初三几何2中点辅助线.中位线(2013-2014)教师

2014年中考解决方案
构造中位线
学生：×××
上课时间：2013.××.××
构造中位线
自检自查必考点
知识点一中点
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半
斜边中线判定：假设三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形
二、与中点有关的辅助线
秘籍一：倍长中线
解读：但凡出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而到达将条件进行转化的目的。

秘籍二：构造中位线
解读：但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。

秘籍三：构造三线合一
解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口
其他位置的也要能看出
秘籍四：构造斜边中线
解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

他位置的也要能看出
一、构造三角形中位线
☞考点说明：①但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似成效．
【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．
C
E
D
B
A C F
E D B
A
【答案】取AC 的中点F ，连结DF ，易得12DF AB =∥，AD F BAD AD F ==∠∠∠，而11
22
DE BD AB ==，
故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，得AE AF =．
【练1】如右以下图，在ABC ∆中，假设2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．
E D C
B A
【答案】如右以下图，则取AC 边中点F ，连结EF 、DF ．
由中位线可得，1
2
EF AB =且B CEF ∠=∠．DF 为Rt ADC ∆斜边上的中线，∴DF CF =．
∴CDF C ∠=∠，又∵DFE FDE CEF ∠+∠=∠，即2C DFE C ∠+∠=∠，
∴D FE ED F ∠=∠，∴1
2
DE EF AB ==
，∴2AB DE =． 中考总分值必做题
F
A
B D
E
C
【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：1
2
DE AC =
． C E D
B A M C
N E D B A
【考点】三角形的中位线，30°所对的直角边等于斜边的一半
【答案】取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．
从而得12BE BM AB ==，1
2
BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．
又因12MN AC =，故1
2
DE AC =．
【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1
2
AC BC =
，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．
E
D
C
B
A
【答案】过E 作EF BC ∥交BD 于F
135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒
∵45DFE DBC ∠=∠=︒ ∴135EFB ∠=︒
又∵EF BC ∥，12EF BC =，1
2
AC BC =
∴EF AC =，CE FB =
∴EFB ACE ∆∆≌ ∴CEA DBE ∠=∠ 又∵90DBE DEB ∠+∠=︒ ∴90DEB CEA ∠+∠=︒ 故90AEB ∠=︒
∴AE EB ⊥且AE BE =．
F A
B
C
E
D
【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD
于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．
M
N
F E
D
C
B A
【答案】设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，
容易证得1
2
GE BD =
∥，12GF AC =∥，
从而GF GE =，GEF GFE =∠∠， 所以 AMN BNM =∠∠．
【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．
G
B
C
D
E
F
M N A
【答案】取AB 中点H ，连接EH FH 、．
∵AE =ED AH =BH ，
∴1
2
EH BD EH =BD ∥，,
∴GNM HEF ∠=∠ ∵AH =BH BF =CF ，
∴1
2
FH AC FH =AC ∥，
∴GMN HFE ∠=∠ ∵AC <BD ∴FH <EH
∴<HEF HFE ∠∠ ∴GMN GNM ∠>∠
【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过
AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．
〔1〕如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、
HF ，求证： AMF BNE ∠=∠
〔2〕当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．
H
G
N
M
F
E D
C
B
A
C
M F
E
G
N
D B A
M
N A
B E
F D
C
(N )M F E
D
C
B
A
【答案】取AC 的中点H ，连结HE 、HF
∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点 ∴H F AD ∥，1
2
HF AD = ∴AM F H FE ∠=∠
同理，HE CB ∥，1
2
HE CB =
∴ENB HEF ∠=∠
∵AD BC = ∴HF HE =， ∴H EF H FE ∠=∠ ∴ENB AMF ∠=∠
【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：
BF EF =．
E
D
F
C
B
A
【答案】取AC 中点M ，AD 中点N ．连结MF 、NF 、MB 、NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及
中位线的性质有12MF AD NE =
=，1
2
NF AC MB ==，M F AD ∥，NF AC ∥， N
M
E
D
F C
B
A
∴DNF CAD CMF ∠=∠=∠，∵BM AM =，∴MBA CAB ∠=∠．
∴2BMC MBA CAB CAB ∠=∠+∠=∠．同理可证2DNE DAE ∠=∠． ∵BAC EAD ∠=∠，∴BMC END ∠=∠． ∴BMC CMF FND DNE ∠+∠=∠+∠，
即BMF ENF ∠=∠，∴MBF NFE ∆∆≌，∴BF EF =．
H
A
B E
C
D
M
N F
【练1】如下图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F
分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： 〔1〕DEM FDN ∆∆≌； 〔2〕PAE PBF ∠=∠．
N
M
P
D
C
B
A
【答案】〔1〕如下图，根据题意可知DM BN ∥且DM BN =，
DN AM ∥且DN AM =，
所以AMD APB DNB ∠=∠=∠．
而M 、N 分别是直角三角形AEP ∆、BFP ∆的斜边的中点， 所以EM AM DN ==，FN BN DM ==，
又已知DE DF =，
从而DEM FDN ∆∆≌．
〔2〕由(1)可知EMD DNF ∠=∠，
则由AMD DNB ∠=∠可得AME BNF ∠=∠． 而AM E ∆、BNF ∆均为等腰三角形， 所以PAE PBF ∠=∠．
【练2】已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中
点．求证：PM PN =
P
N M
C
B
A
【答案】取AB 中点Q AC ，中点R
连结PQ PR MQ NR ，，， 1
2
PQ AC PQ AC NR =
=∥， PR AB PR MQ ∥，＝ PQM PRN ∠∠＝ (两边分别垂直)
∴PQM NRP PM PN ∆∆≌，　＝
N
M
P
D
C
B
A
P
N M
Q
R
C
B A
【练3】如下图，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的
中点．
〔1〕求证MB MC =．
〔2〕设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．
E
M
D
C
B
A E
M D
C
B
A
【答案】〔1〕如下图，延长BM 交CE 于N ．
因为DM EM =，CE BD ∥， 故DBM ENM ∆∆≌， 则BM NM =， 从而1
2
MC BN MB =
=． 〔2〕结论是肯定的．
取AD 、AE 的中点F 、G ， 连接FB 、FM 、MG 、GC ．
由BF 、CG 是Rt ABD ∆、Rt ACE ∆斜边上的中线 可得12BF AD =
，1
2
CG AE =， 从而MF CG =，MG BF =．
又因为22CGE CAE BAD BFD ∠=∠=∠=∠，
MFD DAE MGE ∠=∠=∠，
故BFM MGC ∠=∠， 从而BFM MGC ∆∆≌， 故MB MC =．
【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.
连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
〔1〕如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；
〔2〕将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
N
E
M
D
C
B
A M
G
F
E
D
C
B
A
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N M E
D
C
B
A
【答案】〔1〕AM D E ⊥，1
2
AM DE =
; 〔2〕结论仍然成立。

证法一：如图，延长CA 至F ，使FA AC =，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．
∵DA BA EA AF ⊥⊥，
， ∴90BAF DAF EAD ∠=︒+∠=∠．
在FAB ∆与EAD ∆中，FA AE BAF EAD BA DA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
FAB EAD ∆∆≌.
∴BF DE F AEN =∠=∠，
. ∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=︒. ∴FB DE ⊥.
又CA AF =，CM MB =，∴AM FB ∥且12
AM FB = 1
2
AM DE AM DE ⊥=，．
【练1】〔1〕如图1，BD 、
CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()1
2
DE BC DE AB BC AC =++，
∥ 〔2〕如图2，BD CE 、
分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； 〔3〕如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变 则在图2、图3两种情况下，DE BC 、
还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给与证明．
图1
E
D
C B
A
图2
B
C E D
A
F A
B
C
D
E
图3
【解析】〔1〕如图1，证明略
F
P
N M
E
D
C
B A
〔2〕如图2，()1
2
DE BC DE AB AC BC =
+-，∥证明过程略 〔3〕 如图，()1
2
DE BC DE AC BC AB =
+-，∥证明过程略 H G
B
C D E 图1
H
G A
D
E
C
B
图2N
M F
A
B
C D
E
图3
【练2】已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．
Q
P
E
F M
N H
C
B
A
【点播】〔模型〕双垂直+角平分线=等腰三角形AEF ，可以让学生记住该模型
F
E D
B
A
【答案】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.
又因为CH AB ⊥，所以
9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠， 因此CQ NC =．
又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，
延长CF 交AB 于G ，延长CE 交AB 于H ． 可证明CBF GBF ∆∆≌,AEC AEH ∆∆≌． 所以F 和E 分别是CG 和CH ∆的中位线．
H
G Q P
E
F M
N
H
C
B
A
所以FE AB ∥．
【例5】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分
别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．
Q P R O D C
B A
【答案】连结BP 、CR ．
∵ABCD 是等腰梯形，
∴AD BC =，OA OB =，OC OD =．
∵60AOB ∠=︒，∴AOB ∆、COD ∠都是正三角形． ∵P 是OA 的中点，R 是OD 的中点，
∴BP OA ⊥，CR OD ⊥
∴PQ 、RQ 分别是直角三角形PBC ∆、RBC ∆斜边上的中线． ∴1
2PQ BC QR ==，∵PR 是ODA ∆的中位线，
∴11
22
PR AD BC ==
∴PQR ∆是正三角形．
再给一种思路：(其实方法很多) 取BO 的中点E ，连结PE 、EQ ． 证明POR PEQ ∆∆≌，再证结论．
【练1】AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1
3
AE AC =．
F
A D
E C
B
【答案】取EC 的中点G ，连接DG 易得DG BE ∥，
F 为AD 的中点，所以AE E
G =，从而可证得：1
3
AE AC =．
【例6】 如左以下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且
R C
D O
Q P
B
A
E
Q P R O
D
C
B
A
F
A D E
G
C
B
()1
2
EF AB CD =
-． F
E
C
D
B
A
【答案】如图，连结CF 并延长交AB 于N
∵CD AB ∥，∴DCN BNC ∠=∠ ∵DFC BFN ∠=∠，DF BF = ∴DFC BFN ∆∆≌ ∴CF FN =，CD NB = ∵CE EA =
∴EF AN ∥，1
2EF AN =
∴EF AB ∥，1
()2
EF AB CD =-
【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题〔原问题〕和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，
90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且DA DB =，EB EC =，
90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。

小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=︒，60ADB BEC ∠=∠=︒ 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： 〔1〕写出原问题中DF 与EF 的数量关系
〔2〕如图2，假设30ABC ∠=︒，60ADB BED ∠=∠=︒，原问题中的其他条件不变，你在〔1〕中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
〔3〕如图3，假设2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在〔1〕中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

图1
F
E
D
C
B
A
图2
F
E
D
C
B
A
图3
F
E
D
C
B
A
【答案】〔1〕DF EF =
〔2〕猜想：DF EF =
N
A
B
C
D
E
F
证明：过点D 作DG AB ⊥于G ，则90DGB ∠=︒，∵60DA DB ADB =∠=︒，
∴AG BG DBA =∆，
是等边三角形 ∴DA BA =，∵9030AGB ABC ∠=︒∠=︒，
∴1
2
AC AB BC ==，∴DBG BAC ∆∆≌
∴DG BC =，∵60BE EC BEC =∠=︒，
∴EBC ∆是等边三角形，∴60BC BE CBE =∠=︒， ∴90DG BE ABE ABC CBE =∠=∠+∠=︒，
∵DFG EFB DGF EBF ∠=∠∠=∠，，∴DFG EFB ∆∆≌，∴DF EF =
(3)猜想：DF FE =
证法一：过点D 作DH AB ⊥于H ，
连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，
则90DHB ∠=︒，∵DA DB =，∴1AH BH HDB =∠=∠， ∵90ACB ∠=︒，∴HC HB =
∵EB EC HE HE ==，
，∴HBE HCE ∆∆≌ ∴234BEH ∠=∠∠=∠，
∴HK BC ⊥，∴90BKE ∠=︒ ∵2ADB BEC ABC ∠=∠=∠ ∴HDB BEH ABC ∠=∠=∠
∴90DBC DBH ABC DBH HDB ∠=∠+∠=∠+∠=︒
90EBH EBK ABC EBK BEK ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DB HE DH BE ∥，
∥ ∴四边形DHEB 是平行四边形，∴DF EF =
证法二：分别过点D ，E 作DH AB ⊥于H ，EK BC ⊥于K ，连接HK 则90DHB EKB EKC ∠=∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴EK AC ∥ ∵12DA DB HDB CK BK BEK =∠=∠=∠=∠，
，，，∵HK AC ∥ ∴点H K E ，
，在同一条直线上
【例7】 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠. 连接AD BC 、
、，点M 、N 、P 分别为AO 、DO 、BC 的中点.
〔1〕如图1，假设A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠， 则PMN △的形状是________________，此时
AD
BC
=________； 〔2〕如图2，假设A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN △∽BAO △， 并计算
AD
BC
的值〔用含α的式子表示〕； 〔3〕在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
〔10年海淀一模〕
中考真题拔高
K 2
3
1
H 4
F
E
D
C
B
A
G
F E D
C
B
A
N
P
O
M D
C
B
A
O
P
N
M D
C
B
A
图1 图2
【答案】〔1〕等边三角形，1； 〔2〕证明：连接BM 、CN .
由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥,α-︒=∠=∠90COD AOB . ∵ A 、O 、C 三点在同一直线上， ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上. ∴ 90BMC CNB ==∠∠. ∵ P 为BC 中点，
∴ 在Rt △BMC 中，BC PM 21
=.
在Rt △BNC 中，BC PN 2
1
=. ∴ PN PM =.
∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，1
2
BC 为半径的圆上.
∴ 2MPN MBN =∠∠.
又∵ α=∠=∠ABO MBN 2
1
，∴ MPN ABO =∠∠.
∴ PMN BAO △∽△. ∴
BA
AO
PM MN =. 由题意，12MN AD =，又BC PM 2
1
=.
∴
PM MN BC AD =.∴ AD AO
BC BA
=. 在Rt BMA △中，αsin =AB
AM
.∵ AM AO 2=， ∴
2sin AO BA α=.∴ αsin 2=BC AD
〔3〕52
.
M
P
N
D
A
O
C
【例8】 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中
点.
〔1〕求证：△DMN 是等边三角形；
〔2〕连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .
同学们，如果你觉得解决此题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要
证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.
〔12年朝阳二模〕
【答案】〔1〕取AC 的中点G ，连接NG 、DG .
∴DG ＝
2
1
BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG = NC ，DG = CM . ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3. ∴△NGD ≌△NCM .
∴ND = NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º. ∴△DMN 是等边三角形. 〔2〕连接QN 、PM .
∴QN =
2
1
CE= PM . Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8. ∴∠QND = ∠PMD . ∴△QND ≌△PMD . ∴DQ = DP .
【例9】 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠AC P ．过点P 作PE ⊥
AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．
N
M E
C
6
78
54
P
Q N
M
E
C
C
32
1
G
N
M
E
〔1〕如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；
〔2〕如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，〔1〕中的结论是否发生改变？请说明理由．
〔12年丰台二模〕
图1 图2
【答案】〔1〕DE =DF ．
〔2〕DE =DF 不发生改变．
理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．
∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21
=．
∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 2
1
==．
∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠． 同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．
∴四边形MDNP 为平行四边形． ∴67∠=∠．
∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠． ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．
【例10】 探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O .
〔1〕△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD =__________；
〔2〕当小明做完〔1〕问后继续探究发现，假设△ABC 为一般三角形〔如图2〕，⑴中的结论仍
成立，请你给予证明.
〔3〕运用上述探究的结果，解决以下问题：
如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，假设AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.
〔2012年房山二模试题〕
A
E
F
P
D C
E B
A
D F P 7
6
54
321
N
M
C
D B
P
F
E
A
O
E D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B A
图1 图2 图3
【答案】〔1〕2：1 〔2〕证明略
〔3〕方法一：过点C 作CG ∥BE ，交AB 延长线于点G ，故BE 是ACG △的中位线，D 点为ACG △重心，
24AD DH ==，6AH =，312AF DF BF ===，
，，∴525BD CD ==，，1
132AB AC ==, 故周长为53133+
方法二：取AE 中点G ，BC 中点H ，连接GF FH HE 、
、，BG 交AF 于点I ，易证四边形GFHE 为菱形，BEG BHF ≌△△，故I 为ABE △重心，222AI IF FD ===，5BD =，2213AB AC ==，2BI IG =，
2BD DH =，23BC BH BD ===35，故周长为53133+
H
G
F
E
D
C B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【例11】 如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分
别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠〔不需证明〕．
〔温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．〕
问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，
AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论． 问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，假设60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．
〔13年延庆一模〕
D
G
F
E
C
B
A
N
M
O F
E D C
B
A
E
F
H
N M D
C
B
A
图1 图2 图3 【答案】〔1〕等腰三角形〔2〕判断出直角三角形 证明：如图连结BD ，取BD 的中点H ，连结HF HE 、，
F 是AD 的中点，HF AB ∴∥，1
2
HF AB =
，13∴∠=∠． 同理，1
2
HE CD HE CD =
∥，，∴2EFC ∠=∠． ∵AB CD =，∴HF HE =，∴12∠=∠
∵EFC ∠=60°，360EFC AFG ∴∠=∠=∠=°，
AGF ∴△是等边三角形． ∵AF FD =GF FD ∴=，
30FGD FDG ∴∠=∠=°90AGD ∴∠=° 即AGD △是直角三角形．
【例12】 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性
质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1．请你用此性质解决下面的问
题.
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，90CAB ∠=︒，直线m 过点O ,过A B C 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D E F 、、.
〔1〕当直线m 与BC 平行时〔如图1〕，请你猜想线段BE CF 、和AD 三者之间的数量关系并证明；
〔2〕当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AD BE CF 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
〔10年石景山一模〕
图3
图2
图1
D ()
O
A
C
m
E
F
O A
B
C
m
E F
D
D F
E
m
B
A
O
A B
C
D F G H E
1
2 3
【答案】〔1〕猜想：BE CF AD +=
证明：如图，延长AO 交BC 于M 点，
∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心 ∴2AO OM =且AM BC ⊥ 又∵EF BC ∥ ∴AM EF ⊥
∵BE EF CF EF ⊥⊥，
∴EB OM CF ∥∥
∴EB OM CF ==
∴2EB CF OM AD +== 〔2〕图2结论：BE CF AD +=
证明：联结AO 并延长交BC 于点G 过G 做GH EF ⊥于H
由重心性质可得2AO OG =
∵90ADO OHG ∠=∠=︒, AOD HOG ∠=∠ ∴AOD GOH ∆∆∽ ∴2AD HG = ∵O 为重心
∴G 为BC 中点
∵GH EF BE EF CF EF ⊥⊥⊥，， ∴EB HG CF ∥∥
∴H 为EF 中点 ∴()1
2
HG EB CF =
+ ∴EB CF AD +=
(3)CF BE AD -=如图2，取DE 中点H ，连接CO 并延长交AB 于点G ，连接GH ，
COF GOH △∽△()AA ，
2
1
CF CO GH GO ==， 2CF GH =，2BE AD GH +=〔梯形中位线〕，BE AD CF +=
G
图1
D O
F
E C
G
H
B C
E
F
m
O
D
图2
G
D H
m
F
E O C B
A
M
m
D ()
O F E
C
B
A。