数学高二-选修2试题 空间向量运算的坐标表示

3.3 空间向量运算的坐标表示
课后作业提升
1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则()
A.=(-1,2,1)
B.=(1,3,4)
C.=(2,1,3)
D.=(-2,-1,-3)
解析:=(1,3,4)-(-1,2,1)=(2,1,3),故选C.
答案:C
2.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为()
A.(1,3,2)
B.(-1,-3,2)
C.(-1,3,-2)
D.(1,-3,-2)
答案:C
3.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:|a|2=x2+9=25,解方程,得x=±4,故x=4是|a|=5的充分不必要条件,选A.
答案:A
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且k a+b与2a-b互相垂直,则k的值是()
A.1
B.
C.
D.
解析:k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),
所以3(k-1)+2k-2×2=0,
所以k=.
答案:D
5.若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=z b,则c=(x,y,z)=.
解析:由a=z b,得所以
答案:
6.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),+λ的夹角为120°,则λ的值为.
答案:-
7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求点D的坐标.
(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),
=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因为,
所以
解得即D(-1,1,2).
(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2),
假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有
(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.
8.在长方体OAEB-O1A1E1B1中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点P在棱AA1上,且|AP|=2|PA1|,点S 在棱BB1上,且|SB1|=2|BS|,点Q,R分别是棱O1B1,AE的中点.
求证:PQ∥RS.
分析:利用向量证明PQ∥RS,只需建立适当的坐标系,表示出的坐标,然后利用共线向量定理判定向量共线,从而得到直线平行.
证明:如图,建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2).
因为|AP|=2|PA1|,|SB1|=2|BS|,Q,R分别是棱O1B1,AE的中点,所以P,Q(0,2,2),R(3,2,0),S. 所以.
所以.
因为R∉PQ,所以PQ∥RS.。