5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式

修正方程：
u u c x 2u c x2 3u 1 2 2 1( 1) 3 c x x t x 2 6
a t x
稳定条件 ：

1
耗散及频散特性. G 1 c c cos ic sin
Euler差分方法（如下）不稳定
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
初值问题的精确解
由数学物理方程得：
（3） （4）
由（4）分别求t、x导数，代入（2）式可以验证解的正确性， 即： cF cF 0
欧拉显格式:Euler Explicit Method
都为一步显格式
1、 2、
： ：
1 un j
时间、空间前差
时间前差、空间中心差
两种差分方程的时间项都为一阶精度。 每个方程中未知量只有 ，都为一步显格式 显格式: 递推;而不同求解方程组
蛙跳格式的耗散性和色散性分析
蛙跳格式的缺点
1、初始值需要给两个时间层上的值。解决：可以 在初始计算时，仅给n＝0时刻的初始值，采用两层 差分格式来得出n＝1层上的值，然后在采用蛙跳格 式循环计算。
n u 不依赖于 j ，导致了 2 n 1 3 1 2n 4 2 两个不相关的解。 u j ...u j u j ，u j ...u j u j
一阶迎风格式的放大因子：
放大因子的模如右图所示，显然
An 1 G n A
通过|G|，可得数值格式是耗散的还是逆耗散的
无法知道色散格式是超前相（leading phase error）误差还是 迟滞相误差（lagging phase error）
1 e
1 e
需要确定确定相对相位误差
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
2 2
相对于流体本身的粘性 ，式（4.15）的T.E.最低阶导数项，称为 隐含的粘性项（ ）。
它的作用是将减小梯度值。称为耗散项。其它偶阶导数项的作用相同，都 是耗散项。是由于差分格式引起的耗散，又称为数值耗散。
数值耗散,数值色散
的作用是引起数值上的色散效应。其它奇数阶导数项的作用相同，都是色 散项。是由于差分格式引起的色散，又称为数值色散。
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
修正方程的耗散项和色散项与放大因子的联系
修正方程的差分方程可以写成：
其中C2l为最低偶数阶导数项系数，一阶迎风差分方程中的最低偶数阶导数项系数 为： 故： 即此差分方程稳定的必要条件，可以作为试探稳定性的 一个方法，而Von Nomann方法可以确定充分必要条件。 相对相位误差： 对于小波数（km）情况，只需要确定最低奇数阶导数项的系数。
j j 1
满足差分方程与原来PDE的精确解相同的条件，即： （转移条件）
1
称为shift condition
式（4.15）的T.E.最低阶导数项包含 ，回顾N-S方程，相当于在 u u 1 p u N-S方程中人为添加了粘性项。t u x x ( x )
ct 0, x
2
其中
1 cos 0
G 1
2
无条件不稳定
一阶迎风格式，(upstream, windward)
波右传,迎风
时间前差、空间后差FTBS
：
Von Neumann稳定性分析，条件稳定：
若C<0,迎风? FTFS!
修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性
差分方程（4.10）式，右端项为T.E.，包含时间导数项，将 （4.10）式的右端项变换为不含时间导数项的方程（自循环消 元法），即为修正方程，如下
注意：自循环消元法针对差分方程（4.10）式，不要利用原来 的PDE，即（4.2）式，PDE方程的精确解不一定满足差分方程， 而修正方程本质上表示的是差分方程不含时间导数项的另外一 种形式，即修正的差分方程。
在一个修正的差分方程中，往往既有偶数阶导数，又有奇数阶导数，但是起主要作用的是 最低阶导数项，本差分方程起主导作用的为二阶导数项，因此主要是数值耗散。
是
关于 x的高阶无穷小量
耗散格式的数值解
色散格式的数值解
PDE的精确解
耗散作用
色散作用
修正方程的耗散项和色散项与放大因子的联系
放大因子的模(耗散dissipation)和辐角(色散dispersion)与修正方程的耗 散项和色散项有一定的关系。
＝
利用边界条件，（4.31）式变为：
其中：
A为三对角矩阵，可用追赶法求解。从而得出内点的解。
以上差分方法都是一阶精度，一般求解物理问题最低精度要求为二阶精度。见下
从修正方程可用看出，截断误差项中不含偶数阶导数项，因此数值解不发生 耗散，即没有耗散误差，其振幅的误差可来源于边界条件及其计算机字长引 起的截断误差。 由于修正方程和放大因子都可以用来解释色散性和耗散性，因此以上问题也 可由放大因子来解释。
G 1 e
Von Neumann稳定性分析

ikx
1 0

其中
ct , kx x
G 1 cos i sin 1 1 cos i sin
G 1 2 2 cos 2 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 1 2 11 cos
leading phase error lagging phase error
从而需要确定精确解的相位 e ， 为此，令 ct km x e ck m t
x
其精确解的|G|＝1，即无论经过多长时间，其振幅不变，即An＝A0
而经过一阶迎风差分格式（4.7）式计算N步之后，其振幅误差为：
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
ut cu x
中心差分
耗散性和色散性分析
O x , t
4

2

高阶精度的差分格式：
修正使之稳定（空间导数项采用隐格式）：
：
无条件稳定
耗散性和色散性分析
此格式虽然为无条件稳定，但是，当波数中等大小时，耗散最大，而当波速较大时， 其色散性很差，<<1，有很严重的相位迟滞现象。因此，只有波数较小时，结果才能 接近正真解。
欧拉隐格式，求解时需要解方程组 隐格式：
给定初始条件 边界条件：
n 1 u 2、由于采用蛙跳格式， j
1 n 3、需要更多的内存，需要存储 u n u j j
1 un j
泰勒展开： 利用波动方程：
代入泰勒展开式，则：
空间导数进行差分：
：
主要为色散误差
耗散性和色散性分析
leading phase error lagging phase error
：
1 un un j j n c c un j 1 u j n c c un j u j 1
即：
t

2
x

2
x
o
整理可得： （4.25b）式表现出了中心差分格式的某些性质。 等式右端的第三项为二阶 导数项，为人为的引入的粘性耗散项。 截断误差： T . E . o( t , x )
通过Von Neumann稳定性分析方法，此两种显格式都是无条件不稳定的， 因此，这两种差分方程没有实际意义。
如下:
ct 后面令: x
k x
欧拉显格式:Euler Explicit Method 差分方程1、
An 1 An An eikx An c 0 x t ikx e 1 G 1 c 0 t x
扩散项
仅含对流项，故该方程也可以称为一维对流方程
波动方程（wave equation）
1-D 波动方程是一个二阶双曲型 PDE: （1） 表示声波以波速c在单一物质中转播的控制方程。同 样性质的方程还有一阶PDE： （2） 式（1）可由（2）推导出 式（2）可得：
ut cu x ，分别对此式求t和x的导数 utt cu xt utx cu xx 2 得：utt cu xt c( cu xx ) c u xx 即式（1）
波动方程的几种差分格式
模型方程：波动方程（wave equation）
该方程是一个线性方程，描述了以波速c沿x轴传播，可 以做为了解非线性无粘性流动的初步性质的模型方程。 不可压缩 Navier–Stokes 方程
u v 0 x y
线性化，压强梯度略去
对流项
u u u 1 p 2u 2u 一维无粘性 u u u 1 p u v ( 2 2) t x x t x y x x y v v v 1 p 2 v 2 v u v ( ) y t x y x 2 y 2
修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性
修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性
修正的差分方程（4.15）式的右端为截断误差项（T.E），即表示的是PDE和FDE的误 差项。若 1 ，修正的差分方程（4.15）式右端项都为零，因此，差分方程与原来 PDE的精确解相同。即： u n 1 u n
代入（4.59）式
Hale Waihona Puke T.E.作用：使格式满足 稳定条件
参数w作用
若 0 4 0 2
2 4
不满足
0 1
色散性起 主要作用
耗散性起 主要作用
与Rusanov同
与MacCormack同
（
）
有用否？？？
代 入
代入Step2得
若采用中心差分对空间进行离散得：
对于本一阶迎风差分方程，得：
与前面通过放大因子方法求得的相对相位误差相同。
通用的一阶迎风格式，(upstream, windward)
上面仅讨论了波速c>0的情况，针对波速分别c为可能为正和负的情况，如下
ut cu x 0 ut cu x 0
迎风格式如下：
c0 c0
引入如下变量： 则上面迎风格式的两个方程可以统一为如下的一个方程：