七页，共40页。
【解析】 (相关点法)：设 P(x1，y1)，R(x，y)， 则 Q－12，y1，F12，0.OP 的方程为 y＝yx11x. FQ 的方程为 y＝－y1x－12. 联立得 x1＝1－2x2x，y1＝1－2y2x代入抛物线方程可得 y2＝－2x2＋x. 【答案】 y2＝－2x2＋x
第三十二页，共40页。
【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴 长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条 切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线 与椭圆相切得判别式Δ＝0，建立关于k的一元二次方程，利用两 根之积为－1，求出点P的轨迹方程．
第三十三页，共40页。
第十五页，共40页。
方法五(参数法)：设Q点坐标为(1＋cosθ，sinθ)， ∴P(x，y)的坐标为yx＝＝s1i＋n2θc2o，sθ，消θ即可． 【答案】 (x－12)2＋y2＝14(0<x≤1)
第十六页，共40页。
【讲评】 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方 法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做 扼要总结即可．
轨迹方程．
第二十页，共40页。
【解析】 (直译法)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对 称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得yx－＋11·yx＋－11＝－13，化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)． 【答案】 x2＋3y2＝4(x≠±1)
第二十四页，共40页。
(2)已知 A，B，C 是直线 l 上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆 Q 切直线 l 于点 A，又过 B，C 作圆 Q 异于 l 的两切线，设这两切 线交于点 P，求点 P 的轨迹方程．
第二十五页，共40页。
【解析】 (定义法)如图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C 为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原 点建立坐标系得P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)．
xy＝ ＝1212（ （11－ ＋1k1k） ）， ， 两式相加消去k，得x＋y＝1(x≠ 12 )，即x＋y－1
＝0(x≠12)，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0(x≠12)．
第三十页，共40页。
当直线l1(l2)的斜率不存在时，点M的坐标为(
1 2
，
1 2
)，此点在
直线x＋y－1＝0上．
第八页，共40页。
★状元笔记★ 直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方 程，然后进行化简． (2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏 了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这 是不能忽视的． ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省 略．
【解析】 (1)由题意知 c＝ 5，ca＝ 35， 所以 a＝3，b2＝a2－c2＝4. 故椭圆 C 的标准方程为x92＋y42＝1. (2)设两切线分别为 l1，l2， ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时，对应 l2∥x 轴或 l2⊥x 轴，可知 P(±3，±2)．
第三十四页，共40页。
②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－1k， 故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立x92＋y42＝1， 得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0. 因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0. 即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0. 所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0. 所以(x02－9)k2－2x0y0k＋y02－4＝0.
第十七页，共40页。
思考题1 (1)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长 是2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，则△ABC外 心的轨迹方程为________．
第十八页，共40页。
【解析】 (直译法)以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线建 系，则A(0，b)．设外心M(x，y)，则MN是BC的垂直平分线，N 为垂足．∴|MA|＝|MB|.
第三十六页，共40页。
思考题6 (2016·课标全国Ⅲ，理)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点， 交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨 迹方程．
综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.
【答案】 x＋y－1＝0
第三十一页，共40页。
思考题5 已知椭圆C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一个焦点为
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条 切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
第二十九页，共40页。
【解析】 (参数法)当直线l1的斜率存在时，l2的斜率也存 在，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝
－
1 k
(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－
1 k
，0)，l2与y轴的交
点为B(0，1＋
1 k
)，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有
第三十七页，共40页。
【解析】 由题知F(
1 2
，0)．设l1：y＝a，l2：y＝b，则
ab≠0，且A(a22，a)，B(b22，b)，P(－12，a)，Q(－12，b)，R(－12，
a＋2 b)．
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
第二十八页，共40页。
思考题 4 若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为 ________．
【 思 路 】 斜率存在时，点斜式设l1的方程 → 得l2的方程 → 联立方程 → 求交点坐标 → 消去参数 → 得结果 → 斜率不存在时将M 的坐标代入验证
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝－aab＝－b＝k2.
第三页，共40页。
(3)代入法：也叫相关点法，其特点是，动点 M(x，y)的坐标 取决于已知曲线 C 上的点(x′，y′)的坐标，可先用 x，y 表示 x ′，y′，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程．
(4)参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x、 y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
第十三页，共40页。
方法四(参数法)：设动弦 PQ 的方程为 y＝kx，代入圆的方程 得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0，
∴x＝x1＋2 x2＝1＋1k2，y＝kx＝1＋kk2消去 k 即可．
第十四页，共40页。
★状元笔记★ 参数法求轨迹方程 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显 的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与 某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．
∴|MA|＝ x2＋（y－b）2，|MB|＝ |MN|2＋|BN|2＝ a2＋y2. 所以x2－2by＋b2－a2＝0.
【答案】 x2－2by＋b2－a2＝0
第十九页，共40页。
(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O
对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－
1 3
.求动点P的
第二十一页，共40页。
思考题2 (1)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1 和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当 的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【思路】 利用两圆相切的几何性质得出M的等量关系，结合 圆锥曲线定义求方程．
第二十二页，共40页。
第五页，共40页。
专题讲解
第六页，共40页。
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所 作弦的中点的轨迹方程．
第七页ห้องสมุดไป่ตู้共40页。
【解析】 方法一(直译法)：设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x， y)为其中点，则 CP⊥OP，OC 中点为 M(12，0)，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程(x－12)2＋y2＝14，考虑轨迹的范围 知 0<x≤1.
第一页，共40页。
专题要点
第二页，共40页。
1．求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点 的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直 线距离公式等)进行整理、化简． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程， 再确定其中的基本量．
第三十五页，共40页。
所以k是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的一个
根，同理－
1 k
是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的另
一个根．
所以k·－1k＝yx0022－ －49，得x02＋y02＝13，其中x0≠±3. 所以此时点P的轨迹方程为x02＋y02＝13(x0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x02＋y02＝13， 所以综上可知，点P的轨迹方程为x02＋y02＝13. 【答案】 (1)x92＋y42＝1 (2)x02＋y02＝13
第九页，共40页。
方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以M( 12 ，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再 利用圆的方程得解．
第十页，共40页。
★状元笔记★ 定义法求轨迹方程 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义． (2)关键 定义法求轨迹方程的关键是弄清各种常见曲线的定义．
第四页，共40页。
2．注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可， 求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、 大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面 性． (2)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对 应关系．检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否 是同解变形，二是是否符合题目的实际意义．
第十一页，共40页。
方法三(相关点法)：设 Q(x1，y1)，则 xy＝＝xy2211，⇒xy11＝＝22xy.，又∵(x1－1)2＋y12＝1， ∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1)．
第十二页，共40页。
★状元笔记★ 相关点法求轨迹方程 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的， 另一个是次动的，如本题中 P 是主动点，M 是次动点． (2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点 法求其轨迹方程： ①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化； ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律．
【解析】 (定义法)如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点， O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得 O1(－2，0)，O2(2，0)．设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝r－1；
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由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的 左支． ∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为49x2－47y2＝1(x≤－32)． 【答案】 49x2－47y2＝1(x≤－32)，点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支
【答案】 8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)
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思考题 3 自抛物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂 线，垂足为 Q，连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直 线交于 R 点，求 R 点的轨迹方程．
第二十七页，共40页。
【解析】 (相关点法)：设 P(x1，y1)，R(x，y)， 则 Q－12，y1，F12，0.OP 的方程为 y＝yx11x. FQ 的方程为 y＝－y1x－12. 联立得 x1＝1－2x2x，y1＝1－2y2x代入抛物线方程可得 y2＝－2x2＋x. 【答案】 y2＝－2x2＋x
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【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴 长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条 切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线 与椭圆相切得判别式Δ＝0，建立关于k的一元二次方程，利用两 根之积为－1，求出点P的轨迹方程．
第三十三页，共40页。
第十五页，共40页。
方法五(参数法)：设Q点坐标为(1＋cosθ，sinθ)， ∴P(x，y)的坐标为yx＝＝s1i＋n2θc2o，sθ，消θ即可． 【答案】 (x－12)2＋y2＝14(0<x≤1)
第十六页，共40页。
【讲评】 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方 法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做 扼要总结即可．
轨迹方程．
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【解析】 (直译法)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对 称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得yx－＋11·yx＋－11＝－13，化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)． 【答案】 x2＋3y2＝4(x≠±1)
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(2)已知 A，B，C 是直线 l 上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆 Q 切直线 l 于点 A，又过 B，C 作圆 Q 异于 l 的两切线，设这两切 线交于点 P，求点 P 的轨迹方程．
第二十五页，共40页。
【解析】 (定义法)如图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C 为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原 点建立坐标系得P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)．
xy＝ ＝1212（ （11－ ＋1k1k） ）， ， 两式相加消去k，得x＋y＝1(x≠ 12 )，即x＋y－1
＝0(x≠12)，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0(x≠12)．
第三十页，共40页。
当直线l1(l2)的斜率不存在时，点M的坐标为(
1 2
，
1 2
)，此点在
直线x＋y－1＝0上．
第八页，共40页。
★状元笔记★ 直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方 程，然后进行化简． (2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏 了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这 是不能忽视的． ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省 略．
【解析】 (1)由题意知 c＝ 5，ca＝ 35， 所以 a＝3，b2＝a2－c2＝4. 故椭圆 C 的标准方程为x92＋y42＝1. (2)设两切线分别为 l1，l2， ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时，对应 l2∥x 轴或 l2⊥x 轴，可知 P(±3，±2)．
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②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－1k， 故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立x92＋y42＝1， 得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0. 因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0. 即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0. 所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0. 所以(x02－9)k2－2x0y0k＋y02－4＝0.
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思考题1 (1)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长 是2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，则△ABC外 心的轨迹方程为________．
第十八页，共40页。
【解析】 (直译法)以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线建 系，则A(0，b)．设外心M(x，y)，则MN是BC的垂直平分线，N 为垂足．∴|MA|＝|MB|.
第三十六页，共40页。
思考题6 (2016·课标全国Ⅲ，理)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点， 交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨 迹方程．
综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.
【答案】 x＋y－1＝0
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思考题5 已知椭圆C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一个焦点为
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条 切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
第二十九页，共40页。
【解析】 (参数法)当直线l1的斜率存在时，l2的斜率也存 在，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝
－
1 k
(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－
1 k
，0)，l2与y轴的交
点为B(0，1＋
1 k
)，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有
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【解析】 由题知F(
1 2
，0)．设l1：y＝a，l2：y＝b，则
ab≠0，且A(a22，a)，B(b22，b)，P(－12，a)，Q(－12，b)，R(－12，
a＋2 b)．
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
第二十八页，共40页。
思考题 4 若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为 ________．
【 思 路 】 斜率存在时，点斜式设l1的方程 → 得l2的方程 → 联立方程 → 求交点坐标 → 消去参数 → 得结果 → 斜率不存在时将M 的坐标代入验证
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝－aab＝－b＝k2.
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(3)代入法：也叫相关点法，其特点是，动点 M(x，y)的坐标 取决于已知曲线 C 上的点(x′，y′)的坐标，可先用 x，y 表示 x ′，y′，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程．
(4)参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x、 y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
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方法四(参数法)：设动弦 PQ 的方程为 y＝kx，代入圆的方程 得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0，
∴x＝x1＋2 x2＝1＋1k2，y＝kx＝1＋kk2消去 k 即可．
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★状元笔记★ 参数法求轨迹方程 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显 的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与 某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．
∴|MA|＝ x2＋（y－b）2，|MB|＝ |MN|2＋|BN|2＝ a2＋y2. 所以x2－2by＋b2－a2＝0.
【答案】 x2－2by＋b2－a2＝0
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(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O
对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－
1 3
.求动点P的
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思考题2 (1)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1 和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当 的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【思路】 利用两圆相切的几何性质得出M的等量关系，结合 圆锥曲线定义求方程．
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专题讲解
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设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所 作弦的中点的轨迹方程．
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【解析】 方法一(直译法)：设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x， y)为其中点，则 CP⊥OP，OC 中点为 M(12，0)，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程(x－12)2＋y2＝14，考虑轨迹的范围 知 0<x≤1.