中考补充专题17

专题17.四点共圆
一．知识点:
1.四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2.四点共圆的判定
判定：（1）共斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆；（2）对角互补的四边形四个顶点共圆；（3）外角等于内对角的四边形四个顶点共圆；（4）共底边且在同侧的两个三角形顶角相等。

3.构造辅助圆的基本思路：①共顶点，等线段想辅助圆（圆的定义）；②不共线的三点确定一个圆（即作这个三角形的外接圆）；③利用四点共圆的判定作辅助圆。

二．典型例题
1．已知OA=OB=OC=2，且∠ACB=45°，则AB 的长为（ ）
A.2
B.3
C.22
D.32
2．如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到△A EF '，则A C '的长的最小值是 .
3.如图所示，矩形ABCD 的边AB=3，Rt △BEF 的直角
顶点E 在对角线AC 上，另一顶点F 在边CD 上，若△BEF 的一个锐角为30°，则BC 的长是（ ） A.3 B.33 C.333或 D.6
4.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 上一点，AE ⊥EF 交∠BCD 的外角平分线于F ，求证：AE=EF.
三．变式练习
1.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，
AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠
AOC＝40°，P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP ＝10°，则∠BOD的度数为（）．
A.20°
B.30°
C.25°
D.15°
3.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P 为正方形内一点，且∠OPB＝45°，P A：PB＝5：14．则PB的长为（）．
A.42cm
B.40cm
C.35cm
D.50cm
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上
一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（）
A ．
B ．
B ．
D ．
5.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，
P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD 于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）
A．变大B．先变大后变小
C．先变小后变大D．不变
6．如图，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，30
A
∠=︒，43
AC=，BC的中点为D，将ABC
∆绕点C顺时针旋转任意一个角度得到FEC
∆，EF的中点为G，连接DG在旋转过程中，DG的最大值是．
7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，60
A
∠=︒，M 是边AD的中点，N是AB上一动点（不与A、B重合），将AMN
∆沿MN所在直线翻折得到△
1
A MN，
连接
1
A C，画出点N从A到B的过程中
1
A的运动轨
迹，
1
A C的最小值为．。