2022年湖南长沙北雅中学中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．4的平方根是（ ） A ．2
B ．±2
C ．8
D ．±8
2．如图，点A 所表示的数的绝对值是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．
1
3
D ．13
-
3．下列式子一定成立的是（ ） A ．2a+3a=6a B ．x 8÷x 2=x 4
C ．12
1
a a =
D ．（﹣a ﹣2）3=﹣
6
1a 4．如图，ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==，那么向量AE 用向量a b 、表示为（ ）
A ．12
a
b B ．12
a b -
C ．12
a b -+
D ．12
a b --
5．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC ＝3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y ＝
k
x
的图象经过点D ，则k 值为（ ）
A ．﹣14
B ．14
C ．7
D ．﹣7
6．为了配合 “我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款： A ．140元
B ．150元
C ．160元
D ．200元
7．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
82 ，0，π，1
3
，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ） A ．
1
5
B ．25
C ．35
D ．45
9．若关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） A ．1k <
B ．0k ≠
C ．1k <且0k ≠
D ．0k >
10．某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如上表：那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ） 人数 3 4 2 1 分数 80
85 90 95
A ．85和82.5
B ．85.5和85
C ．85和85
D ．85.5和80
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图,已知圆O 的半径为2,A 是圆上一定点,B 是OA 的中点,E 是圆上一动点,以BE 为边作正方形BEFG(B 、E 、F 、G 四点按逆时针顺序排列),当点E 绕⊙O 圆周旋转时,点F 的运动轨迹是_________图形
12．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8)x
个，则当x=_________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
13．在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为_____．
14．分解因式：a2b−8ab+16b=_____．
15．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝_____．
16．月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0）．点C、D分别在OB、AB边上，DC∥OA，CB=23．
（I）如图①，将△DCB沿射线CB方向平移，得到△D′C′B′．当点C平移到OB的中点时，求点D′的坐标；
（II）如图②，若边D′C′与AB的交点为M，边D′B′与∠ABB′的角平分线交于点N，当BB′多大时，四边形MBND′为菱形？并说明理由．
（III）若将△DCB绕点B顺时针旋转，得到△D′C′B，连接AD′，边D′C′的中点为P，连接AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD′的值．（直接写出结果即可）．
18．（8分）已知，关于x的方程x2﹣mx+1
4
m2﹣1＝0，
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若x＝2是该方程的一个根，求m的值．
随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表．
征文比赛成绩频数分布表
分数段频数频率
60≤m＜70 38 0.38
70≤m＜80 a 0.32
80≤m＜90 b c
90≤m≤10010 0.1
合计 1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是；
（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．
20．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
求证：AB=DF．
21．（8分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
求A，B两种品牌的足球的单价．求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球
的总费用．
22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，，作轴于E点．
求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．
23．（12分）先化简，再求值，
2
2
1211
111
x x x
x x x
⎛⎫
-+-
+÷
⎪
+-+
⎝⎭
，其中x=1．
24．如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=23，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．
（1）求证：BH=EH；
（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、B 【解析】
依据平方根的定义求解即可． 【详解】 ∵（±1）1=4， ∴4的平方根是±1． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 2、A 【解析】
根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】 |-3|=3， 故选A ． 【点睛】
此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答． 3、D 【解析】
根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可. 【详解】
解：A ：2a+3a=(2+3)a=5a ，故A 错误； B ：x 8÷x 2=x 8-2=x 6，故B 错误；
C ：1
2a C 错误； D ：(-a -2)3=-a -6=-6
1
a ，故D 正确. 故选D.
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.
4、A
【解析】
根据AE AB BE
=+，只要求出BE即可解决问题.
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∥，＝，
AD BC AD BC
∴==，
BC AD b
＝，
BE CE
1
∴=，
BE b
2
=+=，
AE AB BE,AB a
1
∴=+，
AE a b
2
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
5、B
【解析】
过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,
∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,
∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为: =,故选B.
（7,2）,∴k14
6、B
【解析】
试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150，即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．
故选B．
考点：一元一次方程的应用 7、C 【解析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： 【详解】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： A 、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误； B 、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误； C 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确； D 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选C 【点睛】
考核知识点：正方体的表面展开图. 8、C 【解析】
，0，π，13，6这5个数中只有0、1
3
、6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率． 【详解】
，0，π，13，6这5个数中有理数只有0、1
3
、6这3个数， ∴抽到有理数的概率是3
5
，
故选C ． 【点睛】
本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键． 9、C 【解析】
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根， 0
k ≠⎧
解得：k<1且k≠1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
10、B
【解析】
根据众数及平均数的定义，即可得出答案.
【详解】
解：这组数据中85出现的次数最多，故众数是85；平均数=
1
10
（80×3+85×4+90×2+95×1）=85.5.
故选：B.
【点睛】
本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、圆
【解析】
根据题意作图，即可得到点F的运动轨迹.
【详解】
如图，根据题意作下图，可知F的运动轨迹为圆⊙O’.
【点睛】
此题主要考查动点的作图问题，解题的关键是根据题意作出相应的图形，方可判断.
12、1
【解析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
∴y=（8-x ）x ，即y=-x 2+8x ， ∴当x=- b
82a 2
-=-=1时，y 取得最大值． 故答案为：1． 13、3.05×105 【解析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【详解】
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，解题关键是熟记科学计数法的表示方法. 14、b （a ﹣4）1 【解析】
先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】
解：a 1b-8ab+16b=b （a 1-8a+16）=b （a-4）1． 【点睛】
本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练运用公式法分解因式是本题的关键． 15、y （x ﹣y ）2 【解析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【详解】
x 2y ﹣2xy 2+y 3＝y （x 2-2xy+y 2）=y （x-y ）2. 【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16、1.738×1 【解析】
解：将1738000用科学记数法表示为1.738×
1．故答案为1.738×1．
【点睛】
本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学计数法的计数形式，难度不大．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（Ⅰ）D′（3+3，3）;（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形,理由见解析;
（Ⅲ）P（1533
,
22
）．
【解析】
（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H．首先求出点D坐标，再求出CC′的长即可解决问题；
（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形．首先证明四边形MBND′是平行四边形，再证明BB′=BC′即可解决问题；（Ⅲ）在△ABP中，由三角形三边关系得，AP＜AB+BP，推出当点A，B，P三点共线时，AP最大.
【详解】
（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H，
∵△AOB是等边三角形，DC∥OA，
∴∠DCB=∠AOB=60°，∠CDB=∠A=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∵3，DH⊥CB，
∴3DH=3，
∴D（63，3），
∵C′B=3，
∴3﹣3，
∴33，
∴D′（33）．
（Ⅱ）当3时，四边形MBND'是菱形，
理由：如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABB'=180°﹣∠ABO=120°，∵BN是∠ACC'的角平分线，
∴∠NBB′'=1
2
∠ABB'=60°=∠D′C′B，
∴D'C'∥BN，∵AB∥B′D′
∴四边形MBND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MC′B'和△NBB'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵B'C'=23，
∵四边形MBND'是菱形，
∴BN=BM，
∴BB'=1
2
B'C'=3；
（Ⅲ）如图连接BP，
在△ABP中，由三角形三边关系得，AP＜AB+BP，
∴当点A，B，P三点共线时，AP最大，
如图③中，在△D'BE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，3
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt △APD'中，由勾股定理得，．
此时P （152． 【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（2）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（3）的关键是判断出点A ，C ，P 三点共线时，AP 最大．
18、（1）证明见解析；（2）m=2或m=1．
【解析】
（1）由△=（-m ）2-4×1×（14
m 2-1）=4＞0即可得； （2）将x=2代入方程得到关于m 的方程，解之可得．
【详解】
（1）∵△=（﹣m ）2﹣4×1×（
14m 2﹣1） =m 2﹣m 2+4
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入方程，得：4﹣2m+
14
m 2﹣1=0， 整理，得：m 2﹣8m+12=0，
解得：m=2或m=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=2代入原方程求出m 值．
19、（1）0.2；（2）答案见解析；（3）300
【解析】
第一问，根据频率的和为1，求出c 的值；第二问，先用分数段是90到100的频数和频率求出总的样本数量，然后再乘以频率分别求出a 和b 的值，再画出频数分布直方图；第三问用全市征文的总篇数乘以80分以上的频率得到全市80分以上的征文的篇数.
【详解】
解：（1）1﹣0.38﹣0.32﹣0.1=0.2，
故答案为0.2；
（2）10÷0.1=100，
100×0.32=32，100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图：
（3）全市获得一等奖征文的篇数为：1000×（0.2+0.1）=300（篇）．
【点睛】
掌握有关频率和频数的相关概念和计算，是解答本题的关键.
20、详见解析.
【解析】
根据矩形性质推出BC=AD=AE，AD∥BC，根据平行线性质推出∠DAE=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA即可．【详解】
证明：在矩形ABCD中
∵BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，AE=BC=AD，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中
∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝∠AEB ，AE＝AD
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB=DF.
【点睛】
本题考查的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质.解决本题的关键在于能够找到证明三角形全等的有关条件.
21、（1）一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；（2）1．
【解析】
（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；
（2）把（1）中的数据代入求值即可．
【详解】
（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，依题意得：
23380
{
42360
x y
x y
+=
+=
，解得：
40
{
100
x
y
=
=
．
答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×40+2×100=1（元）．
答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1元．
考点：二元一次方程组的应用．
22、（1），；（2）8；（3）或．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．
试题解析：解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=1．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==，∴OA=2，CE=3，∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．
∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得：．
故直线AB的解析式为．
∵反比例函数的图象过C，∴3=，∴k=﹣1，∴该反比例函数的解析式为；
（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得：，可得交点D的坐标为（1，﹣1），则△BOD 的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=1，故△OCD的面积为2+1=8；
（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜1．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
23、1．
【解析】
先根据分式的运算法则进行化简,再代入求值.
【详解】
解：原式=（）×=×
=；
将x=1代入原式==1．
【点睛】
分式的化简求值
24、（1）见解析；（2）B点经过的路径长为
3
3
π．
【解析】
(1)、连接AH，根据旋转图形的性质得出AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，根据AH为公共边得出Rt△ABH和Rt△AEH 全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出∠EAB的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案．
【详解】
(1)、证明：如图1中，连接AH，
由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．
(2)、解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAC=90°，在Rt△ABG中，AG=4，3
∴cos∠BAG=
3
AB
AG
=，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE
6023
π⋅⋅23
π，
即B点经过的路径长为23
3
π．
【点睛】
本题主要考查的是旋转图形的性质以及扇形的弧长计算公式，属于中等难度的题型．明白旋转图形的性质是解决这个问题的关键．。