新高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学——函数
第三讲函数的单调性与最大（小）值
【教学目标】：
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。

【重点难点】：
1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，
2.难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

【教学过程】：用具：
一、知识导向或者情景引入
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
2（1）f(x)=x 从左至右图象上升还是下降______?
在区间____________上，随着x 的增 大，f(x)的值随着________． （2）f(x)=-2x+1 从左至右图象上升还是下降
______?
在区间____________上，随着x 的增
大，f(x)的值随着________． （3）f(x)=x 2 在区间____________上，f(x)的值随 着x 的增大而________． 在区间____________上，f(x)的值随
着x 的增大而________．
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasingfunction ）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； 作差f(x 1)－f(x 2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
4、判定函数单调性的常见方法
（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法 （2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

直接判定函数的单调性，可用到以下结论：
（）函数)()(x f y x f y =-=与函数的单调性相反 （）函数)(x y 恒为正或恒为负时，函数)()
(1
x f y x f y ==
与的单调性相反。

（）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等
提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

（二）典型例题
例1．（教材P 29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：见教材
例2．（教材P 29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：见教材 巩固练习：
证明函数x
x y 1
+=在（1，+∞）上为增函数。

例3．借助计算机作出函数y=－x 2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．
解：用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。

思考：画出反比例函数x
y 1
=的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象． 归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论 （三）函数的最大（小）值
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f
（2）32)(+-=x x f
]2,1[-∈x
（3）12)(2++=x x x f
（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x
（）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue ）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue ）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M ； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； （）典型例题
例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适
当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm 的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？
本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形） 例2．（新题讲解）
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%1020
55(⋅+
x
，于是得 y =150·)160(x -·)%1020
55(⋅+x
． 由于)%1020
55(⋅+
x
≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题． 将y 的两边同除以一个常数，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．
由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此
时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为%，最大住房总收入为（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例3．（教材P 31例4）求函数1
2
-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 三、 课堂练习
25
1、教材32页练习
2、提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h 和15km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇
和轮船之间的距离最短？
3、函数2x y -=的单调增区间为（A 、]0,(-∞B 、),0[+∞C 、,0(+∞
4、若2)(x R x f 是的大小关系是（世纪）
5、设函数)()1(),()(2a f a f x f 与上的减函数，则是++∞-∞的大小是（世纪）
6、函数x x y 22+-=在[1，2]上的最大值为（）（世纪） A 、1B 、2C 、-1D 、不存在
7、设)(,)(2x f q px x x f 若++=的最小值为0，则q 为（世纪）
8、证明函数），是（∞+∞-+=23)(x x f 上的增函数。

（世纪）
9、证明函数)1,0(1
)(在x
x x f +=上为减函数。

（世纪）
10、作出函数9696)(22++++-=x x x x x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间。

（世纪）
11、已知函数]4,(2)1(2)(2-∞+-+=在区间x a x x f 上是减函数，求实数a 的取值范围。

（世纪）
12、（易错题）已知)(x f 是定义在[-1，1]上的增函数，且x x f x f ，求)1()2(-<-的取值范围。

（世纪）
13、求函数1
)(-=x x
x f 在区间[2,5]上的最大值与最小值。

（世纪）
14、求二次函数76)(2+-=x x x f 在区间[-2，2]上的最大值和最小值。

（世纪） 四、作业
1、设),(),,(d c b a 都是函数)(x f 的单调增区间，且
)()(,),,(),,(212121x f x f x x d c x b a x 与则<∈∈的大
小关系是（D ）（世纪）
A 、)()(21x f x f <
B 、)()(21x f x f >
C 、)()(21x f x f =
D 、不能确定
2、（）已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（A ） A 、12()()f x f x > B 、12()()f x f x <
C 、12()()f x f x =
D 、1()f x 与2()f x 的大小不能确定
3、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （C ）
A B C D
A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2
＋1
C ．y =x
2
D ．y =2x 2
＋x ＋1
4、函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－
2)上是减函数， 则f (1)等于（D ） A ．－7 B ．1
C ．17
D ．25
5、函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （B ） A ．(3，8) B ．(－7，－2)
C ．(－2，3)
D ．(0，5)
6、已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，
b ]内（D ）
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
7、已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不
等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（D ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（A ）
A ．a ≤3
B ．a ≥－3
C ．a ≤5
D ．a ≥3
9、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是
增函数还是减函数？试证明你的结论．
解析：f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)=－x 13＋1，f (x 2)=－x 23＋1．
f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋
2
2x )2＋43x 22
］．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋
2
2x )2＋43x 22
＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．
∴函数f (x )=－x 3
＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
10、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，
求实数m 的取值范围．
解析：∵f (x )在(－2，2)上是减函数
∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )
∴⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232
1
3
1211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)
11、求函数x x y 22-=在[2，4)上的最值、值域。

（世纪）
12、f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (y
x
)=f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．
（2）若f (6)=1，解不等式f (x ＋3)－f (
x
1
)＜2． 解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6
36(==∴-=f f f f f
故原不等式为：),36()1
()3(f x
f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，
又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23153036
)3(00
103-<<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x 五、预习：函数的奇偶性 六、备用题
1、试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性． 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．
f (x 1)－f (x 2)=2
11x -－2
21x -=
2
2
2
12
22111)1()1(x x x x -+----=
2
2
2
1121211))((x x x x x x -+-+-
∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么
f (x 1)＞f (x 2)．
当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．
故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．
2、设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )
在0，＋∞)上为单调函数． 解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)=12
1+x －12
2+x －a (x 1－x 2)=
1
12
22
122
21+++-x x x x －a (x 1－x 2)
=(x 1－x 2)(
1
12
22
12
1++++x x x x －a )
(1)当a ≥1时，∵
1
12
2212
1++++x x x x ＜1，
又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=
2
12a a
-，满足f (x 1)=f (x 2)=1
∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注：①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中
1
12
22
12
1++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;1
22+x
＞x 2；
③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严
谨性的体现．
3、已知函数f (x )=x
a
x x ++22，x ∈［1，＋∞］（此题可用于做单元考题）
（1）当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值；
（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a =2
1
时，f (x )=x ＋
x
21
＋2，x ∈[1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋
11221
21x x x -
-=(x 2－x 1)＋2
1212x x x x -=(x 2－x 1)(1－
2
121
x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－
2
121
x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=2
7．
(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=x
a
x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成
立
设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故
a ＞－3．
4、函数)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，对任意的
1)()()(),,0(,-+=++∞∈y f x f y x f y x 都有
且5)4(=f 。

（1）求)2(f 的值；（2）解不等式3)2(≤-m f 。

（世纪）
5、已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设
F (x )=f (x )+
)
(1
x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

（此题可用于做单元考题） 解：这是抽象函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)=f (x 1)， ∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，
∴当x <10时0<f (x )<1,而当x >10时f (x )>1; ① 若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ② ∴0<f (x 1)f (x 2)<1, ∴)
()(1
121x f x f -
<0,
∴F (x 2)<F (x 1)；
②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1, ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)
()(1121x f x f -
>0, ∴F (x 2)>F (x 1)；
综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。

点评：该题属于判断抽象函数的单调性。

抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。