8.5.3平面与平面平行-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

2．解读平面与平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什 么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述 为“若面面平行，则线线平行”. (2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可.
【对点练习】❹ 如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－
A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的
位置关系是
()
A
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[解析] ∵E1 和 F1 分别是 A1B1 和 D1C1 的中点， ∴A1D1∥E1F1，又 A1D1⊄平面 BCF1E1，E1F1⊂平面 BCF1E1， ∴A1D1∥平面 BCF1E1． 又 E1 和 E 分别是 A1B1 和 AB 的中点， ∴A1E1 BE，∴四边形 A1EBE1 是平行四边形， ∴A1E∥BE1，又 A1E⊄平面 BCF1E1，BE1⊂平面 BCF1E1， ∴A1E∥平面 BCF1E1， 又 A1E⊂平面 EFD1A1，A1D1⊂平面 EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1， ∴平面 EFD1A1∥平面 BCF1E1．
易错警示 应用定理条件不足，推理论证不严密致误
典例 4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、 BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB， 又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD， 同理可证，HG∥平面ABCD.
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性
质定理.(逻辑推理) 2．掌握面面平行的判定定理和性 质定理.(逻辑推理) 3．会用面面平行的判定定理和性 质定理证明面面平行、线面平行、
借助长方体，通过直观感知，探索 发现平面与平面平行的判定定理和 性质定理，培养数学抽象，提升逻 辑推理及直观想象素养.
题型二 面面平行性质的应用
典例 2 (2020·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三 个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β 的交点为H，G.
求证：四边形EHFG为平行四边形. [分析] 利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD 及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.
线线平行.(逻辑推理)
知识点1 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的__两__条__相__交__直__线___与另一个平面平
文字语言 行，那么这两个平面平行
符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言
知识点2 两个平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，
[归纳提升] 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
【对点练习】❸ (1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.
求证：Aห้องสมุดไป่ตู้∥平面BDE.
(2)将本例改为：如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M， N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．
文字语言 那么两条交线_平__行____ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥_b___
图形语言
[知识解读] 1．剖析平面与平面平行的判定定理 (1)具备两个条件 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件. ①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P. ②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. (2)体现了转化思想 此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行. (3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内 的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.
3．两个平面平行的一些常见结论 (1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平 面平行. (2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个 平面相交. (3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
[解析] ∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD， ∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC， 同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD. 又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC， ∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC. 而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC.
[证明]
平面ABC∩α＝AC
平面ABC∩β＝EG⇒AC∥EG.
α∥β
同理 AC∥HF.
AACC∥∥EHGF⇒EG∥HF.同理 EH∥FG. 故四边形 EHFG 是平行四边形.
【对点练习】❷ (2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC 中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM 与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED∥A1A，ED＝A1A， 则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD. 又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1． 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB， 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
[归纳提升] 平面与平面平行的判定方法： (1)定义法：两个平面没有公共点； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交 直线分别平行，则α∥β； (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点练习】❶ 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四 边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰ QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
题型探究
题型一 两个平面平行的判定
典例 1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与 B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平 面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.
[解析] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC. 又D、E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E∥DB，C1E＝DB， 则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D. 又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1．
题型三 线线、线面、面面平行的转化
典例 3 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯 形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中 点.
求证：直线EE1∥平面FCC1．
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF， 所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1， AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1， 因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1， 所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C， 所以平面ADD1A1∥平面FCC1． 又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．
[证明] 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC. 又 平 面 PCM∩ 平 面 DEF ＝ NF ， 平 面 PCM∩ 平 面 ABC ＝ CM ， 所 以 NF∥CM.
[证明] (1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形 EFAG为平行四边形，又AF⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，所以AF∥平面BDE.
法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.
(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点， 因为MK∥AD，NK∥DD1， 所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1． 而NK与MK相交， 所以平面MNK∥平面ADD1A1． 因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．
又EF⊂平面 EG，HG⊂平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD. [错因分析] 错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相 交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.
[正解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点， ∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. 同理可证EH∥平面ABCD. 又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E， ∴平面EFGH∥平面ABCD. [误区警示] 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满 足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致， 否则容易导致错误.