2025届北京市通州区九级数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

2025届北京市通州区九级数学九年级第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列实数中，能够满足不等式30x -<的正整数是（）A ．-2B ．3C ．4D ．22、（4分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．3、（4分）如图，图中的小正方形的边长为1，到点A 的距离为的格点的个数是（）A ．7B ．6C ．5D ．44、（4分）运用分式基本性质，等式中()22=xy axy 缺少的分子为（）A ．a B ．2a C ．3a D ．4a
5、（4分）下列说法中错误的是（）
A ．四个角相等的四边形是矩形
B ．四条边相等的四边形是正方形
C ．对角线相等的菱形是正方形
D ．对角线垂直的矩形是正方形
6、（4分）已知反比例函数y =kx -1的图象过点A （1，-2），则k 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．-2
D ．-1
7、（4分）已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，
12，9，10，11，则分组后频率为0.2的一组是（）A ．6～7B ．8～9C ．10～11D ．12～138、（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A
．3，4，5B ．13，14，15C ．5，12，13D ．15，8，17二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC 、BC ，取AC 、BC 的中点D 、E ，量出DE=a ，则AB=2a ，它的根据是________．10、（4分）某一次函数的图象经过点（3，1
-），且函数y 随x 的增大而增大，请你写出一个符合条件的函数解析式______________________11、（4分）如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A
1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2018BC 和∠A 2018CD 的平分线交于点A 2019，得∠A 2019，则∠A 2019＝_____°．12、（4分）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知30DGH ∠=︒，连接BG ，则AGB ∠=__________．
13、（4分）函数11x +中自变量x 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，AC BD ⊥于点O ，交BF 于点G ，连接CD
，求证：四边形ABCD 是菱形．15、（8分）已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝1．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．16、（8分）（1）计算10133()(2)(11333π-----
++-（2)解不等式组3(
2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨-⎪
⎩，并写出不等式组的非负整数解。

（3
）解分式方程：22216224
x x x x x
-+=++--17、（10分）阅读下列材料，然后解答下列问题：
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一
)3
==；
(
二
)
1=-；
(三)221==.
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)：①参照(二)＝__________.②参照(三)＝_____________(2)+.18、（10分）综合与实践如图，ABC 为等腰直角三角形，90B ∠=︒，点O 为斜边AC 的中点，MPN △是直角三角形，90MPN ∠=︒．ABC 保持不动，将MPN △沿射线CA 向左平移，平移过程中点P 始终在射线CA 上，且保持PM ⊥直线AB 于点E ，PN ^直线BC 于点F ．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，OE 与OF 的数量关系是__________．（2）如图2，当点P 在线段OA 上时，猜想OE 与OF 有怎样的数量关系与位置关系，并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P 在CA 的延长线上时，连接EF ，若1OE =，则EF 的长为__________．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）正比例函数y=kx 的图象与直线y=﹣x+1交于点P （a ，2），则k 的值是_____．20、（4分）命题“如果a 2＝b 2，那么a ＝b ．”的否命题是__________．21、（4分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为__________.22、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，BC 6=，点E 为BC 的中点，将ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．23、（4分）计算21211x x x +-++的结果为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b 的图象与x 轴交点为A （﹣3，0），与y 轴交点为B ，且与正比例函数y ＝x 的图象交于点C （m ，4）（1）求m 的值及一次函数y ＝kx+b 的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x 的不等式x≤kx+b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且△PBC 的面积是8，直接写出点P 的坐标．
25、（10分）某商店购进一批小家电，单价40元，第一周以每个52元的价格售出180个，商店为了适当增加销量，第二周决定降价销售。

根据市场调研，售价每降1元，一周可比原来多售出10个，已知商店两周共获利4160元，问第二周每个小家电的售价降了多少元？26、（12分）如图，在菱形ABCD 中，作⊥BE AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求证：AE CF =．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
将各项代入，满足条件的即可.
【详解】
A选项，-2不是正整数，不符合题意；
-=，不符合题意；
B选项，330
-＞，不符合题意；
C选项，430
-＜，符合题意；
D选项，230
故选：D.
此题主要考查不等式的正整数解，熟练掌握，即可解题.
2、C
【解析】
根据轴对称和中心对称图形的概念可判别.
【详解】
（A）既不是轴对称也不是中心对称;
（B）是轴对称但不是中心对称；
（C）是轴对称和中心对称；
（D）是中心对称但不是轴对称
故选：C
3、B
【解析】
根据勾股定理、结合图形解答．
【详解】
解：∵，
∴能够成直角三角形的三边应该是1、2、，
∴到点A的距离为的格点如图所示：
共有6个，
故选：B．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4、D
【解析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：
4
2
2
a
xy axy
，
故选择：D.
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．5、B
【解析】
根据矩形和正方形的性质和判定进行分析即可.
【详解】
A、四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
D、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故选B．
考核知识点：正方形和矩形的判定.理解定理是关键.
6、C
【解析】
直接把点（1，-2）代入反比例函数y=k x 即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=k x 的图象过点A(1,−2)，∴−2=1k ，解得k=−2.故选C.此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把已知点代入解析式7、D 【解析】分析：分别计算出各组的频数，再除以10即可求得各组的频率，看谁的频率等于0.1．详解：A 中，其频率=1÷10=0.1；B 中，其频率=6÷10=0.3；C 中，其频率=8÷10=0.4；D 中，其频率=4÷10=0.1．故选：D ．点睛：首先数出数据的总数，然后数出各个小组内的数据个数，即频数．根据频率=频数÷总数进行计算．8、B 【解析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能够构成直角三角形.【详解】解：A 选项中，222345+=，∴能构成直角三角形；
B 选项中，22213+1415≠，∴不能构成直角三角形；
C 选项中，2225+12=13，∴能构成直角三角形；
D 选项中，22281517+=，∴能构成直角三角形；
故选B.
本题主要考查构成直角三角形的条件，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、三角形的中位线等于第三边的一半【解析】∵D ,E 分别是AC ,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =12AB ,设DE =a ，则AB =2a ，故答案是:三角形的中位线等于第三边的一半.10、y ＝x -4【解析】首先设一次函数解析式为y ＝kx+b ，根据y 随x 的增大而增大可选取k ＝1（k 取任意一个正数即可），再把点（3，﹣1）代入可得﹣1＝3+b ，计算出b 的值，进而可得解析式．【详解】∵函数的值随自变量的增大而增大，∴该一次函数的解析式为y=kx+b （k>0），∴可选取k ＝1，再把点（3，﹣1）代入：﹣1＝3+b ，解得：b ＝-4，∴一次函数解析式为y ＝x-4，故答案为:y ＝x-4（答案不唯一）．本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．11、2019
2m 【解析】
根据角平分线的定义可得∠A 1BC=1
2∠ABC ，∠A 1CD=1
2∠ACD ，再根据三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，然后整理得到∠A 1=1
2∠A ；
【详解】
∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，由三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，12（∠A+∠ABC ）=∠A 1+∠A 1BC=∠A 1+12∠ABC ，整理得，∠A 1=12∠A=12×m°=12m °；同理可得∠A n =(12)n ×m,所以∠A 2019＝(12)2019×m ＝20192m .故答案是：20192m ．考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．12、75°【解析】【分析】由折叠的性质可知：GE=BE ，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB ．，然后再根据∠EGH ﹣∠EGB=∠EBC ﹣∠EBG ，即：∠GBC=∠BGH ，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC ，从而易证∠AGB=∠BGH ，据此可得答案．【详解】由折叠的性质可知：GE=BE ，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB ，∴∠EGH ﹣∠EGB=∠EBC ﹣∠EBG ，即：∠GBC=∠BGH ，又∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GBC ，∴∠AGB=∠BGH ，
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB=12∠AGH=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13、x ⩽2且x ≠−1.【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，2−x ⩾0且x+1≠0，解得x ⩽2且x≠−1.故答案为：x ⩽2且x≠−1.此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握各性质定义.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析【解析】根据题意首先利用ASA 证明ADO CBO ∆∆≌，再得出四边形ABCD 是平行四边形，再利用四边相等来证明四边形ABCD 是菱形即可.【详解】证明：∵//AE BF ，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，∴ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∵AC BD ⊥，∴BO DO =，在ADO ∆和CBO ∆中
ADO CBO ∠=∠，DO BO =，AOD BOC ∠=∠，
∴ADO CBO ∆∆≌，
∴AD BC =，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB AD =，
∴四边形ABCD 是菱形此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键在于利用平行线的性质来求证.15、（3）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析.【解析】（3）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b 2－4ac ＝3求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（3）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 3＝12，x 2＝2．∴a ＝15，方程的另一根为12；（2）①当a ＝3时，方程为2x ＝3，解得：x ＝3.②当a≠3时，由b 2－4ac ＝3得4－4(a －3)2＝3，解得：a ＝2或3．当a ＝2时，原方程为：x 2＋2x ＋3＝3，解得：x 3＝x 2＝－3；当a ＝3时，原方程为：－x 2＋2x －3＝3，解得：x 3＝x 2＝3．综上所述，当a ＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.16、①130、1；③原方程无解．【解析】
（1）首先计算负指数次幂，0次幂，二次根式的混合运算，去掉绝对值符号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解；（2）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．（3）中因为x 2-4=（x+2）（x-2），所以最简公分母为（x+2）（x-2），确定方程的最简公分母后，方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．．
【详解】
解（1）原式=3-1-（1-13）-1=3-1-1+13-1=13（2）()324 121 3x x x x ⎧--≥⎪⎨+-⎪⎩①②解不等式①得，x≤1，解不等式②得，x ＜4，
所以不等式组的解集是x≤1，所以不等式组的非负整数解是0、1．故答案为：0、1．（3）方程两边同乘（x+2）（x-2），得：（x-2）2=（x+2）2+16，整理解得x=-2．经检验x=-2是增根，故原方程无解．（1）本题考查实数的混合运算、解不等式组和解分式方程；（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根，去分母时要注意符号的变化．17、见解析.【解析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.
【详解】
解:(1)①;
②;
(2)原式故答案为:(1)①;②此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.18、（1）OE OF =；（2）OE OF =，OE OF ⊥，见解析；（3【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OC ，∠A=∠C,然后证明AOE ≌COF 即可得到OE=OF ；（2）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OB ，∠A=∠OBF ，利用矩形的判定证明PEBF 是矩形，从而得到BF=AE ，于是可证明AOE ≌BOF ，即可得到OE OF =，OE OF ⊥；（3）同（2）类似，证明OE OF =，OE OF ⊥，然后根据勾股定理即可求出EF 的长.【详解】解：（1）OE =OF ，理由如下：∵ABC 为等腰直角三角形，90B ∠=︒，点O 为斜边AC 的中点，∴OA=OC ，∠A=∠C,∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，
∴OEA OFC 90∠∠==︒,
∴AOE ≌COF ,
∴OE OF =.
故答案是：OE OF =.
（2）OE OF =，OE OF ⊥，理由如下：
如图2，连接OB ，∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AC 的中点，∴OA=OB ，∠A=∠OBF=45︒,∠AOB=90︒，∵PM ⊥AB ，∴∠A=∠APE=45︒，∴AE=PE ，∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，90MPN ∠=︒，∴PEBF 是矩形，∴BF=PE ，∴BF=AE ，在AOE 和BOF 中，OA OB A OBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨
⎪=⎩，∴AOE ≌BOF ,∴OE OF =，AOE BOF ∠∠=，∴EOF BOF BOE AOE BOE AOB 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒,∴OE OF ⊥.故答案是：OE OF =，OE OF ⊥.
（3）如图3，连接EF 、OB ，
∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AC 的中点，∴OA=OB ，∠BAO=∠OBC=45︒,∠AOB=90︒，∴∠EAO=∠OBF=135︒,∵PM ⊥AB ，∴∠APE=∠PAE=BAO 45∠=︒，∴AE=PE ，∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，FPE 90∠=︒，∴PEBF 是矩形，∴BF=PE ，∴BF=AE ，在AOE 和BOF 中，OA OB OAE OBF AE BF =⎧
⎪∠=∠⎨
⎪=⎩，∴AOE ≌BOF ,∴OE OF =
，AOE BOF ∠∠=，∴EOF AOE AOF BOF AOF AOB 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒,∴OE OF ⊥.∴EOF 是等腰直角三角形，∵OE=1，∴=..本题考查了矩形的判定和性质，利用等腰直角三角形的性质得到边角关系从而证明三角形全
等是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
将点P 的坐标代入两个函数表达式即可求解．
【详解】
解：将点P 的坐标代入两个函数表达式得：，解得：k=-1．故答案为：-1．本题考查的是直线交点的问题，只需要把交点坐标代入两个函数表达式即可求解．20、如果22a b ≠，那么a b ¹【解析】根据否命题的定义，写出否命题即可．【详解】如果22a b ≠，那么a b ¹故答案为：如果22a b ≠，那么a b ¹．本题考查了否命题的问题，掌握否命题的定义以及性质是解题的关键．21、0.4m 【解析】先证明△OAB ∽△OCD ，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.【详解】∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABO =∠CDO .∵∠AOB =∠COD ,∴△OAB ∽△OCD ，∴AO :CO =AB :CD ,
∴4:1=1.6:CD ,
∴CD =0.4.
故答案为：0.4.
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
22、185
【解析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【详解】连接BF ，∵BC=6,点E 为BC 的中点,∴BE=3，又∵AB=4，∴5AE ==，∴125BH =，则245BF =，∵FE=BE=EC ，∴90BFC ∠=，∴18.5CF ==故答案为18.5考查翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置不变，对应边和对应角相等是解题的关键.
23、x ﹣1
【解析】
同分母的分式相加，分母不变分子做加减法，然后再讲答案化简即可
【详解】
22
121
(1)(1)
=11111x x x x x x x x x +-+--==-++++，故填x-1
本题考查分式的简单计算，熟练掌握运算法则是解题关键
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y＝x+2；（2）x≤3；（3）P的坐标为（0，）或（0，﹣）.
【解析】
（1）把点C（m，4）代入正比例函数y=x即可得到m的值，把点A和点C的坐标代入y=kx+b求得k，b的值即可；
（2）根据图象解答即可写出关于x的不等式x≤kx+b的解集；
（3）点C的坐标为（3，4），说明点C到y轴的距离为3，根据△BPC的面积为8，求得BP的长度，进而求出点P的坐标即可．
【详解】
（1）∵点C（m，4）在正比例函数的y＝x图象上，
∴m＝4，
∴m＝3，
即点C坐标为（3，4），
∵一次函数y＝kx+b经过A（﹣3，0）、点C（3，4）
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+2；
（2）由图象可得不等式x≤kx+b的解为：x≤3；
（3）把x ＝0代入y ＝x+2得：y ＝2，即点B 的坐标为（0，2），∵点P 是y 轴上一点，且△BPC 的面积为8，∴×BP×3＝8，∴PB ＝，又∵点B 的坐标为（0，2），∴PO ＝2+＝，或PO ＝-+2＝-，∴点P 的坐标为（0，）或（0，﹣）．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键．25、第二周每个小家电的销售价格降了2元【解析】设第二周每个小家电的售价降了x 元，根据第二周的销量乘以每个的利润加上第一周的销量
乘以每个的利润等于4160元，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设第二周每个小家电的销售价格降了x 元.
根据题意，得180(5240)(5240)(18010)4160x x ⨯-+--+=，即26160x x +-=.
解这个方程，得12x =，28x =-（不符合题意，舍去.）答：第二周每个小家电的销售价格降了2元.本题考查了一元二次方程在成本利润问题中的应用，明确销量乘以每个的利润等于总利润是列方程解题的关键．26、见解析【解析】由菱形的性质可得BA BC =，A C ∠=∠，然后根据角角边判定≅ABE CBF ，进而得到AE=CF .【详解】证明：∵菱形ABCD ，∴BA BC =，A C ∠=∠，∵BE AD ⊥，BF CD ⊥，∴90BEA BFC ∠=∠=，在ABE △与CBF V 中，BEA BFC A C BA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CBF AAS ≅（），∴AE=CF ．本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.。