安徽省合肥市第八中学2021年高一数学暑假作业（一）解析版

合肥八中2021高一数学暑假作业（一）
函数
一、知识梳理 1. 函数的单调性： (1)增函数与减函数
（2）函数的单调性
（3）函数的单调区间
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

（4）函数单调性的求法：
定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。

常用结论： 1）复合函数单调性的确定法则--同增异减。

2）函数)(x f y =与函数)(-x f y =的单调性相反。

3）若函数)(x f 恒正或恒负时，函数)(x f y =与函数)
(1
x f y =
的单调性相反。

4）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。

2. 函数的最大值与最小值
（1）对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数x
y 1
=。

如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。

（2）若函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，则)(x f 的最值必在区间端点处取得，即最大值是)()(b f a f 或，最小值是
)()(a f b f 或
3. 函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．
(3)若)(),()(),()(x f x f x f x f x f 则且=--=-既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即
,,0)(D x x f ∈=D 是关于原点对称的实数集。

(4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数． 二、例题分析
例1．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
()2f x x x =-+．
（1）求0x <时，函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围．
（3）解不等式()2f x x ≥+．
【答案】（1）2
()2f x x x =+；（2）(1,3]；（3）(],2-∞-
【详解】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=--+-=--
又()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--， 所以当0x <时，2
()2f x x x =+，
（2）作出函数()f x 的图像，如图所示：
要使()f x 在[1,2]a --上单调递增，结合()f x 的图象知21
21a a ->-⎧⎨
-≤⎩
，所以13a <≤，
所以a 的取值范围是(1,3].
（3）由（1）知222,0
()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，解不等式()2f x x ≥+，
等价于2022x x x x ≥⎧⎨-+≥+⎩或2022x x x x <⎧⎨+≥+⎩
，解得：∅或2x -≤
综上可知，不等式的解集为(],2-∞- 【点睛】
易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错
点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.
例2．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+对所有的正数x ､y 都成立，(2)1f =-，且当1x >，
()0f x <.（1）求(1)f 的值并判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性(不需要证明)；
（2）若关于x 的不等式(
)
2
()11f kx f x kx --+≥在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）(1)0f =；()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）2
03
k <≤.
【详解】（1）∵()()()f xy f x f y =+，取1,1x y ==得：(1)(1)(1)f f f =+；∵(1)0f =
()f x 在(0,)+∞上单调递减，设120x x <<，则
2
1
1x x >，21()0x f x <，
所以2221111
()()()()x x
f x f x f x f x x =⨯
=+1()f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减； （2）∵(2)1,()()()f f xy f x f y =-=+；
由()2()11f kx f x kx --+≥得()2
(2)1f kx f x kx ≥-+又()f x 在(0,)+∞上单调递减，∵2220
1021kx x kx kx x kx >⎧⎪-+>⎨⎪≤-+⎩
∵
1113k k x x k x x ⎧
⎪>⎪
⎪<+⎨⎪⎪⎛⎫
≤+⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，0x >时，12x x +≥，当且仅当1x =时等号成立，∵022
3k k k ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪≤⎩，∵2
03k <≤.
例3．已知函数()()2
2,2x
f x
g x x x b ==-++．
（1）若()()
10m
f x f x +
+≥对任意的[]0,3x ∈恒成立，求m 的取值范围； （2）若[]10,3x ∀∈，总[]20,3x ∃∈，使得()()12g x f x =，求b 的取值范围． 【答案】（1）[)2,-+∞；（2）[]4,7. 【详解】（1）令()[]21,8x
t f x ==∈，即10m
t t
+
+≥对任意的[]1,8t ∈恒成立， 即2m t t ≥--对任意的[]1,8t ∈恒成立，当1t =时，2t t --取得最大值2-，所以m 的取值范围是[)2,-+∞. （2）当[]0,3x ∈时，()()[]2
22113,1g x x x b x b b b =-++=--++∈-++，
当[]0,3x ∈时，()[]21,8x
f x =∈，
[]10,3x ∀∈，总[]20,3x ∃∈，使得()()12g x f x =，
即()y g x =在[]0,3上的值域为函数()y f x =在[]0,3上的值域的子集，
即18
31b b +≤⎧⎨
-+≥⎩
，解得47b ≤≤，所以b 的取值范围是[]4,7.
三、能力提升 1．函数1
()f x x a
=
+在[1,3]上单调，则实数a 的取值范围（ ） A ．(3,1)--
B ．(1,3)
C ．(,1)(3,)-∞+∞
D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞
【答案】D 因为函数1()f x x a =
+在(,)a -∞-和(,)a -+∞上单调递减，由题意，1
()f x x a
=+在[1,3]上单调，所以<1a -或3a ->，解得1a >-或3a <-，所以a 的取值范围为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞.故选：D 2．设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ） A ．()y f x =-
B ．()2
y xf x
=
C ．()y f x =--
D ．()()y f x f x =+-
【答案】B 对A ，()y f x =-中，()f x --与()f x 不一定相等，故不一定为奇函数，故A 错误；
对B ，()2
y xf x
=中，
()()2
2xf x f x ⎡⎤--=-⎣⎦
，所以函数为奇函数，故B 正确；
对C ，()y f x =--中，()f x -与()f x -不一定相等，故不一定为奇函数，故C 错误；
对D ，()()y f x f x =+-为偶函数，故D 错误.故选：B.
3．若120x x <<，则下列函数①()f x x =；①2()f x x =；①3()f x x =；①()f x =①1
()f x x
=
满足条件()()
()1212
21(
)02
2
f x f x x x f x x ++>>的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【详解】
只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有∵∵∵∵满足. 故选：D.
4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <-的解集为（ ）
A ．()0,e
B ．1,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．(10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 因为当0x >时，()2
f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以0x <时，()()()()2
2
f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦
，
所以()22,0
,0
x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+>⎩，作出函数图象：
所以函数()f x 是()+-∞∞，
上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <-，所以ln 10
x x <-⎧⎨
>⎩，即1
0x e <<，故选：C.
5．已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则
()2021f =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C 解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-， 因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-， 所以()()4f x f x +=，
当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==， 所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.
6．函数co 1()s x
x y e e x =-在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 设1
()co ()s x
x f e e
x x -
=， 则11()()()cos()cos ()x
x
x x
f x x e e x f x e
e ---=-=-=--
-， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ， 又当x =1时，1
1
1
(1)()cos10f e e -
=>，排除D.故选：B 7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称．以下关于()f x 的结论： ①()f x 是周期函数；①()f x 满足()()4f x f x =-；①()f x 在（0，2）上单调递减；
①()cos
2
x
f x π=是满足条件的一个函数．
其中所有正确的结论是（ ） A ．①①①① B ．①①①
C ．①①①
D ．①①
【答案】C 【分析】
对于∵，由已知得()()f x f x -=， ()()2f x f x +=-，由此可判断； 对于∵，由已知得()()4f x f x -=-，由此可判断；
对于∵，由函数关于y 轴对称，且函数()f x 关于(1,0)对称可判断；
对于∵，由()
()cos
()2
x f x f x π--==，()
2(2)cos
()2
x f x f x π--==-，由此可判断．
【详解】
解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．
对于∵，由于()()f x f x -=，函数的图象关于(1,0)对称，故()()2f x f x +=-， 所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，故∵正确；
对于∵，函数()f x 为偶函数，则()()4f x f x -=-，由于函数为偶函数，故满足()()4f x f x =-，故∵正确； 对于∵，令()cos
2
f x x π
=-，()f x 满足题意，但在(0,2)上单调递增，故∵错误；
对于∵，因为()
()cos
cos
()2
2
x x
f x f x ππ--===，()
22(2)cos
cos
cos ()2
22
x x x
f x f x ππππ---===-=-，
所以函数()cos
2
x
f x π=既关于y 轴对称，又关于(1,0)对称，故∵正确．故选：C ．
8．设二次函数()2
f x x ax b =++，若存在实数a ，对任意1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，使得不等式()f x x <成立，则实数b 的
取值范围是（ ）
A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．19,34⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】D 由题意，对于任意1,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，都有()f x x <成立，
所以1b x a x +
+<即11b x a x -<++<对于任意1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， 所以只需()1,,22b g x x x x ⎡⎤
=+
⎢⎣∈⎥⎦
的最大值与最小值的差小于2即可，
当4b ≥时，()g x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
则()()1113222122222g g b b b ⎛⎫
-=+--=-<
⎪
⎝⎭
，解得73b <，不合题意； 当14b ≤
时，()g x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 则()()1321222g g b ⎛⎫-=--<
⎪⎝⎭，所以1,341b ⎛⎤
⎥⎝-⎦
∈； 当
144b <<时，()g x
在12⎡⎢⎣
上单调递减，在⎤⎦上单调递增， 则(
)
2222112222b g g g g b ⎧
-=+-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，所以19,44b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
综上，19,34b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
.故选：D.
9．已知函数()2
2
()1a f x a a x
+=-+为幂函数，且为奇函数，则实数a 的值__________．
【答案】1因为函数()2
2
()1a f x a a x
+=-+为幂函数，
所以22
11,0,1a a a a a -+=∴-=∴=或0a =.
当0a =时，()2
f x x =为偶函数，不符合题意，所以舍去；
当1a =时，()3
f x x =为奇函数，符合题意.故答案为：1
10．已知二次函数()2
f x x bx c =++的图像经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是偶函数，则函数()f x 的解析式为___________.
【答案】()2
11f x x x =++∵12y f x ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭是偶函数，有11
()()22
f x f x -=--，
∵()f x 关于1
2x =-对称，即122
b -=-，故1b =，又图像经过点()1,13，
∵(1)13f =，可得11c =.故2()11f x x x =++.故答案为：()2
11f x x x =++
11．已知函数{}
2
()max 4,2,3f x x x x =-+-++，则()f x 的最小值为________
【答案】3在同一坐标系作出2
4,2,3y x y x y x =-+=-+=+的图象如下图：
根据取最大值函数
的定义可知()f x 的图象如下
图所示：
根据()f x 的图象可知，()f x 的
最小值在
24,2y x y x =-+=-+的一个交点处取到，
令242x x -+=-+，解得1x =-或2x =（舍），所以()()2
min 143f x =--+=，故答案为：3.
12．已知()24,1log ,2,
ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．
【答案】3-由题意，函数()2
4,1
log ,2ax x f x x x +≤⎧=⎨
≥⎩，可得()21f =，
要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足0
41a a ≤⎧⎨
+≥⎩
，解得30a -≤≤， 所以实数a 的最小值为3-．故答案为：3-． 13．已知幂函数2
242
()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．
（1）求m 的值；
（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．
（3）设2
()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞
（1）由幂函数的定义得：2
(1)1m -=，0m ⇒=或2m =， 当2m =时，2
()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.
（2）由（1）得：2
()f x x =，
当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，
当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--， 由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10
k k ≤⎧⎨≥⎩， 所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.
（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2
k x =， 要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：
或 即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0
k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.
所以实数k 的取值范围为：[]
[)1,02,-+∞
【点睛】
关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解p 是q 的必要不充
分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.
14．已知二次函数()()2
20f x ax x a =-> （1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；
（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．
【答案】（1）2；（2）[)8,+∞.
【分析】
由解析式可知()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a
=的二次函数； （1）分别在12a ≥和102a
<<两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果； （2）将问题转化为()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立，分别在
1t a ≤、11t a ≥+、112t t a <≤+和1112t t a
+<<+，根据()f x 单调性可得()()max min f x f x -，将()()max min f x f x -看做关于t 的函数，利用恒成立的思想可求得结果.
【详解】
由()f x 解析式知：()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a
=的二次函数， （1）当12a
≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上单调递减，
()()max 00f x f ∴==，不合题意； 当102a <<，即12a >时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()(){}max max 0,2f x f f ∴=，
又()00f =，()244f a =-，()f x 在[]0,2的最大值为4，
()()max 2444f x f a ∴==-=，解得：2a =；
综上所述：2a =.
（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥，
则()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立，
∵当1t a
≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=+-=+-≥， 当1t a
≥时，22y at a =+-单调递增， ()min 12222at a a a a a
∴+-=⋅+-=，2a ∴≥； ∵当11t a ≥+，即11t a
≤-时，()f x 在[],1t t +上单调递减， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=-+=--+≥， 当11t a
≤-时，22y at a =--+单调递减， ()min 122212at a a a a a ⎛⎫∴--+=---+= ⎪⎝⎭
，2a ∴≥； ∵当112t t a <≤+，即1112t a a -≤<时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，
()()()()()2max min 1111212f x f x f t f a t t a a ⎛⎫∴-=+-=+-++≥ ⎪⎝⎭
， 当1112t a a -≤<时，又0a >，11111122t a a
<+≤+<+， 令1m t =+，则212y am m a =-+在111,12a a ⎡⎫++⎪⎢⎣
⎭上单调递增， 2111112222a a a a
⎛⎫⎛⎫∴+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：8a ≥；
∵当1112t t a +
<<+，即11112t a a -<<-时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()()2max min 1122f x f x f t f at t a a ⎛⎫∴-=-=-+≥ ⎪⎝⎭
， 当11112t a a -<<-时，212y at t a =-+在1111,2a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 2111112222a a a a
⎛⎫⎛⎫∴---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：8a ≥；
综上所述：a 的取值范围为[)8,+∞.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。