【鲁教版】初三数学下期中试题及答案

一、选择题
1．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=2CE ，AB=12，则AD 的长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．5
D ．8
2．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC = B ．35
BC AB -=
C ．51
AC AB +=
D ．0.618AC AB ≈
3．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3
D ．4个
4．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．
结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）
A ．2：1
B ．3：2
C ．5：2
D ．9：4
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
6．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点
O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
7．已知点()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 在双曲线5
y x
=
上，当1230x x x <<<时，1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．132y y y <<
D ．231y y y <<
8．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=
3
x
的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．2
9．在反比例函数13m
y x
-=
图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，120x x <<，
12y y <，则m 的取值范围是（ ）
A ．13
m >
B ．1
3
m <
C ．13
m ≥
D ．13
m ≤
10．已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数y ＝﹣2
x
图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 1＞y 3＞y 2
D ．无法确定
11．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k
y x x
=
>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()1
0y x x
=
>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐变大
C ．逐渐变小
D ．先变大后变小
12．如图，双曲线k
y x
=
经过Rt BOC ∆斜边上的中点A ，且与BC 交于点D ，若BOD 6S ∆=，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点
P Q 、在DC 边上，且1
4
PQ DC =
．若8,10AB BC ＝＝
，则图中阴影部分的面积是_____________
14．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧
BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则
CD =_________________．AF =_________________．
15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点
E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．
16．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，则⊙O 半径是________．
17．如果反比例函数2
y x
=
的图象经过点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 且1230x x x <<<，请比较1y 、2y 、3y 的大小为__________．
18．在平面直角坐标系中，若直线2y x =-+与反比例函数k
y x
=
的图象有2个公共点，
则k 的取值范围是_________．
19．在反比例函数y ＝-2k 1
x
+图象上有三个点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3），若x 1<0<x 2<x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系为_______．（用“<”连接）
20．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴, 90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上.若2,AB =则k 的值为
_____．
三、解答题
21．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．
（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长； （2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅．
22．如图是一块三角形钢材ABC ，其中边60cm BC =，高40cm AD =，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少?
23．如图，直线y kx b =+y kx b =+与反比例函数12
y x
=
相交于A(2,)-m 、B(n,3)．
（1）连接OA 、OB ，求AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12
kx b x
>+的解集． 24．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝x+1
x
的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y ＝x+
1
x
的自变量x 的取值范围是 ． （2）如表列出了y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝ ，n ＝ ． （3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，请完成： ①当y ＝
5
2
时，x ＝ ； ②写出该函数的一条性质 ； ③若方程x+
1
x
＝t 有两个相等的实数根，则t 的值是 ． x … ﹣3
﹣2
﹣1
1
2- 13-
1
3
1
2
1 2 3 4 …
y …
103-
52- ﹣2
5
2-
103- m
5
2 2 52 n
17
4
…
25．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）和反比例函数()20m
y m x
=
≠的图象相交于点A （﹣
4，2），B （n ，﹣4）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式y 1＜y 2的解集．
26．如图，已知AB 为
O 直径，C 为O 外一点，（连结,AC BC 交O 于点F ，取弧
BF 的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH AB ⊥于H ，且满足BH BC BE AB ⋅=⋅．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若8,10CF BF ==，求AC 和EH 的长
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出AD=2
3
AB ，代入求出即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ，
∴
AD AE
AB AC =， ∵AE=2CE ，
∴
22
23AE CE AC EC EC ==+ 又AB=12，
∴AD=
2
3AB=8， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据黄金分割点的定义逐项排除即可． 【详解】
解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >， ∴2AC BC AB =⋅，
∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确； ∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，
∴0.618AC AB =
≈，则选项C 错误；选项D 正确；
1322
BC AB AC AB AB AB =-=-
=，则选项B 正确. 故选：C ． 【点睛】
本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．
3．C
解析：C 【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】
矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个
多边形是相似多边形．
4．B
解析：B
【分析】
连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AC＝AB；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断
AE BE
≠；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到CD CE
AC BC
=，然后利用等线段代换
即可判断④．
【详解】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，
∴AE BE
≠，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD CE
AC BC
=，
∴CE•AC=CD·BC ， ∴CE•AB=
12
BC·BC ， ∴2CE •AB ＝BC 2，故④正确． 故选B ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】
分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ， ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，
∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，
∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ，
∴2
2
99=64ADE FGH
S DE k S
GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故选D ．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
6．C
解析：C 【分析】
根据三角形中位线定理得到DE=1
2
BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】
∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴1
2
DE BC =
，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽，
∴2
DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC
214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】 根据反比例函数图象的性质可得双曲线5y x =
在一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，即可求解．
【详解】 解：双曲线5y x
=在一三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∵1230x x x <<<，
∴132y y y <<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象与性质，掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，根据反比例函数解析式求出A 的坐标、点B 的坐标，求出AH 、BH ，根据勾股定理求出AB ，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
如图，作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，
∵反比例函数y=3x
的图象经过A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标分别为1和3， ∴A 、B 两点的纵坐标分别为3和1，即点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（3，1）， ∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，=，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
，
∴菱形ABCD 的面积
，
故选A ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A 的坐标、点B 的坐标是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
根据反比例函数的图象与性质，可得该反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，从而可确定1-3m 的取值，进而求出m 的取值范围．
【详解】
解：∵120x x <<时，12y y <，
∴反比例函数图象位于第二、四象限，
∴1-3m ＜0， 解得：13m >
， 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y 1=12x -
，y 2=22x -，y 3=32x -，然后根据x 1＜0＜x 2＜x 3比较y 1，y 2，y 3的大小．
【详解】
点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是2y x =-
的图象上的点， ∴y 1=12x -，y 2=2
2x -，y 3=32x -， 而x 1＜0＜x 2＜x 3，
∴y 1＞y 3＞y 2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S
COF S = 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．
【详解】
∵点A 是函数(0k y x x =
>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，
∴矩形ACOB 的面积为k ，
∵点E 、F 在函数1y x =
的图象上， ∴BOE S COF S = 12
=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =-
-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】 设,k A x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，根据A 是OB 的中点，可得22,k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再根据BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x =上，可得2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据三角形面积公式列式求出k 的值即可． 【详解】 设,
k A x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ ∵A 是OB 的中点 ∴22,k B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∵BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x
=上
∴2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴BOD 112322222
k k S BD OC x k x x ∆⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ∵BOD 6S ∆=
∴3642
k =÷
= 故答案为：B ．
【点睛】 本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积
【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23
【分析】
连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．
【详解】
解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，AD BC =，
∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，
∴DM CN =，
∴四边形MNCD 是平行四边形，
∴//MN CD ，
∴OMN PQO ，
相似比是:4:1MN PQ =，
∴:4:1OE OF =， ∵152
EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQO
S =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 14．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC 的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD 的长然后连接OF 证明利用对应边成比例求出DE 和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长最终得到AF 的长
解析：325
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，求出BC 的长，再用等面积法求出AD 长，在Rt ACD △用勾股定理求出CD 的长，然后连接OF ，证明ADE FOE ，利用对应边成比例求出DE 和OE 的长，再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长，最终得到AF 的长．
【详解】
解：∵BC 是O 的直径，
∴90BAC ∠=︒，
∵6AB =，8AC =，
∴10BC =， 利用等面积法，求出245AB AC AD BC ⋅=
=，
在Rt ACD △中，325CD =
=， 如图，连接OF ，
∵F 是弧BC 的中点，
∴OF BC ⊥，
∵AD BC ⊥，
∴//OF AD ，
∴
ADE FOE ， ∴AD DE FO OE
=， ∵327555
DO CD OC =-=-=，
∴设DE x =，75OE x =-， ∴24575
5
x x =-，解得2435x =， ∴2435DE =，57
OE =， 在Rt ADE △中，22242AE AD DE =
+=， 在Rt EFO 中，22252EF EO FO =
+=， ∴2422527277
AF AE EF =+=+=．
故答案是：
325
；2． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
15．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】
解析：5
【分析】
首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到
AB AE CD CE
=，进而列方程求解即可．
【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，
22221068AC AB BC ∴-=-=，
∴设AE x =，则8CE x =-，
BD 平分ABC ∠，
ABD DBC ∴∠=∠，
又//AB CD ，
ABD BDC ∴∠=∠，
DBC BDC ∴∠=∠，
6BC CD ∴==，
//AB CD ，
∴~ABE CDE ∆∆，
AB AE CD CE ∴
= 1068x x
∴=- 解得5x =，
5AE ∴=
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．
16．【分析】连接EO 根据切线性质定理得OE ⊥AB 可得到△BEO ∽△BCA 根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O 分别与边ABAC 切于EC 连接OE 则OE ⊥ABBC ⊥AC ∴∠BEO=∠BCA 又 解析：103
【分析】
连接EO ，根据切线性质定理得OE ⊥AB ，可得到△BEO ∽△BCA ，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．
【详解】
解：∵⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，
连接OE ，则OE ⊥AB ，BC ⊥AC
∴∠BEO=∠BCA ，又∠B=∠B
∴△BEO ∽△BCA ∴=BO OE AB AC
又AC=5，BC=12，
∴，
设圆的半径为r ， ∴12r r =135
－
∴r=103 ∴圆的半径是
103 ， 故答案为：103
．
【点睛】
此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理．
17．【分析】根据题意和反比例函数的性质可以得到y1y2y3的大小关系从而可以解答本题【详解】解：∵反比例函数∴在每个象限内y 随x 的增大而减小当x ＜0时y ＜0当x ＞0时y ＞0∵反比例函数的图象经过点A （x
解析：213y y y << 【分析】
根据题意和反比例函数的性质，可以得到y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵反比例函数2y x
= ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y ＜0，当x ＞0时，y ＞0， ∵反比例函数2y x
=的图象经过点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），且1230x x x <<<，
∴213y y y <<，
故答案为：213y y y <<．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
18．且【分析】联立两函数解析式消去y 得到关于x 的一元二次方程由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点得到根的判别式大于0列出关于k 的
不等式求出不等式的解集即可得到k 的范围【详解】联立两解析式得：消去 解析：1k <且0k ≠
【分析】
联立两函数解析式，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点得到根的判别式大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围．
【详解】 联立两解析式得：2y x k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
， 消去y 得：220x x k -+=，
∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点，
∴24440b ac k =-=->，即1k <，
则当k 满足1k <且0k ≠时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点． 故答案为：1k <且0k ≠．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把两函数图象的交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键．
19．y2＜y3＜y1【分析】因为+1>0所以-（+1）<0此函数分布在二四象限在各象限y 随x 的增加而增大即可判断出y2＜y3＜y1【详解】∵+1>0∴-（+1）<0∴y ＝-图象在二四象限第二象限y 为正∴
解析：y 2＜y 3＜y 1
【分析】
因为2k +1>0，所以-（2k +1）<0，此函数分布在二，四象限，在各象限y 随x 的增加而增大，即可判断出y 2＜y 3＜y 1．
【详解】
∵2k +1>0，
∴-（2k +1）<0，
∴y ＝-2k 1x
+， 图象在二，四象限，第二象限y 为正，
∴1y 最大，第四象限内y 随x 增大而增大，所以2y 最小，因此y 2＜y 3＜y 1．
故答案为：y 2＜y 3＜y 1．
【点睛】
此题考查反比例函数图像和系数k 的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题．
20．4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值根据等面积法求
出OA 的值OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标又点C 在反比例函数图像上即可得出答案【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形AB=2∴BC=2解得
解析：4
【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值，根据等面积法求出OA 的值，OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标，又点C 在反比例函数图像上，即可得出答案.
【详解】
∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=2
∴BC=2
，AC ==1122
BC AB OA AC ⨯⨯=⨯⨯
112222
OA ⨯⨯=⨯⨯解得：
∴点C
的坐标为 又点C 在反比例函数图像上
∴4k ==
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C 的横坐标.
三、解答题
21．（1）BG=12,；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；
（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．
【详解】
(1)解：∵AD ∥BC ，
∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，
在△ADF 和△CGF 中
D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△CGF(AAS)，
∴AD=CG ，FG=FD ，
又∵AD ∥BC
∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA = 又BE ：AE=3：1，
∴BG=3AD ，
又AD=CG
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG ，
又∵∠AFE=∠GFC ，
∴△AFE ∽△GFC ，
EF AF FC FG
=， 又AF=CF ，DF=GF ，
即
EF CF CF FD
=， ∴FC 2=FE•FD ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．
22．24cm
【分析】
设正方形零件的边长为cm x ．则 c m EG EF x ==，由题意易得KD EG x ==，进而可得AEF ABC ∽，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：设正方形零件的边长为cm x ．则 c m EG EF x ==，
由题可知，四边形KEGD 是矩形，
∴KD EG x ==，
∵AD AK KD =+，40AD =，
∴40AK x =-，
∵AD BC ⊥，
∴90ADB ∠=︒，
∵四边形EGHF 为正方形，
∴//BC EF ，
∴90AKE ∠=︒，
∴AK EF ⊥，
∵//BC EF ，
∴
AEF ABC ∽， ∴EF AK BC AD
=， ∴406040x x -=， 解得24x =．即()24cm EG =，
答：正方形零件的边长为24cm ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（1）AOB 的面积是9；（2）2x <-或04x <<．
【分析】
（1）把()2,A m -、(,3)B n 代入解析式，求出m ，n 的值，可求得直线解析式，分别过点A ．B 向y 轴引垂线，垂足分别是E 、D ，即可得到BD ，AE ，即可得到结果；
（2）观察函数图象即可得到结果；
【详解】
（1）()2,A m -、(,3)B n 分别代入反比例函数12y x
=中得6m =-，4n =， ∴将(2,6)A --、(4,3)B 分别代入直线y kx b =+中得，
∴2643k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得32
3k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线解析式为332
y x =-，令0x =得3y =-， ∴(0,3)C -∴3OC =，分别过点A ．B 向y 轴引垂线，垂足分别是E 、D ，
∴4BD =，2AE =， ∴11S S S
922
AOB OBC OAC OC BD OC AE =+=⋅+⋅=． 答：AOB 的面积是9．
（2）由题可知，反比例函数在一次函数上方时满足，
∵(2,6)A --、(4,3)B ， ∴2x <-或04x <<．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 24．（1）x≠0；（2）103；103
；（3）画图见解析；（4）①x 1＝﹣2，x 2＝﹣12；②函数图象在第一、三象限且关于原点对称；③t<-2或t ＞2．
【分析】
（1）由x 在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x=
13
、3求出m 、n 的值； （3）连点成线，画出函数图象； （4）①代入y=52
，求出x 值； ②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象，找出当x+
1x =t 有两个相等的实数根时t 的取值范围（亦可用根的判别式去求解）．
【详解】
解：（1）∵x 在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当13x =时，1103
y x x =+=； 当x ＝3时，1103y x x =+
=．
故答案为：10
3
，
10
3
．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当
5
2
y=-时，有15
2
x
x
+=-，
解得：x1＝﹣2，x2＝
1
2 -，
经检验，x1＝﹣2，x2＝
1
2
-是原方程的根．
故答案为：-2，
1
2 -．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵
1
x t
x
+=有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2或t＞2．
故答案为：t=-2或t=2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例函数图象，数形结合解题的关键
25．(1) y＝﹣x﹣2，;(2) x＞2或﹣4＜x＜0
【分析】
将点A（﹣4，2）代入
2m
y
x
=，求反比例函数解析式，再求得B的坐标，将A与B两点坐标代入y1＝kx+b，即可求解；
（2）y1＜y2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可.
【详解】
（1）将点A（﹣4，2）代入
2m
y
x
=，∴m＝﹣8，
∴y ＝8
x -，
将B （n ，﹣4）代入y ＝
8x -，
∴n ＝2，
∴B （2，﹣4）， 将A （﹣4，2），B （2，﹣4）代入y 1＝kx +b ，
得到2442k b k b =-+⎧⎨-=+⎩
， ∴12k b =-⎧⎨=-⎩
， ∴y ＝﹣x ﹣2，
（2）由图象直接可得：x ＞2或﹣4＜x ＜0；
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）AC =；4EH =
【分析】
（1）根据条件可证明△EBH ∽△CBA ，推出90CAB EHB ∠=∠=︒即可．
（2）证明△AFC ∽△BFA ，可得AF 2=FC•FB ，求出AF ，再利用勾股定理求出AC ，证明EH=EF ，在Rt △BEH 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵BH BC BE AB ⋅=⋅， ∴BH BE BA BC
=， ∵EBH CBA ∠=∠，
∴EBH CBA ∽，
∴EHB CAB ∠=∠，
∵EH AB ⊥，
∴90EHB ∠=︒，
∴90CAB EHB ∠=∠=︒，
∴AC AB ⊥，
∴AC 是O 的切线．
（2）解：连接AF ．
∵AB 是直径，
∴90AFB AFC ∠=∠=︒，
∵90,90C CAF CAF FAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴C FAB ∠=∠，
∴AFC BFA ∽，
∴280AF FC FB =⋅=， ∴45AF = ∴22228(45)12,10(45)65AC AB =+==+=
∵DF BD =，
∴FAD DAB ∠=∠，
∵,EF AF EH AB ⊥⊥，
∴EF EH =，设EH EF x ==，
∵AE AE =，
∴()Rt AEF Rt AEH HL ≌， ∴5,25AF AH BH ===
在Rt EBH △中，∵222BE EH BH =+， ∴222(10)(25)x x -=+，
∴4x =，
∴4EH =．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角，切线的判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找相似三角形解决问题．。