正定矩阵性质

正定矩阵性质
一、正定矩阵性质([3])1。

正定矩阵为对角矩阵，即对角线上的元素都是0。

如果，是非奇异方阵，则，不可约，所以，只有0和1两种特解，即零解与一解。

2。

对任意一行取非零列，则是非奇异的。

因为正定矩阵的列不含零元素，所以，它也是对称矩阵。

所以，正定矩阵是反对称矩阵。

3。

正定矩阵都是正定的。

正定矩阵的所有正特解的集合称为正定矩阵的正特征值集，简称正特征集。

正定矩阵的正特征值是正定矩阵的特征值的充要条件。

二、正定矩阵的主要应用及其实现三、有关矩阵的结论1。

一个矩阵正定性的充分必要条件是它的行列式等于零。

2。

在线性代数中，矩阵是一个相当常见的对象。

一般而言，它是实数域或复数域R上的一个n ×n的矩形阵列，这些矩形阵列的每一个都由大小相等的n个元素所组成，我们则称这些矩形阵列为n 维向量。

4。

规定一个n×n的矩阵A，若有一个自变数a， b满足Ax=b
或Ax=a，则称此矩阵A为正定矩阵，或称为正定对角阵，以区别于其余具有负定的矩阵，又称为负定对角阵或不定正定矩阵。

另外，正定矩阵的核心思想就是化正定矩阵为非奇异的标准形，即将其分解成一系列标准形，而每个标准形都有一个正定对角阵，从而消去一些额外的特征。

5。

设X为n×n矩阵，若存在一个n×n矩阵R，使得x=y，则称X为正定矩阵。

6。

在上一节中，我们已经知道了一些基本的矩阵性
质，例如正定矩阵，反对称矩阵和正定对角阵等。

然而，这些矩阵性质并没有在真正意义上揭示出矩阵的性质，还有许多不为人知的性质还未被发现。

但只要坚持不懈地努力下去，最终会发现更多更有价值的矩阵性质，因为世间万物都具有共性，我们只要找到了一些常用的公理，就能推导出更多更有趣的矩阵性质。

最后，我们来做一个总结：矩阵可以视为对一组n×n矩形矩阵的内积。

矩阵的相似性与矩阵的正定性相似，只要存在一个n×n的矩形矩阵，则存在一个n×n的矩形矩阵N，且N中任何一个元素都为0，则有n×n矩形矩阵A与n×n矩形矩阵B等价，即N与A有同样的行列式。

通过这些类比，我们知道了一个矩阵是否正定或是否反对称的重要性质。