福建省福州第三中学高考数学的三角函数与解三角形多选题含答案

福建省福州第三中学高考数学的三角函数与解三角形多选题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14
B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确； C 项：因为π3C =
，所以3
sin C =， 由正弦定理得274212sin 33
c R C =
==
，221
R =，C 错误； D 项：由余弦定理得2227
cos 214
2427a c b B ac +-===
⨯⨯， 在BCD △中4BC =，7BD =
，
由余弦定理得27
cos 14247
B ==
⨯⨯，解得19CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的一个周期为5
6
B ．函数()f x 的图像关于点
4
,03
成中心对称
C ．函数()f x 在11,26⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．圆C 的面积为
3136
π
【答案】BD 【分析】
根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项
的正误. 【详解】
由图知：1(,0)3
C ，(0,)2M ，2(,)32
N ， ∴()f x 中
111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；圆的半径r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.
3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，
2
2
413AB AC AD DB AD DB AD DB →
→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确； 对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-，
解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误；
对于D ，2222213cos 4442
c c BAD c c c +-+∠==≥=
（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，
所以(0,)2
BAD π
∠∈，又cos 2
BAD ∠≥
，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．
A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭
+
+ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3
x =- C ．5π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π
12
个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】
首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23
x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后
的解析式. 【详解】
由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，
当3
x π
=
时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244
ππωω⨯=⇒=， 当3
x π
=时，322,3
2k k Z π
πϕπ⨯
+=
+∈，解得：526
k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56π
ϕ∴=
，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，故A 正确； B.当23x π=-
时，252362π
π
π⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭
，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-
时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移
12
π
个单位后，再向下平移2个单位后，得
()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤
⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，函数是奇函数，故D 正
确.
故选：ABD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．
5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的周期为π
B ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512
x π
=-对称 D ．该图象向右平移6
π
个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】
先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；
对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-
⎫
⎪
⎝⎭
，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】
由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫
=-=∴==
⎪⎝⎭
；
由=2sin 2212122f ππϕπ
ϕ⎧⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩
解得：3πϕ=
故函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
对于A ：4312T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-
≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上不单调.
对于C ：当512x π=-
时255s 21212
32in f ππ
π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪
⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；
对于D ：()y f x =向右平移6π
个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝
⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
6．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称
B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]
1,2- 【答案】BC 【分析】
利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在
[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，因为06f π⎛⎫-
= ⎪
⎝⎭
，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫
-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，故A 错误；
对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
27,636x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确；
()()()
cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()
cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()()min
01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
当,2x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
时，()max 2f x f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭()
()min
1f x f π==-.
所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；
对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[]
,a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式；
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称
C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点
【答案】ABD 【分析】
借助于()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T π
ω
=
求周期；
对于B ：利用图像观察，也可以根据()26
f π
=判断；
对于C ：利用图像观察，也可以根据()13
f π
=否定结论；
对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】
对于A ：函数()y f x =的周期222
T π
π
πω
==
=故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 226
6
6f π
π
π⎛⎫
=⨯
+
= ⎪⎝
⎭，∴()f x 的图像关于直线6
x π
=对称，故B 正确；
对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13
3
66
f π
π
ππ⎛⎫
⎛⎫
=⨯
+
== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令
()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间
(0,)π上有两个零点，故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：
（1）画出图像，利用图像分析性质；
（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6
π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω可以为1
2
D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】
根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】
A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭的初相为6
π
-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，
236
2
k πωπ
π
π-≤
+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则
02ω<≤，正确；
C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以
1
2,3
k k Z ω=+∈
故ω不可以为
1
2
，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫
+=+- ⎪⎝
⎭
是偶函数，则,6
2
k k Z π
π
ωπ-
=
+∈，所以2,3
k k Z π
ωπ=
+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】
掌握三角函数图象与性质是解题的关键.
9．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >
B ．若2
C π
>，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤
【答案】ABC
【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.
【详解】
A.
A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02A π
<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭
，即22A B A B π
π
->⇒+<，即2C π
>，则ABC 为钝角三角形，若2A π
>，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π
=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A ．tan ϕ=
B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6
π
C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移
2
π个单位得到 【答案】ABC
【分析】
首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.
【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以
11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6
π=ϕ；
对于A ，tan tan 63
π
ϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为
6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛
⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6
π个单位得到，故D 错误. 故选：ABC .
【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。