高等数学练习册答案

第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.[╳]答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数212)cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。

[╳]答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f xx −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .[√]答：是,[]0)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .5、的最大整数，表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则，　ϕ()x x n=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。

二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln xey =（B ）2x y =（C ）44xy =（D ）xx y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。

的周期函数；　最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ3、是　函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数；　奇函数；　a D C B A )()()()(三、填空题1、＝则时且当设　z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++=.解：2 , 0 x z y ==时因　2)(x x f x =+∴　故有xx x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设　)()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由 解得　，650162+−≥−≤≤x x x 由 解得　或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是　，，−1236∪.3、[]＝则．，　；，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨⎩4222，；，　四、)()(42411)(2x x f x x x x x x f x φ的反函数求．，；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.解：当时，，即−∞<<==x y x x y1−∞<<y 1当时，， ．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy 当时，， ．42162<<+∞=∴=>x y x y x ylog ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 五、12)1()(222++=+x xx x f x x f 设　，)(x f 求。

解：)1(12)1()(2:22 已知++=+x x x x f x x f )1(121121)(1)1(2:22++=++=+x x x xx x x f xx f 故得)2(12)1(2)(22 ++=+x xx x f x x f :)1()2()1(2得消去x f −×131242)(322+=+−−+=x xx x x x x x f ，1)(+=x x x f 故 六、 111)(000)(⎩⎨⎧≥<+=⎩⎨⎧≥<=．，；，．，；，设x x x x x x x x x f ϕ)()(x x f ϕ+求.答：；时，当1)()(0+=ϕ+<x x x f x ；时，当12)()(10+=ϕ+<≤x x x f x 当时，．x f x x x ≥+=12()()ϕ∴+=+<+≤<≥⎧⎨⎪⎩⎪f x x x x x x x x ()()ϕ10210121，　；，；， ．§2数列的极限一是非判断题1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞→[╳]2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。

[╳]3、如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<−|a ，则.lim a x n n =∞→[╳]4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<−|a ，则.lim a x n n =∞→[√]5、{}{}{}必是无界数列。

，则都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =[╳]解：结论不一定成立{}{}0020604020 1201250301===+−=n n n n n y x z n y n n x 都是无界数列，但，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，例如 显然是有界数列z n 6、充分大时，必有，则当若n A A a n n )0(lim ≠=∞→2A a n >。

[√]二．单项选择题1、{}无界是数列发散的数列n a （B ）件．．既非充分又非必要条　．充分必要条件．充分条件 ．必要条件D C B A ;;;2、⎪⎩⎪⎨⎧=−为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17则D 。

（A ）;0lim =∞→n n x （B ）;10lim 7−∞→=n n x（C ）;,10,,0lim 7⎩⎨⎧=−∞→为偶数为奇数n n x n n (D)不存在n n x ∞→lim 3、数列有界是数列收敛的B 。

（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分又非必要条件。

4、下列数列n x 中，收敛的是B 。

（A ）n n x nn 1)1(−−=（B ）1+=n n x n （C ）2sin πn x n =（D ）nn n x )1(−−=三．根据数列极限的定义证明。

（1）321312lim=++∞→n n n 分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n 41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃41[ε=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n （2）19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n 分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n ,只须1101−n <ε,即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n 四、设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .五、a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞→n n ,但n n )1(lim −∞→不存在.§3函数的极限一是非判断题1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=−x f x f )(lim 0x f x x →不存在。

[╳]2、)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→和)(lim x f x −∞→都存在。

[╳]3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<−||0x x 时，有(),f x A ε−<那末.)(lim 0A x f x x =→[╳]4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.0,)(lim 0>=→A A x f x x 那末[╳]5、如果A x f x =∞→)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,−以外时.0)(>x f [√]二．单项选择题1、从1)(lim 0=→x f x x 不能推出C 。

（A ）1)(lim 00=+→x f x x （B ）1)0(0=−x f （C ）1)(0=x f （D ）0]1)([lim 0=−→x f x x 2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的D 。

（A ）充分条件但非必要条件；（B ）必要条件但非充分条件（C ）充分必要条件；（D ）既不是充分条件也不是必要条件3、若,11)(,1)1()(22+−=−−=x x x g x x x f 则C 。

（A ）)()(x g x f =（B ）)()(lim 1x g x f x =→（C ）)(lim )(lim 11x g x f x x →→=（D ）以上等式都不成立4、)(lim )(lim 000x f x f x x x x +→−→=是)(lim 0x f x x →存在的C。