1理论力学 (20)

相平面法是一种直观的几何方法,它适用于描相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于描述系统的一维运动. 以位置、速度为坐标建立坐标系,通常称此坐标平面为相平面(广义相平面).相系, 通常称此坐标平面为相平面(广义相平面).相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点.相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道(简称轨线), 这种图形也称相图. 1.相轨道方程&&&=自治系统),(x x f x
't x x x
&&&=非自治系统),,(f ⎧=y x &⎩⎨=),(y x f y &
y
y x f y ),(d
=x d
相轨道方程
2.轨线的作法
对保守系统, 可
利用势能曲线作
相图.
⎧&⎪⎨=V y x d &⎪⎩
−==x y x f y d ),(1能量守恒E x V y =+)(2
2单位质量的动能
))((2x V E y x −±==&例题1E kx x m =+22211&
2
&1222222
=⎛+⎛x x ⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝⎟⎠
⎞⎜⎜⎝k E m E 例题2⎧=x d ⎪⎪⎨y t d ⎪⎪⎩−−=x y t y 202d d ωβ
3轨线的普遍性质3.轨线的普遍性质
（1）对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线,则系统做周期运动.若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.
（2）轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定,上半部向右，下半部向左.位置确定, 上半部向右，下半部向左. （3）是相点运动速度矢量的两个分量.对于),(y x
&&v r 保守系统
⎧=x
&⎪⎨−==V y x f y y d ),(
&⎪⎩
x d ∂∂y x &&r
r 0div =∂+∂=⋅∇=y
x v
v
⎧阻尼振动⎪⎪=y t x d d div −=∂∂=y x &&r ⎪⎪⎨−−=x y y 202d ωββ2∂+∂y
x v ⎩t d 4.奇点及其附近的轨线
在相平面上,满足的点称为奇点,对
0,0==y x &&在相平面上, 满足的点称为奇点, 对此点有即相轨道方向是不确定的.
,00d d =x y 从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.
衡态,故又称不动点.对于保守系统, 奇点有3种类型,分别与势能曲线的极大点、极小点和拐点3种情况对应.常见的是中心和鞍点.
中心鞍点。