取整函数Word

.一、取整函数的性质
⑴函数y=[x]的定义域为R ，值域Z ； ⑵若n ∈Z ，当n ≤x<n+1时,[x]=n; ⑶当x 1<x 2时，恒有[x 1]≤[x 2]； ⑷x-1<[x]≤x<[x]+1；
⑸若n ∈Z ，则[n+x]=n+[x]，由这一性质可知f （x ）=[x]是最小正周期为1的周期函数.
二、取整函数在求值中的应用
1.求值；[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+．．．+[log 250] 解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n ≤x<2n+1(n ∈Z)时,[x]=n,
所以[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+．．．+[log 250]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243
2.由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A ，求集合A 中的元素的个数。

解析：设f （n ）=1002n ，则f （n+1)-f （n ）=100
12+n ，
当n ≥50时f （n+1)-f （n ）>1
所以[100502],[100
512],...,[
1001002
]是51个互不相等的数
当1≤n ≤49时f （n+1)-f （n ）<1,且[f （1)]=0,[f （49）]=[24.01]=24 所以1≤n ≤49时0≤[f （n ）]≤24且能取到该范围内的任一个整数 所以集合A 中的元素的个数为51+25=76.
点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键. 3、求sin1sin 2sin3sin 4sin5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.
解析：sin1、sin 2、sin3(0,1)∈，sin 4、sin5(1,0)∈- 三、取整函数在函数的应用
.4、定义f （x ）=x-[x]，则以下结论正确的是（） A.f （3）=1.B.方程f （x ）=0.5有且仅有一个实根 C.f （x ）是周期函数D.f （x ）是增函数.
解析：因为x ∈Z 时f （x ）=0，所以排除A 、D ，又f （0.5）=f （1.5）=0.5，排除B.选C. 点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活. 5.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数
2()([])f x x x =-的四个命题：
①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数
()y f x =在(0,1)上是增函数．
其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号） 答案：③④
7.已知f （x ）=x[x]的定义域为[0，3]，求f （x ）的值域.
解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f （x ）=0;
⑵当1≤x<2时[x]=1,f （x ）=x,此时1≤f （x)<2; ⑶当2≤x<3时[x]=2,f （x ）=2x,此时4≤f （x ）<6; ⑷当x=3时[x]=3,此时f （x ）=9
.综上所述,f （x ）的值域为{y|y=0或1≤y<2或4≤y<6或y=9}. 点评：根据n ≤x<n+1(n ∈Z)时[x]=n 合理进行分类,是解决本题的关键. 8.设f （x ）=
x x 212+-2
1，则[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为＿
解析：f （-x ）=x x --+212-21=121+x -21=
x
x x 21221+-+）（-21=21-x x
212+=-f （x ）.又0<
x
x
212+<1,
所以-
21<f （x ）<21. 当-2
1
<f （x ）<0时[f （x ）]+[f （-x ）]=-1+0=-1.
当0<f （x ）<1时,[f （x ）]+[f （-x ）]=0+(-1)=-1. 当f （x ）=0时[f （x ）]+[f （-x ）]=0.
综上所述,函数[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为{-1、0}.
点评：本题以取整函数为载体,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活. 9.对于给定的*
N n ∈，定义),1[,)
1][()1()
1][()1(+∞∈+--+--=
x x x x x x n n n C x
n
，当)3,23[∈x 时，函数
x C 8的值域是
A ．]28,316[
B.)56,316[
C.]56,28[)3
28,4( D.]28,328
(]316,4( 解：当223<≤x 时，1][=x ，x C x
88=]3
16,
4(∈，当32<≤x 时，2][=x , ]28,3
28
()1(568∈-=
x x C x ，于是答D.
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再
增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]([]
y x x =表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （B ）
A ．
[]10
x y =
B ．
3
[
]10
x y += C ．
4
[
]10
x y += D ．
5
[
]10
x y +=
11.定义：若[x]表示不超过x 的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x ）表示表示不小于x 的最小整数，则称函数y=（x ）为“上取整”函数，例如[1.5]=1，(―2.3)=―2,,(2.9)=3. 试用适当的符号表示如下的函数关系式：
某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值x 元，而他实际付款是y 元，试建立y 关于x 的函数关系式。

一顾客拿着某超市的足够多的面值是20元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为x 元的物品，全部用抵押劵支付，共付了y 张，试建立y 关于x 的函数表达式。

解
0,300100>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅-=x x x y ,0,20>⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y . 12.已知函数
1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右边.
（1）求实数m 的范围； （2）令t=―m+2，求
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡t 1的值； （3）对于（2）中的t ，求函数11][1][1
)(+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=
t t t t t
t t g 的值域。

解（1）1≤m
；（2）因为t=―m+21≥，所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡t 1=0或1；
（3）当1=t
时，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡t 1=1，21)1(=g ；
当1>t 时，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡t 1=0，这时1][1
)(++
=t t t t g ，
（ⅰ）当21<<t
时，4
5
)(1<
<t g ， （ⅱ）当1+<≤n t n ，*
,2N n n ∈≥时，))1(1
)1(,)1(1[)(2
22+++++∈n n n n n t g ，
因为31
211111)1(122+-+--=+--=++n n n n n n n n 对*
,2N n n ∈≥是递增的，当n=2时取最小值是
65，而2
22)1(11)1(1)1(++=+++n n n 对*
,2N n n ∈≥是递减的，当n=2时取最大值是
9
10
， 当n=2时))1(1)1(,)1(1[222+++++n n n n n 是)910,65[，亦即)910,65[是所有区间))
1(1
)1(,)1(1[222+++++n n n n n 的
并集，即2≥t
时，)(t g 的值域是)910,65[，联系当21<<t 时，4
5)(1<<t g 及t=1时21
)1(=g ，
得)(t g 的值域是}2
1
{)45,65[ 。

13.R x ∈，令]3[)(1x x a =，
]3[3)(x x x f -=，进一步令))(()(12x f a x a =，
)))((()(13x f f a x a =，
（1）若27
17=
x
，求)(1x a ，)(2x a ，)(3x a .
（2）若1)(1=x a ，2)(2=x a ，2)(3=x a ，求x 的范围.
解：（1）若27
17
=
x ，则1917)(1=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
x a ，98317917]3[3)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=x x x f ，
238)(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x a ；)](3[)(3))((x f x f x f f -==323838=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，2323)(3=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅=x a .
（2）若
1)(1=x a ，则231<≤x ，即3
2
31<≤x ……………………
13]3[3)(-=-=x x x x f ，]39[)(2-=x x a ，令]39[)(2-=x x a =2，
得：3392<-≤x ，这样：
3
2
95<≤x ………………………… 59]39[39)](3[)(3))((-=---=-=x x x x f x f x f f ，
)))((()(13x f f a x a ==]1527[-x ，令2)(3=x a ，得：315272<-≤x 这样：32
2717<≤x ………………………………………………… 由、、得：3
22717<≤x . 14.设函数
,0
),1(0],[)(⎩⎨⎧<+≥-=x x f x x x x f 其中][x 表示不超过x 的最大整数，如]2,1[-=-2，]2.1[=1，
]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是D
A ．]3
1,41(
B ．]41,0(
C ．]31,41[
D ．)31,41[
四、不等式中的取整函数问题
15.不等式2[x]2-[x]-3≥0的解集为＿.
解析：该不等式可看作关于[x]的一元二次不等式，解得[x]≥1或[x]≤-2
3
，所以x ≥1或x<-1不等式2[x]2-[x]-3≥0的解集为{x|x ≥1或x<-1}.
点评：由[x]≤-2
3
及[x]∈Z 得到[x]≤-2，再根据n ≤x<n+1(n ∈Z)时[x]=n ，得到x<-1，这一步如不细心很容易出错.
16.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[]3.273=，[]0.60=.那么“[][]
x y =是“
1x y -<”的（Ａ）
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件?（D ）既不充分也不必要条件
设[x ]表示不超过x 的最大整数（如［2］=2，［1.3］=1）,
17.已知函数
()[]121
2
x f x x ⎡
⎤+⎢⎥⎣⎦=+
()0x ≥，当()1f x <时，实数x 的取值范围是▲.
答案：1|,2x k
x k k N ⎧
⎫
≤<+∈⎨⎬⎩
⎭
五、方程中的取整函数问题 18.方程x 2-[x]-2=0的解集为＿.
解析：由[x]≤x 得x 2-x-2≤0，即-1≤x ≤2，又[x]∈Z ，2∈Z ，所以x 2∈Z ，因此x 的可能取值为-1、0、1、
2、3、2，经检验x 取-1、3、2时满足方程.所以方程x 2-[x]-2=0的解集为{-1、3、2}.
19.若a ≥0，则方程[2sinx]=[x]的解集是＿
解析：因为[2sinx]∈{0、1、2}且[2sinx]=[x]，所以0≤x<3, ⑴当0≤x<1时[x]=0=[2sinx],0≤x<6
π, ⑵1≤x<
2π,[x]=1=[2sinx],1≤x<2π. ⑶当2π≤x<3时[2sinx]=1=[x],2π<x<2.由⑴⑵⑶知方程[2sinx]=[x]的解集是[0,6π)∪[1,2π)∪(2
π,2).
点评：先根据题中所给条件缩小x 的取值范围，再进行求解是解决以上两题的关键. 20.解方程：02]2[4
=--x x
；
解原方程变为：2]2[4+=x x
设t x
=4
，则2][+=t t ，又设
t t f =)(，2][)(+=t t g ，如图，)(t f 与)(t g 在区间（1，4）内有一个交点，令3=t
即34
=x
，得：3log 4=x ，又4=t 得1=x ，于是，方程的两个根是：
3log 4=x 或1=x .
21.解方程
56157
85x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
解：令
()1575x n n Z -=∈，则5715n x +=，带入原方程整理得：103940n n +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，由取整函数的
定义有10390140n n +≤
-<，解得：113
3010
n -<≤，则
0,1n n ==。

若0n
=，则715x =
；若1n =，则4
5
x =。

注：本例中方程为
[]u v
=[7]型的，通常运用取整函数的定义和
性质并结合换元法求解。

22.解方程
1142x x +-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解：由取整函数的性质，得：111142x x +--<-<，即17x -<<，令1111
,42
x x y y +-==，在同一坐标系中画出二者的图象： 分析两者在区间
()1,7-内的图象，
显然，当()1,1x ∈
-时，104x +⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
而
112x -⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
，方程不成立；当
[)1,3x ∈时，11042x x +-⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
；当 [)3,5x ∈时，11142x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当[)5,7x ∈时，114x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
而122x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方程不成立。

综上所述，原方程的解是：{}15x x ≤<。

注：本例为
[][]u v =型方程。

首先由11u v -<-<，求出x 的取值区间。

但此条件为原方程成立的充
分但不必要条件，故还须利用()u f x =和()v g x =的图象进行分析才能得到正确结果。

23.解方程[]3
33x
x -=
解：若1x
≤-，则[]3331210x x x x x -≤-+=+<，原方程不成立；
若10x -<≤，则[]()333331311x x x x -=--=+≤，原方程不成立；
若01x ≤
<，则[]33333033x x x x -=-=<，原方程不成立；
若12x ≤<，则[]3333 1.x x x -=-原方程即为334x =；解得：x =
若2x
≥，则[]3333324x x x x x x x -≥->-=>，原方程不成立；
所以，原方程的解为：x x ⎧⎪=⎨⎪⎩。

注：此题采用的是分区讨论法
24.记号[x]表示不超过x 的最大整数，则方程[][]6)1(log 3
3
-=-x x 的解是
答案：[4，5] 25.将方程3
3[]40x x -⨯-=（[]x 表示不超过x 的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,k x x x ，
则3
331
2k x x x +++=
答案：3
3[]4x x =+,当[]0x >时，3323[]4[][]x x x x =+≥≥，
∴3
[]
3[]40x x --≤，1[]4x -≤≤，∵[]0x >，∴0[]4x <≤
由于[]x Z ∈，验证可知[]1x =，此时，x
=[]2x =此时x =当[]0x =时，无解
当[]0x <时，[]{}x x x =
-，由于0{}1x ≤<，故0[]1x x ≤-<
又3
3[]43({})433{}4x
x x x x x =+≥-+=-+
∴33340x x -<
--≤
由3
340x
x --≤得11122
x x --+<
-≤≤
当1x <-时，3334x x -<--不成立；又[]0x <
易得10x -≤
≤，x Z ∈,∴1x =-，0
33312k x x x +++=16
26.设n 为自然数，[x]表示不超过x 的最大整数，解方程： 分析要解此方程，必须先去掉[]，由于n 是自然数，所以n 与(n+1)
…，n[x]都是整数，所以x 必是整数．
解根据分析，x 必为整数，即x=[x]，所以原方程化为
合并同类项得
故有
所以x=n(n+1)为原方程的解．
六、数列中的取整函数问题
27.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下： 第k 棵树种植在点),(k k k y x P 处，其中11
=x ，11=y ，当2≥k 时，
)]52()51(
[511----+=-k T k T x x k k ，)5
2
()51(1---+=-k T k T y y k k ， )(a T 表示非负实数a 的整数部分，例如2)6.2(=T ，0)2.0(=T ，按此方案，第6棵树种植的坐标是
____________，第2008棵树种植的坐标是_________________。

解k x 是1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，.
k y 是1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，.
第6种植点是（1，2），第2008种植点是（3，402）。

28.已知][log 2n a n =，20082321≥++++n
a
a a a ，求最小的正整数n..
解01
=a ，132==a a ，27654====a a a a ，31598====a a a ，
…，,11
22
1
-===--n a
a n n n a
n
=2，
于是，n
a
a a a 2321++++ =n n n +⋅-++⋅+⋅+⋅-132
2)1(232221 =
n n n ++-22)2(，计算得n 取最小的正整数是9.
29.
][)(x x f =，)3
(n
f a n =，求前3n 项的和n S 3；
解：n S 3=n n n n a a a a a a a a a a a a 313233387654321)()()()(++++++++++++---
=0+3+6+n n +-+)1(3 =
2
)
13(-n n .
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