安徽省亳州市2019-2020学年高考数学模拟试题(1)含解析

安徽省亳州市2019-2020学年高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x
=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R
B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π
=
对称
D ．将函数2y x =图像向左平移8
π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B
【解析】
【分析】
化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】
22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝
⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4
πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.
故选：B .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
2．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）
A ．5
B ．11
C ．20
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小，
又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，
由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，
即()()()()()222
111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=， 所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,1
4a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()
()()2
19n 25252n n n S n -=+⨯-=--+. 故n S 的最大值为525S =.
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
3．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C =U I ( )
A ．{}2
B ．{1,2,4}
C ．{1,2,4,6}
D ．{|15}x x ∈-≤≤R
【答案】B
【解析】
【分析】
直接进行集合的并集、交集的运算即可．
【详解】
解：{}2,1,2,4,6A B ⋃=-；
∴(){}1,2,4A B C ⋃⋂=．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.
4．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，01c <<
【答案】D
【解析】
【分析】 根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>，
故得01,01c a <<<<，
故选：D ．
【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
5．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，
根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a
=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）
A ．2020年6月
B ．2020年7月
C ．2020年8月
D ．2020年9月
【答案】C
【解析】
【分析】 根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可. 【详解】
解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15
y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042y
x a =+上 ˆ0.10.0423a
=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026y
x =- 令ˆ0.0420.0260.5y
x =-> 13x ≥
因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，
故选：C
【点睛】
考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.
6．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）
A．3
B
．
6
3
C．
3
6
D．
33
【答案】C
【解析】
【分析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,
A D F三点重合，记作D，取DC中点H，连接,,
EG EH GH，EGH
∠即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得
cos EGH
∠.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,
A D F三点重合，记作D：
则G为BD中点，取DC中点H，连接,,
EG EH GH，设正四面体的棱长均为a，
由中位线定理可得//
GH BC且
11
22
GH BC a
==，
所以EGH
∠即为EG与直线BC所成的角，
2
213
2
EG EH a a
⎛⎫
==-=
⎪
⎝⎭
，
由余弦定理可得
222
cos
2
EG GH EH
EGH
EG GH
+-
∠=
⋅
222
313
3
444
6
31
2
a a a
a a
+-
==
⨯⋅
，
所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为
3
6
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.
7．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．0x y ±=
B ．30x y ±=
C ．30x y ±=
D ．30x y ±=
【答案】B
【解析】
【分析】
由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.
【详解】
如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，两渐近线的斜率分别为3和3-.
故选：B
【点睛】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.
8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直
B ．三棱锥P-AB
C 的体积为8
3 C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为35 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC.
所以三棱锥P-ABC 的体积为114222323
⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=
+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+
= 222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，
1222222PBA S ∆=⨯=Q ()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=Q ∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522故正确的为C.
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
9．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．
32 C ．1 D ．0
【答案】B 【解析】
【分析】 作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由2z x y =+得，1122
y x z =-
+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大 10y x x y =⎧⎨+-=⎩得121
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当121
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，max 1232222z =+⨯= 故选：B
【点睛】
考查线性规划，是基础题.
10．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ）
A ．3d =
B ．1012a =
C ．20280S =
D ．14a =- 【答案】C
【解析】
【分析】
由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.
【详解】
因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，
所以解得53a =，
所以652d a a =-=，
所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
11．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】
由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222
i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，位于第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
12．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．
A ．12
B ．
C
D ．5
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12
，b ＝－1
所以|a ＋bi|=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.
【答案】5
【解析】
【分析】
利用复数模的计算公式求解即可.
【详解】
解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+， 所以()222345z =-+=.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查复数模的求法，属于基础题.
14．抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义求得0x ，并求出对应的0y ，即可得出结果.
【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，
抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得011x +=，解得00x =，此时00y =.
因此，抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
15．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.
【答案】11
【解析】
【分析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】
（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个：5!
1
5!
=，
3个，2个：4!
4 3!
=，
1个，4个：3!
3 2!
=，
（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：
3个：3!
1 3!
=，
1个，2个
：2!2=，
综上，一共有1431211++++=（种）. 故答案为：11. 【点睛】
本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
16．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，
1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的离心率为_________.
3 【解析】 【分析】
由已知可得212=b AF AB a =，结合双曲线的定义可知2
122b AF AF a a
-==，结合222c a b =+ ，从而
可求出离心率. 【详解】
解：1
22,//FO F O OD F B =Q ,1DF DB ∴=，又1AD BF ⊥Q ，则122AF AB AF ==. 2
2b AF a
=Q ，212=b AF AB a ∴=，2122b AF AF a a ∴-==，即22222b a c a ==- 解得3c a =，即3e =故答案为: 3【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出2
2b AF a
=.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()2
2ln f x x a x =+，（R a ∈）.
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为2y x m =+，求实数a 、m 的值； （2）若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）关于x 的方程()2cos 5f x x +=能否有三个不同的实根？证明你的结论. 【答案】（1）2a =-，0m =；（2）4,2ln 2ln 3⎛
⎫
-∞ ⎪-⎝⎭
；
（3）不能，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()f x '，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造()()()2122h x f x f x =-+-，则原题等价于()0h x >对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，即
)2,x ⎡∈+∞⎣时，()min 0h x >，
利用导数求()h x 最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由()20h >求出a 的范围，再研究该范围下()h x 单调性；
（3）构造()()2cos 5g x f x x =+-并进行求导，研究()g x 单调性，结合函数零点存在性定理证明即可. 【详解】
（1）Q ()2
2ln f x x a x =+，
∴()4a
f x x x
'=+
， Q 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，
∴()()
1421221f a f m ⎧=+=⎪⎨==⨯+'⎪⎩，
解得2
0a m =-⎧⎨=⎩
. （2）记()()()2122h x f x f x =-+-，
整理得()()2
2
41ln 21
x h x x a x =---，
()()()()2
2
21422
281212x x x a h x x a x x x x
⎡⎤---⎛⎫⎣⎦
'=---=
⎪--⎝⎭
由题知，()()2122f x f x -+>对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，
∴()0h x >对任意)2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，即)2,x ⎡∈+∞⎣时，()min 0h x >， ∴()20h >，解得4
2ln 2ln 3
a <
-，
当4
2ln 2ln 3
a <
-时，
对任意)2,x ⎡∈+∞⎣，10x ->，)2
2
11226,48x x x ⎛⎫⎡-=--∈+∞ ⎪⎣⎝
⎭，
()6
6
244ln 43424602ln 2ln 32ln 2ln 3
e x x a -->⨯-=
>--， ∴()0h x '>，即()h x 在)2,⎡+∞⎣单调递增，此时()()min 20h x h =>，
∴实数a 的取值范围为4,2ln 2ln 3⎛⎫-∞ ⎪-⎝
⎭.
（3）关于x 的方程()2cos 5f x x +=不可能有三个不同的实根，以下给出证明： 记()()2
2cos 52ln 2cos 5g x f x x x a x x =+-=++-，()0,+x ∈∞，
则关于x 的方程()2cos 5f x x +=有三个不同的实根，等价于函数()g x 有三个零点，
()42sin a
g x x x x '=+
-， 当0a ≥时，0a
x ≥，
记()42sin u x x x =-，则()42cos 0u x x '=->，
∴()u x 在()0,+∞单调递增，
∴()()00u x u >=，即42sin 0x x ->， ∴()42sin 0a
g x x x x
'=+
->， ∴()g x 在()0,+∞单调递增，至多有一个零点；
当0a <时，
记()42sin a
x x x x ϕ=+
-， 则()242cos 42cos 0a
x x x x
ϕ'=-->->，
∴()x ϕ在()0,+∞单调递增，即()g x '在()0,+∞单调递增，
∴()g x '至多有一个零点，则()g x 至多有两个单调区间，()g x 至多有两个零点.
因此，()g x 不可能有三个零点.
∴关于x 的方程()2cos 5f x x +=不可能有三个不同的实根.
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.
18．已知函数(
)()
2
1cos f x x x =.
（Ⅰ）若α是第二象限角，且sin 3
α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.
【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值，再代入
()f x 中即可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域. 【详解】
解：（1）因为α是第二象限角，且sin α=，
所以cos α==
所以sin tan cos α
αα
=
=
所以()(2
1f α⎛== ⎝⎭
.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z π
π⎧⎫
∈≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
且.
化简，得()()
2
1cos f x x x ==
2
1cos x ⎛=+ ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=
+ 1sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为x ∈R ，且2
x k π
π≠+，k Z ∈，
所以7226
6
x k π
π
π+
≠+
，
所以1sin 216x π⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
. （注：或许有人会认为“因为2
x k π
π≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
.） 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
19．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2
ϕπ
<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6
x π
=是函数()f x 的对称轴；
③04f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域. 【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；
（Ⅱ）1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03
x π
≤≤得到
526
6
6
x π
π
π
≤+
≤
，得到函数值域. 【详解】
（Ⅰ）由①可得，
22π
πωω
=⇒=；由②得：
6
2
26
k k πω
π
π
πω
ϕπϕπ+=+
⇒=+
-
，k Z ∈；
由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
若①③成立，则4
2m m πω
π
ϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，
若②③成立，则2
6
4
k m π
πω
πω
ππ+
-
=-
12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，
与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立， 所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅱ）由题意得，51
02()13
6
6
62
x x f x π
π
π
π≤≤
⇒
≤+
≤
⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
20．P 是圆2
2
4x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12
DM DP =u u u u v u u u v
．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．
【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=，轨迹C 是以(3,0)-，(3,0)为焦点，长轴长为4的
椭圆（2）2
2
846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设(),M x y ，根据12
DM DP =u u u u r u u u r
可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程
可知轨迹是以(
)3,0，
)
3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；
（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得2
15
k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE uuu r ，消去k 后得到轨迹方程；根据2
15
k <求得x 的取值范围，进
而得到最终结果. 【详解】
（1）设(),M x y ，则(),0D x
由12
DM DP =u u u u r u u u r
知：(),2P x y
Q 点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=
∴点M 的轨迹C 的方程为：2214
x y += 轨迹C
是以(
)
，
)
为焦点，长轴长为4的椭圆
（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在
设():3l y k x =-，代入2214
x y +=得：()2222
14243640k x k x k +-+-=
则()
()()2
2
22244143640k k k ∆=--+->，解得：21
5
k <
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
122
2414k x x k
+=+ ∴()()()312121222
24633661414k k
y y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ Q 四边形OAEB 为平行四边形
∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫
-=+=++= ⎪++⎝⎭
u u u r u u u r u u u r
又(),OE x y =u u u r ∴2
222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，消去k 得：22
460x y x +-=
2
15k <Q ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭
∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛
⎫+-=<< ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.
21．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
理科方向 文科方向 总计 男 110 女 50 总计
（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差
()D ξ.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考临界值：
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，5，
25
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80、[]80,100之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算2K 的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率p .由题意()~3,B p ξ，求出分布列，根据公式求出期望和方差. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80之间的学生人数为0.01252020050⨯⨯＝，在[]80,100之间的学生人数为0.00752020030⨯⨯＝，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为 理科方向 文科方向 总计 男 80 30 110 女
40
50
90
又()2
22008050304016.498 6.6351208011090
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为802
2005
p =
=. 依题意知2~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3322C 155i i
i P i ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（0,1,2,3i =），所以ξ的分布列为
所以期望()26
355
E np ξ==⨯=，方差()()22181315525D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
22．已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）. （1）求实数a 的取值范围；
（2）求证：3
213212a e ae x x -+++<-<
. 【答案】（1）10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；
（2）构造函数ln g x x x x =--（
），1
1ln 1
h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫⎛⎫->∈ ⎪
⎪-⎝⎭⎝
⎭，，分析直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标，f x （）在3x e -=，1x =处的切线即得解.
【详解】
（1）设函数()ln f x x x =，
()'1ln f x x =+，
令()1'0,f x x e >>，令()1'0,0f x x e
<<< 故()f x 在1(0,)e 单调递减，在1
(,)e +∞单调递增，
∴()11min f x f e e
⎛⎫
==- ⎪⎝⎭， ∵0x +→时()0f x →；()10f =；x →+∞时()f x →+∞
10a e ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭
，.
（2）①过点()00，，1
1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，的直线为y x =-， 则令()ln g x x x x =--，10x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，， ()2ln g x x '=--
()
2max ()g x g e -⇒=，min 1()min 00g x g e ⎧⎫⎛⎫>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 1ln 0x x x x e ⎛⎫⎛⎫⇒->∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，. ②过点()10，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线为()111y x e =--， 则()()111ln 11h x x x x x e e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭，， ()1ln 101h x x h x e =--'>⇒-（）在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增 ()()11101ln 11h x h x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒>=⇒->∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，. ③设直线y x =-，()111
y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标依次为3x a =-，411x a e =-+（
），
由图知21431x x x x ae ->-=+.
④f x （）在3x e -=，1x =处的切线分别为32y x e -=--，1y x =-，同理可以证得
11ln 1x x x x e ⎛⎫⎛⎫-<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，312ln 0,x e x x x e -⎛⎫⎛⎫--<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 记直线y a =与两切线和h x （）
从左到右交点的横坐标依次为5126x x x x ，，，， 33
216532122
a e a e x x x x a ----+--<-=+-=（）. 【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.
23．已知函数u （x ）＝xlnx ，v （x ）21mx 2=
+x ﹣1，m ∈R ． （1）令m ＝2，求函数h （x ）()()u x v x x 1
=-+的单调区间； （2）令f （x ）＝u （x ）﹣v （x ），若函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，且满足121x x ≤＜
e （e 为自然对数的底数）求x 1•x 2的最大值．
【答案】（1）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞）（2）e 1e 1e +-
【解析】
【分析】
（1）化简函数h （x ）lnx x
=，求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 （2）函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，则f′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个正根，由此得到m （x 2﹣x 1）＝
lnx 2﹣lnx 1，m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1，消参数m 化简整理可得ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2121
11x x x x +-，设t 21x x =，构造函数g （t ）＝（
11t t +-）lnt ，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x 1•x 2的最大值． 【详解】
（1）令m ＝2，函数h （x ）()()2u xlnx lnx v 111x x x x x x x =
==-++--+，∴h′（x ）2
1lnx x -=， 令h′（x ）＝0，解得x ＝e ，
∴当x ∈（0，e ）时，h′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，h′（x ）＜0，
∴函数h （x ）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞）
（2）f （x ）＝u （x ）﹣v （x ）＝xlnx 21mx 2
-
-x+1， ∴f′（x ）＝1+lnx ﹣mx ﹣1＝lnx ﹣mx ，
∵函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2， ∴f′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个不等正根，
∴lnx 1﹣mx 1＝0，lnx 2﹣mx 2＝0，
两式相减可得lnx 2﹣lnx 1＝m （x 2﹣x 1），
两式相加可得m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1， ∴212211222111
x 1ln x x x x x x x x x ln 1x x （）++==-- ∴ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2121
x 1x x 1x +-， 设t 21x x =，∵121
x x ≤＜e ，∴1＜t≤e ， 设g （t ）＝（t 1t 1
+-）lnt ，∴g′（t ）22t 12tlnt t(t 1)--=-， 令φ（t ）＝t 2﹣1﹣2tlnt ，∴φ′（t ）＝2t ﹣2（1+lnt ）＝2（t ﹣1﹣lnt ）， 再令p （t ）＝t ﹣1﹣lnt ，∴p′（t ）＝11t ＞-0恒成立，
∴p （t ）在（1，e]单调递增，∴φ′（t ）＝p （t ）＞p （1）＝1﹣1﹣ln1＝0， ∴φ（t ）在（1，e]单调递增，∴g′（t ）＝φ（t ）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0， ∴g （t ）在（1，e]单调递增，∴g （t ）max ＝g （e ）e 1e 1
+=
-， ∴ln （x 1x 2）e 1e 1+≤-，∴x 1x 2e 1e 1e +-≤ 故x 1•x 2的最大值为e 1
e 1e +-．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题。