高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量

第一部分专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形
专题强化精练提能 理
1．(2015·济南市第一次模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )
A ．－43 B.43
C ．－43或0 D.43
或0
解析：选D.由2sin 2α＝1＋cos 2α得
4sin αcos α＝2cos 2
α，所以cos α(2sin α－cos α)＝0，
所以cos α＝0或tan α＝1
2.
由cos α＝0知α＝2k π±π
2
(k ∈Z )，所以tan 2α＝0；
由tan α＝12知tan 2α＝4
3
.
2．(2015·南昌市第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c
＝1，B ＝45°，cos A ＝3
5
，则b 等于( )
A.53
B.107
C.57
D.52
14
解析：选C.因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45
，
所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝72
10
.
由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ·sin B
sin C
＝172
10
×sin 45°＝57.
3．(2015·德州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面
积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2
，则tan C 等于( )
A.34
B.43 C ．－43 D ．－34
解析：选C.因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2
＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2
C ＋1＝4，解得tan C ＝－4
3
或tan C ＝0(舍去)，故选C.
4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 解析：选B.因为b cos C ＋c cos B
＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 2
2ac
＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a
＝2a
22a
＝a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
2
，即△ABC 是直角三角形．
5. 如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC 边上的两点，分别连接AD ，AE ，若∠ACB ＝∠ADC ＝π
4
，△ABC ，△ABD ，△ABE 的外接圆直径分别为d ，e ，f ，则( )
A ．d ＜f ＜e
B ．e ＜ d ＜f
C ．e ＜f ＜d
D ．e ＝d ＞f 解析：选D.因为∠ACB ＝∠ADC ＝π
4，所以AD ＝AC ，又由题图可知AC >AE ，根据正弦定
理可得d ＝
AC sin B ，e ＝AD sin B ，f ＝AE
sin B
，所以有e ＝d ＞f ，选D. 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－23
5
B.
23
5 C.45 D ．－45
解析：选D.sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒
32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32sin α＋12cos α＝－45.
7．(2015·东营市摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12， tan(β－α)＝－1
3
，则tan β
＝________．
解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝
tan （β－α）＋tan α
1－tan （β－α）·tan α
＝17
. 答案：17
8．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．
解析：由正弦定理，得S ＝1
2
×AB ×AC ×sin A ＝103，
所以sin A ＝2035×8＝32.因为A ∈(0，π2)，所以A ＝π
3
.
由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ×AC ×cos A
＝25＋64－2×5×8×cos π
3
＝49，所以BC ＝7.
答案：7
9．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________．
解析：如图，由题意知AB ＝24×15
60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°
－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知
BS
sin 30°
＝
AB
sin 45°
，所以BS ＝
AB ·sin 30°
sin 45°
＝3 2.
答案：3 2 km
10．(2015·江西省八所中学联考) 如图，
圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213
，－513，∠AOC ＝α.若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________． 解析：由题意得OB ＝BC ＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，所以3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32
cos
α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.
答案：5
13
11．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12
c 2
. (1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解：(1)由b 2－a 2
＝12
c 2及正弦定理得
sin 2
B －12＝12
sin 2C ，
所以－cos 2B ＝sin 2
C .
又由A ＝π4，即B ＋C ＝3
4
π，得
－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得
sin C ＝255，cos C ＝5
5
.
因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ， 所以sin B ＝310
10
.
由正弦定理得c ＝22b
3
，
又因为A ＝π4，1
2bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.
12．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－72
10
.
(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．
解：(1)因为tan α＝2，所以sin α
cos α
＝2，即sin α＝2cos α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2
α＝15.
所以cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝－35
.
(2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
又cos 2α＝－35<0，故2α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin 2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×210＝－22
. 又2α－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 13．(2015·山东省五校联考)已知函数f (x )＝2cos 2
x －sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －7π6.
(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；
(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝3
2
，b ＋c ＝2.求实数a
的取值范围．
解：(1)f (x )＝2cos 2
x －sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －7π6
＝(1＋cos 2x )－⎝
⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋
32sin 2x ＋1
2
cos 2x ＝1＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最大值为2.
当且仅当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到． 所以函数取最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π
6，
}k ∈Z .
(2)由题意，f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，
化简得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. 因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，13π6，
所以2A ＋π6＝5π
6，
所以A ＝π
3
.
在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3
＝(b ＋c )2
－3bc .
由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b ＋c 22＝1，即a 2
≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c ＞a 得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2)．
14. 海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶有一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设游船匀速行驶)
(1)求该船行驶的速度(单位：米/分钟)； (2)又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝10， 则BC ＝103米．
在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝10，则BD ＝10米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，
则CD ＝BD 2＋BC 2
＝20米．
所以速度v ＝CD
1
＝20米/分钟．
(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，
所以∠CBE ＝105°，所以∠CEB ＝45°.
在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BC
sin 45°
，
所以EB ＝BC sin 30°
sin 45°
＝56米．。