上海市浦东新区2019-2020学年高考数学调研试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）
A ．12P P <
B ．12P P >
C ．12P P =
D ．大小关系不能确定
2．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．
2
π B ．
3
π C ．
512
π D ．
712
π 3．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 4．已知函数2ln(2),1,
()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．[0,1]
C ．[1,)+∞
D ．[0,2]
5．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8
6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A 10
B ．23
C ．3
D ．4
7．斜率为1的直线l 与椭圆2
2x y 14
+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )
A ．2
B ．
45
5
C ．
410
5
D ．
810
5
8．函数
的图象可能是下列哪一个？（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
10．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角
或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，2
00x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}
1A x x =>，
{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知ABC 是边长为3的正三角形，若1
3
BD BC =，则AD BC ⋅=
A ．32
- B ．
152 C ．
32
D ．152
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22
1412
x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，
则实数p 的值为___________. 14．若正实数，，满足
，则
的最大值是__________．
15．棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为______.
16．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答)
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？
男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 不喜欢阅读中国古典文学 总计
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()E ξ
附表及公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++. ()20P K k ≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．已知函数()()2
cos f x ax x a R =+∈ （1）当1
2
a =
时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立；
（
2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围. 19．（6分）已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =+. （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，O 是原点，且2OAB
S =，求实数k 的值.
20．（6分）如图，在AOB 中，已知2
AOB π
∠=
，6
∠=
BAO π
，4AB =，D 为线段AB 的中点，AOC
△是由AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.
（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23
π
θ=
时，求二面角--B OD C 的余弦值. 21．（6分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈满足关系式233n n S a =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的通项公式是332
1
log log n n n b a a +=
⋅，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有
34
n T <
. 22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1P -，直线l 的参数方程为(1x tcos t y tsin α
α
=⎧⎨
=-+⎩为参数），以
坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos28sin ρρθθ+=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,,A B M 是线段AB 的中点，当40
9
PM =时，求sin α的值． 23．（8分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：
(
)40
cos sin 1x x dx π
-=
⎰，
于是此点取自阴影部分的概率为)
()14141.41122 3.22
P ππ-=⨯=>=． 又211
12
P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 2．C 【解析】 【分析】
由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a 的最大值． 【详解】
解：把函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π
个单位长度得到函数()sin(2)3
g x x π=-的图象， 若函数()g x 在区间[0，]a 上单调递增， 在区间[0，]a 上，2[3
3x π
π
-∈-
，2]3
a π
-，
则当a 最大时，23
2
a ππ-=
，求得512
a π
=
， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 3．C
依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】
解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3
ϕ=
，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
由()0f x ax a -+恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案. 【详解】 因为2
ln(2),1,
()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨
->⎩由()(1)f x a x -恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a 的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =图象相切于(1,0)
时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '
==-=，故02a .
故选：D
【点睛】
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题. 5．B
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为51
0.5102
==. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【详解】
因为3(21)ai b a i +=--，所以3,
(21),b a a =⎧⎨
--=⎩
，
解得3,
31,b a =⎧⎨=⎩
则|3|13a bi i +=+==故选：A. 【点睛】
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值． 【详解】
解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入2
4
x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0，
由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．
弦长|AB|＝≤
．
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
8．A
【解析】
【分析】
由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从
而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得
，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
9．B
【解析】
【分析】
计算抛物线的交点为
1
0,
8
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，代入计算得到答案.
【详解】
2
2
y x
=可化为21 2
x y
=，焦点坐标为
1
0,
8
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，故
1
2
m=-.
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
10．B
【解析】
因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B 满足函数定义，故符合；
对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ． 11．B 【解析】 【分析】 ①利用p ∧
q 真假表来判断，②考虑内角为90
，③利用特称命题的否定是全称命题判断，
④利用集合间的包含关系判断. 【详解】
若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；
由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 12．A 【解析】 【分析】 【详解】
由1
3BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以
221113
()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
3
2
【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可． 【详解】
解：双曲线221412
x y -=的右准线24
14a x c ===，渐近线y =，
双曲线22
1412
x y -=的右准线与渐近线的交点(1,3)±，
交点在抛物线2
2y px =上， 可得：32p =，
解得32p =． 故答案为3
2
．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 14．
【解析】 【分析】 【详解】
分析：将题中的式子进行整理，将
当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求
分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.
详解：，当且仅当
等号成立，故答案是.
点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果. 15326
a -
【解析】 【分析】
由棱长为a 的正四面体ABCD 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥E BCD -的高及侧棱长，可得正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积
1
3
V S R =⋅'表面积，求出内切圆的半径．
【详解】 由题意可知：
多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球
作AE ⊥面BCD 交于F ，连接CF ，如图
则233
323
CF a =
=，且AE 为外接球的直径，可得 222236(
)33
AF AC CF a a a =-=-=，
设三角形BCD 的外接圆的半径为r ，则
2sin 603BC r =
=
︒，解得
3
r = 设外接球的半径为R ，则222
()R r AF R =+-可得222AF R r AF =+， 即22
662
39
a a a R =+
，解得6R =， 设正三棱锥E BCD -的高为h ， 因为622AE R a ==
，所以666
2)236
h EF R AF a a ==-=-=， 所以22112
632
BE CE DE EF CF a a ===+=
+=， 而BD BC CD a ===，
所以正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两相互垂直， 所以22232331
()33()2]E BCD BCD BDE S S S a -∆∆+=+=+⋅⋅=⋅表面积， 设内切球的半径为R '，11
()33
E BDC BCD E BCD V S E
F S R -∆-=⋅=⋅⋅'表面积， 即
2213613333a a a R +'=解得：326
R -'=． 326
-.
【点睛】
本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解
时注意借助几何体的直观图进行分析. 16．1． 【解析】
试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1． 考点：排列、组合及简单计数问题．
点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析，没有（2）见解析，17
6
【解析】 【分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】 （1）
2
2
120(42183030)0.208 3.84172487248
K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯
所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则
m n ξ=+.且2,3,4ξ=
1211222132
431
(2)(1,1)3
C C C C P P m n C C ξ======； 2111122
22212223232
43431
(3)(2,1)(1,2)2
C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=；
2222232
4131
(4)(2,2)6
C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为
则11117
()2343266
E ξ=⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析（2）1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】 （1）根据()2
1cos 2
=
+f x x x ，求导()' f x x sinx =-，令()h x x sinx =-，用导数法求其最小值. ()2设()()'2,g x f x ax sinx ==-研究在0
x =处左正右负，求导()'2.g x a cosx =-，分1
2
a ≥ 12a ≤-，11
22
a -<<，三种情况讨论求解.
【详解】 （1）因为()2
1cos 2
=
+f x x x ， 所以()' f x x sinx =-，
令()h x x sinx =-，则()'10h x cosx =-≥， 所以()h x 是[0,)+∞的增函数， 故()()00h x h ≥=， 即()'0f x ≥.
()2因为()()'2,g x f x ax sinx ==-
所以()'2.g x a cosx =-， ①当1
2
a ≥
时，()'10g x cosx ≥-≥， 所以函数()'f x 在R 上单调递增.
若0x >，则()()''00;f x f >= 若0x <，则()()''00,f x f <=
所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极小值，不符合题意， ②当1
2
a ≤-
时，()'10,g x cosx ≤--≤ 所以函数()'f x 在R 上单调递减. 若0x >，则()()''00,f x f <= 若0x <，则()()''00;f x f >=
所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，单调递增区间是(,0)-∞， 所以()f x 在0x =处取得极大值，符合题意. ③当11
22
a -
<<时，()00,x π∃∈，使得02cosx a =， 即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >即()'0,g x < 所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，
所以()()''00f x f <=，即函数()f x )在()00,x 上单调递减，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
19．（1）(1)( 1.1)-⋃-⋃；（2）0k =或k =. 【解析】 【分析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，由（1）可得12,x x 关系，再由直线l 过点(0,1)，可得121
2
OAB
S x x =
-=，进而建立关于k 的方程，求解即可. 【详解】
（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，
则方程组22
1
1
y kx x y =+⎧⎨
-=⎩有两个不同的实数根， 整理得()2
2
1220k
x
kx ---=，
()
2
22
104810k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩
，
解得k <<
1k ≠±.
双曲线C 与直线l 有两个不同交点时， k
的取值范围是(1)( 1.1)-⋃-⋃.
（2）设交点()11,,A x y ()22,B x y ，直线l 与y 轴交于点(0,1)D ，
1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-∴⎨-⎪⋅=
⎪-⎩
，121
2
OAB
S
x x =
-=(
)
2
2
12x x ∴-=，即2
22
28811k k k
-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭， 整理得42230k k -=，解得0k =或2
32
k =
0k ∴=
或k =
又2k -<< 0k
∴=或2
k =±
时，
AOB . 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 20． (1) 2
π
θ=
;(2)【解析】 【分析】
(1)平面COD ⊥平面AOB ,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 【详解】
(1) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴,,OB OA 所在的直线分别为y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,23),(0,2,0),3),(2sin ,2cos ,0)A B D C θθ
，设1(,,)n x y z =为平面COD 的一个法向量,由1100n OD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得sin cos 0
30x y y z θθ+=⎧⎪⎨
+=⎪
⎩ ,取sin z θ=,则1(3cos ,3sin ,sin )n θθθ=-
因为平面AOB 的一个法向量为2(1,0,0)n =由平面COD ⊥平面AOB ，得120n n ⋅=30θ=即
2
π
θ=
.
(2) 设二面角--B OD C 的大小为α，当2,3
π
θ=
平面COD 的一个法向量为1222333(3cos
,3,sin )=(-)
3332n πππ=-1212
3
52cos 393
444n n n n α⋅===++‖, 综上,二面角--B OD C 的余弦值为5
5
-. 【点睛】
本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.
21．（1）3n
n a =（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据公式1n n n a S S -=-得到()132n n a a n -=≥，计算得到答案. （2）11122n b n n ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭=，根据裂项求和法计算得到111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
，得到证明. 【详解】
（1）由已知得()2n ≥时，()11233n n n n S S a a --=－－，故()132n n a a n -=≥. 故数列{}n a 为等比数列，且公比3q =. 又当1n =时，11233a a ，13a ∴=.3n n a ∴=.
（2）()33211log l 112og 122n n n b n n a a n n +=
==⋅+⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
.
12n n T b b b ∴=++
+1111111
112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎣=
⎭⎦
11113
122124
n n ⎛⎫=
+--< ⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22．（1）2
4x y =；（2）
4
5
. 【解析】 【分析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得． 【详解】
解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝8ρsinθ， ∴x 2+y 2+x 2﹣y 2＝8y ，即x 2＝4y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝4y ．
（2）联立直线l
的参数方程与x 2＝4y 得：（cosα）2t 2﹣4（sinα）t+4＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 由△＝16sin 2α﹣16cos 2α＞0，得sinα＞
2
， t 1+t 2＝
2
4sin cos a
a
，由|PM|＝1222sin 402cos 9t t a a +==， 所以20sin 2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝45
或sinα＝﹣5
4（舍去），
所以sinα＝4
5
． 【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23．（1）1n a n =-，2n
n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯
【解析】 【分析】
(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3
328b ==再根据等比数列的基本量求解即可. (2)由(1)可得1
(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【详解】 解：
（1）依题意12b =,3
328b ==,
设数列{}n b 的公比为q,由1
2
0n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得2
4q =,又0q >,则2q ,
故111222n n n
n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1
(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得121
22222
(1)2(1)212
n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,
即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n
n S n =+-⨯.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(,)a bi a b R +∈是11i
i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12
- C ．1
2 D ．1
2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i
i
+-互为共轭复数，则x y +=（ ）
A ．0
B ．3
C ．－1
D ．4
3．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛
⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的图象，为了得到
这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )
A ．向左平移3π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移6π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12
，纵坐标不变 D ．向左平移
6
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 4．已知集合{
}
{}
2
340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )
A ．()1,3-
B ．[]1,3-
C ．[]1,4-
D ．()1,4-
5．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为
A ．83
B ．43
C ．1
D ．2
6．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．1± 7．如图是计算11111++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤
8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d
=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P 6，则实数t 的值为（ ） A 5B ．52 C ．ln 222+ D ．ln 322
+ 10．过点6(26P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为
( )
A ．23-
B ．23
C ．23+或23-
D ．23-或31-
11．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住
B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%
D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%
12．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n
B ．若m//α，n//α，则m//n
C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β
D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在2()n x x
-的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n =_______，x 项的系数等于________.
14．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为__________．
15．过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．
16．已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m=__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --
. 18．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA 的垂线（当A 、
O 重合时，直线OA 约定为y 轴）
，垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值. 19．（6分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且过点()0,1A . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M.直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.
20．（6分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的短轴长为12e =，其右焦点为F . （1）求椭圆C 的方程；
（2）过F 作夹角为4
π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围. 21．（6分）已知函数()1f x x =-.
（1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>
⎪⎝⎭. 22．（8分）在极坐标系中，曲线C 的方程为()2cos sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为
x 轴建立直角坐标，直线l
的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值
23．（8分）已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1．
（1）证明：22a b +=．
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a+b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】 计算3121i i i
+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】 3121i i i
+=+-，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.
由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论.
【详解】
由图可知1,A =T π=，2ω∴=， 又2()6k k π
ωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+
∈z ， 又02π
φ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝⎭
， ∴为了得到这个函数的图象，
只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移
3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A
【点睛】
本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.
4．B
【解析】
【分析】
先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()
A B 即可.
【详解】
由2340x x -->得4x >或1x <-， ()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4A =-, 又{}13B x x =-≤≤，[]R (
)1,3A B ∴=-.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.
【详解】
由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2，所以该几何体的
体积1122132V =⨯⨯⨯=，故选C ． 6．C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】
因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，
所以20a ->且210a -=，解得1a =-.
故选：C
【点睛】
本题考查复数的基本定义，属基础题.
7．B
【解析】
【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】 因为该程序图是计算
11111246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，
即判断框内的不等式应为6k ≥或5k >
所以选C
【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
8．A
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d
=. 故选：A .
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
9．C
【解析】
【分析】
设(,)x P x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2
AP 的最小值． 【详解】
设(,)x P x e ，则222()x AP x t e =-+，记22()()x g x e x t =+-，
2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，
∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意02200()()6x g x e x t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，
∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 22
x =． ∴020ln 222
x t e x =+=+． 故选：C ．
【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】 利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=，求得直线l 的倾斜角为15，进而求得l 的斜率.
【详解】
曲线y 为圆22
13x y +=的上半部分，圆心为()0,0
设PQ 与曲线y =Q ，
则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225
375PA PO OQ -==
= 所以5,2PA AB ==， O 到弦AB 的距离为13123-=，23231sin 2
262OP APO ===⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=，所以直线l 的倾斜角为453015-=，斜率为
()tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30
-=-=
=-+⨯. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.
C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.
D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
【分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性.
【详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,
,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确；
B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．8 1
【解析】
【分析】
根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含x 项的系数即可.
【详解】
由于所有项的二项式系数之和为2256n =，8n =，
故2)n x
的二项展开式的通项公式为34218(2)r r r r T C x -+=⋅-⋅， 令3412
r -=，求得2r =，可得含x 项的系数等于284112C =， 故答案为：8；1．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题． 14．16.
【解析】
由题意可知抛物线2
:4C y x =的焦点():1,0F ，准线为1x =- 设直线1l 的解析式为()1y k x =-。