3-3球面方程式
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則 AQ = ( x1 − h) 2 + ( y1 − k ) 2 + ( z1 − l ) 2 = r 2 = r 。
也就是說：所有滿足方程式的點A 到 Q 的距離都等於 r。 因此， (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 稱之為球面 S 的標準式。
3. 範例：(1)求以 Q(1,−2,0) 為球心，半徑為 5 的球面方程式。 範例： (2)求以原點為球心，通過點 (1,2,3) 的球面方程式。 解：(1) 球心 Q(1,−2,0)，半徑 5 ⇒ (x−1)2+[y−(−2)]2+(z−0)2=52 ⇒ (x−1)2+(y+2)2+z2=25 。 (2) 球心為原點 ⇒ 設球面為 x2+y2+z2=r2， 將(1,2,3)代入，得 12+22+32=r2=14， 故所求為 x2+y2+z2=14。
由 QA = QB = r ⇒
32 + t 2 + 12 = 12 + (t − 3) 2 + 62 ，
解得 t = 6，r = 46 ， 故所求為 x2+(y−6)2+z2=46。
＃
馬上練習：求球心在 z 軸上且過 A(1,1,1)，B(−1,−1,−1) 的球面方程式。 Ans：x2+y2+z2=3。 ： 解：設球心Q(0,0,t)，t 為某實數。
又 QP : PA=1:2，
R•
• Q
• P
•A
2 1 ⇒ 最近點 P ( x, y, z ) = (1, 2, −2) + (4, −4, 4) =(2,0,0)。 3 3
最遠點 R 與最近點 P(2,0,0) 的中點即為球心 (1,2,−2)， 故最遠點為 R(0,4,−4)。
＃
馬上練習：設球面 S：x2+y2+z2+4x−4y−2z=0， 若 P(x,y,z) 為 S 上的動點， 求 (x−1)2+(y−6)2+(z−13)2 的最大值與最小值。 解：由 S：(x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=9， 得球心 Q(−2,2,1)，r=3， P(x,y,z)• 又 (x−1)2+(y−6)2+(z−13)2 表
＃
＃
2. 範例：求球面 S：x2+y2+z2−2x−4y+4z=0上 範例： 與點 A(4,−4,4) 距離最近與最遠的點。 解：由 S：(x−1)2+(y−2)2+(z+2)2=9，得球心Q(1,2,−2)，r=3，
⇒ AQ = (−3) 2 + 62 + (−6) 2 = 9 ，
設最近點 P(x,y,z)，
2 2 2
=r ，
⇒ 3r − 1 = 3r ⇒ 3r − 1 = 又 d (球心Q, E ) < d (原點O, E ) = = ， 6 3 3− 3 。 故所求 r = ＃ 6
3− 3 3+ 3 ⇒ r= , ， 6 6
z=0 (xy平面 平面) 平面
二、直線與球面：設球面 S：x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0 的 直線與球面： 球心為點 Q，半徑為 r，
25 − 3e + 4 f + g = 0 1− d + g = 0 21 − d − 2e + 4 f + g = 0
−2d − 4e + 4 f + 20 = 0 ⇒ −3d − e − 4 = 0 ， −3d − 3e + 4 f + 16 = 0
解得 d = −2 ， e = 2 ， f = −4 ， g = −3 ， 故所求為 x2+y2+z2−2x+2y−4z−3=0。
由 PQ = r ⇒ ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r ，
Q• r
因此，球面上的點 P(x,y,z) 都滿足 方程式(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2。 x
O
• P
y
反之，若空間中有一點 A(x1,y1,z1) 滿足 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 ，
10. 範例：空間中四個平面 x=0，y=0，z=0，E：x+y+z=1 範例： 所圍成的四面體的內切球的半徑長為何? 解：內切球面與三坐標平面均相切， z 可設球心 Q(r,r,r)，
⇒ d (球心Q, E ) = r
E：x+y+z=1 ： y=0 (xz平面 平面) 平面 Q(r,r,r)
⇒
r + r + r −1 1 +1 +1
一、球面方程式 1. 球面的意義：空間中與一定點(球心)的距離是一定值(半徑) 球面的意義： 的所有點所成的圖形稱為球面。 2. 球面的標準式：以 Q(h,k,l) 為球心，r 為半徑的球面方程式為 球面的標準式： (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2。 z 證明： 證明：若 P(x,y,z) 是球面上任意一點，
故所求為 x2+y2+z2+2x+4y−2z=0。
＃
9. 範例：設平面 E : 範例：
x y z + + = 1 交坐標軸於 A、B、C 三點， 2 4 3
設 O 為原點，求四面體 OABC 的外接球方程式。 x y z z 解：平面 E : + + = 1 交坐標軸於 2 4 3 • C(0,0,3) A(2,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,3)， 設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0， 將 (0,0,0)，(2,0,0)，(0,4,0)
配方
即 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0
展開
(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=∆。
(1) 若 ∆ > 0，則圖形為一球面，球心為(h,k,l)，半徑為 ∆ 。 (2) 若 ∆ = 0，則圖形為一點，即點(h,k,l)。 (3) 若 ∆ < 0，則圖形中沒有點，即圖形為空集合。
The end
The end
x −1 y + 2 z − 4 = = 1. 範例： 求直線 L： 範例： 1 1 −2
與球面 S：x2＋y2＋z2＝9 的交點坐標。 解：設交點坐標為(1＋t,−2+t,4−2t)， 代入球面方程式，得 (1＋t)2＋(−2+t)2＋(4−2t)2＝9， 解得 t=1 或 2，故兩交點為 (2,−1,2) 和 (3,0,0)。 馬上練習：已知球面 S：(x−3)2+ − 2+ + 2= − +(y−4) +(z+5) =50 與 z 軸相交於 A,B 兩點，求線段 AB 的長。 Ans：10。 ： 解：設交點坐標為 (0,0,t)，代入球面方程式 得 (−3)2＋(−4)2＋(t+5)2＝50， 解得 t=0 或 −10， 故兩交點為 A(0,0,0) 和 B(0,0,−10) 且 AB = 10 。
＃
＃
8. 範例：求過 A(2,1,0)，B(0,−3,4)，C(−1,0,0)，D(−1,−2,4) 範例： 四點的球面方程式。 解：設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0， 則： A(2,1, 0) 代入 B (0, −3, 4) 代入
C (−1, 0, 0) 代入 D(−1, −2, 4) 代入 ⇒ 5 + 2d + e + g = 0
x = x0 + lt 一直線 L： y = y0 + mt , t ∈ R ，則： z = z + nt 0
(1) d(Q,L)<r ⇔ L與球面S相交於兩點 ⇔ S與L有兩相異實數解。 (2) d(Q,L)=r ⇔ L與球面S交於一點(相切) ⇔ S與L恰有一實數解。 (3) d(Q,L)>r ⇔ L與球面S不相交 ⇔ S與L無實數解。
7. 範例：依實數 k 的值，討論方程式 x2+y2+z2−2x+4y−2kz+k+11=0 範例： 的圖形。 解：利用配方法，得 (x−1)2+(y+2)2+(z−k)2=k2−k−6。 (1) 當(k−3)(k+2)>0，即 k>3或 k <−2 時，圖形為一球面 一球面。 − − 一球面 一點。 (2) 當(k−3)(k+2)=0，即 k=3 或 −2 時，圖形為一點 − 一點 (3) 當(k−3)(k+2)<0，即 −2<k<3 時，方程式沒有圖形 沒有圖形。 − 沒有圖形 馬上練習：已知 x2+y2+z2−2kx+4y+2kz+3k2−2k+1=0 的圖形為一個球面，求 k 的範圍。 Ans： −1<k<3。 ： 解：利用配方法，得 (x−k)2+(y+2)2+(z+k)2 = −k2+2k+3。 當−(k−3)(k+1)>0，即 −1<k<3 時，圖形為一球面。
＃
馬上練習：求過A(0,0,0)，B(1,−1,2)，C(−2,−4,0)，D(−2,−1,3) 四點的球面方程式。 Ans：x2+y2+z2+2x+4y−2z=0。 ： 解：設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0，
A(0, 0, 0) 代入 g =0 B(1, −1, 2) 代入 6+d −e+2 f = 0 則： ⇒ C (−2, −4, 0) 代入 20 − 2d − 4e = 0 D(−2, −1,3) 代入 14 − 2d − e + 3 f = 0 d − e + 2 f = −6 ⇒ −2d − 4e = −20 ， −2d − e + 3 f = −14 解得 d = 2 ， e = 4 ， f = −2 ， g = 0，
半徑 r = 3 ，
故所求為 (x+1)2+y2+(z−3)2=3。
＃
4. 範例：設兩球面 S1：(x−2)2+(y+3)2+(z+1)2=9， 範例： S2：(x−5)2+(y−1)2+(z+1)2=1，判別兩球面是否相交? 解：S1 的球心 Q1(2,−3,−1)，r1=3， S2 的球心 Q2(5,1,−1)，r2=1，
＃
馬上練習：(1)求以Q(1,−2,3)為球心，且通過原點的球面方程式。 (2)求與(x+1)2+y2+(z−3)2=1有相同球心，
且半徑為 3 的球面方程式。
Ans：(1) (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=14 ：
(2) (x+1)2+y2+(z−3)2=3。
解：(1) 球心Q(1,−2,3) ⇒ 設所求為(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=r2 將 (0,0,0) 代入，得 (−1)2+22+(−3)2=r2=14 =14， 故所求為 (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=14。 (2) 設球面為 (x+1)2+y2+(z−3)2=r2，
x 與 (0,0,3)代入， 解得 d= −2，e= −4，f= −3，g=0， O • A(2,0,0) y • B(0,4,0)
故所求球面方程式為 x2+y2+y2−2x−4y−3z=0。 注意： 注意：過 (0,0,0)，(a,0,0)，(0,b,0) 與 (0,0,c) 四點的 球面方程式為 x2+y2+z2−ax−by−cz=0。＃
⇒ Q1Q2 = 3 + 4 + 0
2 2 2
S1 • Q1
S2 Q2•
= 5 > r1 + r2 = 3 + 1，
⇒ 兩球心的距離 > 兩球半徑的和， 故球面 S1 與 S2 不相交。
＃
馬上練習：設兩球面S1：(x−2)2+y2+(z+1)2=16， S2：(x−4)2+(y+2)2+z2=1，判別兩球面是否相交? Ans：相切於一點。 ： 解： S1 的球心Q1(2,0,−1)，r1=4， S2 的球心Q2(4,−2,0)，r2=1，
由 QA = QB = r ⇒ (−1)2 + (−1) 2 + (t − 1) 2 = 12 + 12 + (t + 1)2 ，
解得 t = 0，r = 3 ， 故所求為 x2+y2+z2=3。
＃
6. 球面的一般式：將球面的標準式(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 球面的一般式： 展開化簡，可得形如 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0 的式子， 稱為球面的一般式 一般式。利用配方法，亦可將一般式化成標準式 一般式
S2 • • S1
⇒ Q1Q2 = 22 + (−2) 2 + 12
= 3 =r1 − r2 = 4 − 1， ⇒ 兩球心的距離=兩球半徑的差， 故球面 S1 與 S2 相切。
＃
5. 範例：求球心在 y 軸上且過 A(3,0,−1)，B(−1,3,−6) 範例： 的球面方程式。 解：設球心 Q(0,t,0)，t 為某實數。
也就是說：所有滿足方程式的點A 到 Q 的距離都等於 r。 因此， (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 稱之為球面 S 的標準式。
3. 範例：(1)求以 Q(1,−2,0) 為球心，半徑為 5 的球面方程式。 範例： (2)求以原點為球心，通過點 (1,2,3) 的球面方程式。 解：(1) 球心 Q(1,−2,0)，半徑 5 ⇒ (x−1)2+[y−(−2)]2+(z−0)2=52 ⇒ (x−1)2+(y+2)2+z2=25 。 (2) 球心為原點 ⇒ 設球面為 x2+y2+z2=r2， 將(1,2,3)代入，得 12+22+32=r2=14， 故所求為 x2+y2+z2=14。
由 QA = QB = r ⇒
32 + t 2 + 12 = 12 + (t − 3) 2 + 62 ，
解得 t = 6，r = 46 ， 故所求為 x2+(y−6)2+z2=46。
＃
馬上練習：求球心在 z 軸上且過 A(1,1,1)，B(−1,−1,−1) 的球面方程式。 Ans：x2+y2+z2=3。 ： 解：設球心Q(0,0,t)，t 為某實數。
又 QP : PA=1:2，
R•
• Q
• P
•A
2 1 ⇒ 最近點 P ( x, y, z ) = (1, 2, −2) + (4, −4, 4) =(2,0,0)。 3 3
最遠點 R 與最近點 P(2,0,0) 的中點即為球心 (1,2,−2)， 故最遠點為 R(0,4,−4)。
＃
馬上練習：設球面 S：x2+y2+z2+4x−4y−2z=0， 若 P(x,y,z) 為 S 上的動點， 求 (x−1)2+(y−6)2+(z−13)2 的最大值與最小值。 解：由 S：(x+2)2+(y−2)2+(z−1)2=9， 得球心 Q(−2,2,1)，r=3， P(x,y,z)• 又 (x−1)2+(y−6)2+(z−13)2 表
＃
＃
2. 範例：求球面 S：x2+y2+z2−2x−4y+4z=0上 範例： 與點 A(4,−4,4) 距離最近與最遠的點。 解：由 S：(x−1)2+(y−2)2+(z+2)2=9，得球心Q(1,2,−2)，r=3，
⇒ AQ = (−3) 2 + 62 + (−6) 2 = 9 ，
設最近點 P(x,y,z)，
2 2 2
=r ，
⇒ 3r − 1 = 3r ⇒ 3r − 1 = 又 d (球心Q, E ) < d (原點O, E ) = = ， 6 3 3− 3 。 故所求 r = ＃ 6
3− 3 3+ 3 ⇒ r= , ， 6 6
z=0 (xy平面 平面) 平面
二、直線與球面：設球面 S：x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0 的 直線與球面： 球心為點 Q，半徑為 r，
25 − 3e + 4 f + g = 0 1− d + g = 0 21 − d − 2e + 4 f + g = 0
−2d − 4e + 4 f + 20 = 0 ⇒ −3d − e − 4 = 0 ， −3d − 3e + 4 f + 16 = 0
解得 d = −2 ， e = 2 ， f = −4 ， g = −3 ， 故所求為 x2+y2+z2−2x+2y−4z−3=0。
由 PQ = r ⇒ ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 = r ，
Q• r
因此，球面上的點 P(x,y,z) 都滿足 方程式(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2。 x
O
• P
y
反之，若空間中有一點 A(x1,y1,z1) 滿足 (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 ，
10. 範例：空間中四個平面 x=0，y=0，z=0，E：x+y+z=1 範例： 所圍成的四面體的內切球的半徑長為何? 解：內切球面與三坐標平面均相切， z 可設球心 Q(r,r,r)，
⇒ d (球心Q, E ) = r
E：x+y+z=1 ： y=0 (xz平面 平面) 平面 Q(r,r,r)
⇒
r + r + r −1 1 +1 +1
一、球面方程式 1. 球面的意義：空間中與一定點(球心)的距離是一定值(半徑) 球面的意義： 的所有點所成的圖形稱為球面。 2. 球面的標準式：以 Q(h,k,l) 為球心，r 為半徑的球面方程式為 球面的標準式： (x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2。 z 證明： 證明：若 P(x,y,z) 是球面上任意一點，
故所求為 x2+y2+z2+2x+4y−2z=0。
＃
9. 範例：設平面 E : 範例：
x y z + + = 1 交坐標軸於 A、B、C 三點， 2 4 3
設 O 為原點，求四面體 OABC 的外接球方程式。 x y z z 解：平面 E : + + = 1 交坐標軸於 2 4 3 • C(0,0,3) A(2,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,3)， 設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0， 將 (0,0,0)，(2,0,0)，(0,4,0)
配方
即 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0
展開
(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=∆。
(1) 若 ∆ > 0，則圖形為一球面，球心為(h,k,l)，半徑為 ∆ 。 (2) 若 ∆ = 0，則圖形為一點，即點(h,k,l)。 (3) 若 ∆ < 0，則圖形中沒有點，即圖形為空集合。
The end
The end
x −1 y + 2 z − 4 = = 1. 範例： 求直線 L： 範例： 1 1 −2
與球面 S：x2＋y2＋z2＝9 的交點坐標。 解：設交點坐標為(1＋t,−2+t,4−2t)， 代入球面方程式，得 (1＋t)2＋(−2+t)2＋(4−2t)2＝9， 解得 t=1 或 2，故兩交點為 (2,−1,2) 和 (3,0,0)。 馬上練習：已知球面 S：(x−3)2+ − 2+ + 2= − +(y−4) +(z+5) =50 與 z 軸相交於 A,B 兩點，求線段 AB 的長。 Ans：10。 ： 解：設交點坐標為 (0,0,t)，代入球面方程式 得 (−3)2＋(−4)2＋(t+5)2＝50， 解得 t=0 或 −10， 故兩交點為 A(0,0,0) 和 B(0,0,−10) 且 AB = 10 。
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8. 範例：求過 A(2,1,0)，B(0,−3,4)，C(−1,0,0)，D(−1,−2,4) 範例： 四點的球面方程式。 解：設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0， 則： A(2,1, 0) 代入 B (0, −3, 4) 代入
C (−1, 0, 0) 代入 D(−1, −2, 4) 代入 ⇒ 5 + 2d + e + g = 0
x = x0 + lt 一直線 L： y = y0 + mt , t ∈ R ，則： z = z + nt 0
(1) d(Q,L)<r ⇔ L與球面S相交於兩點 ⇔ S與L有兩相異實數解。 (2) d(Q,L)=r ⇔ L與球面S交於一點(相切) ⇔ S與L恰有一實數解。 (3) d(Q,L)>r ⇔ L與球面S不相交 ⇔ S與L無實數解。
7. 範例：依實數 k 的值，討論方程式 x2+y2+z2−2x+4y−2kz+k+11=0 範例： 的圖形。 解：利用配方法，得 (x−1)2+(y+2)2+(z−k)2=k2−k−6。 (1) 當(k−3)(k+2)>0，即 k>3或 k <−2 時，圖形為一球面 一球面。 − − 一球面 一點。 (2) 當(k−3)(k+2)=0，即 k=3 或 −2 時，圖形為一點 − 一點 (3) 當(k−3)(k+2)<0，即 −2<k<3 時，方程式沒有圖形 沒有圖形。 − 沒有圖形 馬上練習：已知 x2+y2+z2−2kx+4y+2kz+3k2−2k+1=0 的圖形為一個球面，求 k 的範圍。 Ans： −1<k<3。 ： 解：利用配方法，得 (x−k)2+(y+2)2+(z+k)2 = −k2+2k+3。 當−(k−3)(k+1)>0，即 −1<k<3 時，圖形為一球面。
＃
馬上練習：求過A(0,0,0)，B(1,−1,2)，C(−2,−4,0)，D(−2,−1,3) 四點的球面方程式。 Ans：x2+y2+z2+2x+4y−2z=0。 ： 解：設所求為 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0，
A(0, 0, 0) 代入 g =0 B(1, −1, 2) 代入 6+d −e+2 f = 0 則： ⇒ C (−2, −4, 0) 代入 20 − 2d − 4e = 0 D(−2, −1,3) 代入 14 − 2d − e + 3 f = 0 d − e + 2 f = −6 ⇒ −2d − 4e = −20 ， −2d − e + 3 f = −14 解得 d = 2 ， e = 4 ， f = −2 ， g = 0，
半徑 r = 3 ，
故所求為 (x+1)2+y2+(z−3)2=3。
＃
4. 範例：設兩球面 S1：(x−2)2+(y+3)2+(z+1)2=9， 範例： S2：(x−5)2+(y−1)2+(z+1)2=1，判別兩球面是否相交? 解：S1 的球心 Q1(2,−3,−1)，r1=3， S2 的球心 Q2(5,1,−1)，r2=1，
＃
馬上練習：(1)求以Q(1,−2,3)為球心，且通過原點的球面方程式。 (2)求與(x+1)2+y2+(z−3)2=1有相同球心，
且半徑為 3 的球面方程式。
Ans：(1) (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=14 ：
(2) (x+1)2+y2+(z−3)2=3。
解：(1) 球心Q(1,−2,3) ⇒ 設所求為(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=r2 將 (0,0,0) 代入，得 (−1)2+22+(−3)2=r2=14 =14， 故所求為 (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=14。 (2) 設球面為 (x+1)2+y2+(z−3)2=r2，
x 與 (0,0,3)代入， 解得 d= −2，e= −4，f= −3，g=0， O • A(2,0,0) y • B(0,4,0)
故所求球面方程式為 x2+y2+y2−2x−4y−3z=0。 注意： 注意：過 (0,0,0)，(a,0,0)，(0,b,0) 與 (0,0,c) 四點的 球面方程式為 x2+y2+z2−ax−by−cz=0。＃
⇒ Q1Q2 = 3 + 4 + 0
2 2 2
S1 • Q1
S2 Q2•
= 5 > r1 + r2 = 3 + 1，
⇒ 兩球心的距離 > 兩球半徑的和， 故球面 S1 與 S2 不相交。
＃
馬上練習：設兩球面S1：(x−2)2+y2+(z+1)2=16， S2：(x−4)2+(y+2)2+z2=1，判別兩球面是否相交? Ans：相切於一點。 ： 解： S1 的球心Q1(2,0,−1)，r1=4， S2 的球心Q2(4,−2,0)，r2=1，
由 QA = QB = r ⇒ (−1)2 + (−1) 2 + (t − 1) 2 = 12 + 12 + (t + 1)2 ，
解得 t = 0，r = 3 ， 故所求為 x2+y2+z2=3。
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6. 球面的一般式：將球面的標準式(x−h)2+(y−k)2+(z−l)2=r2 球面的一般式： 展開化簡，可得形如 x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0 的式子， 稱為球面的一般式 一般式。利用配方法，亦可將一般式化成標準式 一般式
S2 • • S1
⇒ Q1Q2 = 22 + (−2) 2 + 12
= 3 =r1 − r2 = 4 − 1， ⇒ 兩球心的距離=兩球半徑的差， 故球面 S1 與 S2 相切。
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5. 範例：求球心在 y 軸上且過 A(3,0,−1)，B(−1,3,−6) 範例： 的球面方程式。 解：設球心 Q(0,t,0)，t 為某實數。