高考数学文一轮：一课双测A+B精练二十三正弦定理和余弦定理1

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(二十三) 正弦定理和余弦定理
1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a<b ”是使“cos A>cos B ”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．(·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π
3，b ＝1，
△ABC 的面积为
3
2
，则a 的值为( ) A ．1B ．2 C.3
2
D.3 3．(·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tanA tanB ＝2c
b
，则C ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．45°或135°
D ．60°
4．(·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a2＋b2＝2c2，则cosC 的最小值为( )
A.32
B.22
C.12D ．－12
5．(·上海高考)在△ABC 中，若sin2A ＋sin2B<sin2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定
6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若b ＝2asinB ，则角A 的大小为________．
7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π
3
，则C 的大小为________．
8．(·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b ＝25，B ＝π
4，sinC ＝55
，则c ＝________；a ＝________.
9．(·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cosB
＝－1
4，则b ＝________.
10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB. (1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c.
11．(·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2bsinA ＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＋c ＝5，且a>c ，b ＝7，求AB ―→·AC ―→的值．
12．(·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.
1．(·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acosA ，则sinA ∶s inB ∶sinC 为( )
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
2．(·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin2A ＋B
2
－cos2C ＝7
2
，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c)cosA －acosC ＝0. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，S △ABC ＝33
4
，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
[答 题 栏]
A 级
1._________
2._________
3._________
4._________5
.__________6._________
B 级
1.______
2.______
7.__________8.__________9.__________ 答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(二十三)
A 级
1．选Ca<b ⇔A<B ⇔cosA>cosB.
2．选D 由已知得12bcsinA ＝12×1×c ×sin π
3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋
1－2×2×1×cos π
3
＝3⇒a ＝ 3.
3．选B 由1＋tanA tanB ＝2c
b 和正弦定理得
cos Asin B ＋sin Acos B ＝2sin Ccos A ， 即sin C ＝2sin Ccos A ， 所以cos A ＝1
2，则A ＝60°.
由正弦定理得23sin A ＝22
sin C ，
则sin C ＝
22
， 又c<a ，则C<60°，故C ＝45°.
4．选C 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C ，又c2＝12(a2＋b2)，得2abcos C ＝1
2(a2
＋b2)，即cos C ＝a2＋b24ab ≥2ab 4ab ＝1
2
.
5．选C 由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC ＝a2＋b2－c2
2ab
<0，所以C 是钝角，故
△ABC 是钝角三角形．
6．解析：由正弦定理得sinB ＝2sinAsinB ，∵sinB ≠0， ∴sinA ＝1
2，∴A ＝30°或A ＝150°.
答案：30°或150°
7．解析：由正弦定理可知sinB ＝bsinA a ＝3sin
π33＝12，所以B ＝π6或5π
6(舍去)，所以C
＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π
2
.
答案：π2
8．解析：根据正弦定理得b sinB ＝c sinC ，则c ＝bsinC
sinB ＝22，再由余弦定理得b2＝a2＋
c2－2accosB ，即a2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．
答案：226
9．解析：根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：4
10．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac ＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB. 故cosB ＝
2
2
，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6
4
. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋6
2＝1＋3，
c ＝b ×
sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°
＝ 6. 11．解：(1)因为3a －2bsin A ＝0， 所以3sin A －2sin Bsin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32
. 又B 为锐角，所以B ＝π3
.
(2)由(1)可知，B ＝π
3.因为b ＝7.
根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accos π
3，
整理，得(a ＋c)2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a>c ，故a ＝3，c ＝2.
于是cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝7＋4－947＝7
14，
所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cosA ＝cbcosA ＝2×7×
7
14
＝1. 12．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B(tan A ＋tan C)＝ tan Atan C ， 所以sin B ⎝
⎛⎭⎪
⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C
，
因此sin B(sin Acos C ＋cos Asin C)＝sin Asin C ， 所以sin Bsin(A ＋C)＝sin Asin C. 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C)＝sin B ， 因此sin2B ＝si n Asin C. 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．
(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，
由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝12＋22－22×1×2＝3
4，
因为0<B<π，所以sinB ＝1－cos2B ＝
7
4
， 故△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×1×2×74＝7
4
.
B 级
1．选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·
n ＋1
2＋n2－
n ＋2
2
2n n ＋1
，化简得
7n2－13n －60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.
2．解析：因为4sin2A ＋B 2－cos2C ＝7
2，
所以2[1－cos(A ＋B)]－2cos2C ＋1＝7
2，
2＋2cosC －2cos2C ＋1＝72，cos2C －cosC ＋1
4＝0，
解得cosC ＝12.根据余弦定理有cosC ＝12＝a2＋b2－7
2ab
，
ab ＝a2＋b2－7,3ab ＝a2＋b2＋2ab －7＝(a ＋b)2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝33
2
.
答案：33
2
3．解：(1)法一：由(2b －c)cos A －acos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C)cos A －sin Acos C ＝0， ∴2sin Bcos A －sin(A ＋C)＝0，
sin B(2cos A －1)＝0. ∵0<B<π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝1
2.
∵0<A<π，∴A ＝π
3
.
法二：由(2b －c)cos A －acos C ＝0，
及余弦定理，得(2b －c)·b2＋c2－a22bc －a ·a2＋b2－c2
2ab ＝0，
整理，得b2＋c2－a2＝bc ，∴cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝1
2，
∵0<A<π，∴A ＝π
3
.
(2)∵S △ABC ＝12bcsin A ＝33
4，
即12bcsin π3＝33
4， ∴bc ＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccos A ，a ＝3，A ＝π3，
∴b2＋c2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）
18．若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，
解得==3a b -0，。

……2分 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，
∴()()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，
解得123==1=2x x x -，。

……2分
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

……2分
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

……2分 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-
当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和2 ， ∵()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为1和2。

……2分
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <-----， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，
时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，
无实根。

②当()1 2
x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d <时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

……3分
现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

……3分
【典型错误】（2）∵
3()3f x x x =-，
∴()
()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

所以，极值点为1，2。

（丢分情况严重）
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若126
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得 2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒
……2分
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

……2分
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴
设
1
AF 、
2
BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴()
2
22122
11112
11
221221=0=22=1
x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩。

……2分 ∴()()
()
)22222
2
22
1111122112210==12
m m m m m AF x y my y m m +++++++-++=+。

①
同理，
)2221=
2
m BF m +-+。

②
（i ）
由①②得，12AF BF -=
……2分
得2m =2。

∵0m >
，∴m ，∴直线1AF
的斜率为
1m 。

……2分 （ii ）
证明：∵1AF ∥2BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =
， 即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。

∴(
)(
)
122
1221121
212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，
)21
21=2
m
AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，……4分
∴12+2PF PF 12PF PF +
是定值。

……2分 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上列式求解。

计算错误严重。

（2）（ⅰ）根据已知条件12AF BF -= 含参式子的运算能力低。

十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：
设2
1BF λ=，则⎩⎨⎧=-=+2
121)1(1y y x x λλ，由122
121=+y x ，得 12
)1(2
222=++-y x λλλ。

又122
222=+y x ，故λλ2132-=x ，2
31-=λx ，而321=+x x ， 得23+=
λ，于是2131-=
x ，4
)
13(22+=x 。

所以，2
21111=
+=
x y k AF 。

（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。

20．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11
，∴1n a +。

∴11n n b
a ++=
∴()2
2
2
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴
1
1n
<a+=≤
设等比数列{}
n
a的公比为q，由0
n
a>知0
q>，下面用反证法证明=1
q 若1,
q>
则2
12
=
a
a<a
q
≤
，∴当
1
log q
n>
时，11n
n
a a q
+
=，与（﹡）矛盾。

若01,
<q<则2
12
=1
a
a>a>
q
，∴当
1
1
log q
n>
a
时，111
n
n
a a q<
+
=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1
q。

∴()
1
*
n
a a n N
=∈
，∴1
1<a≤
又∵1
1
n
n n
n
b
b b
a
+
=()*
n N
∈，∴{}
n
b
1
的等比数列。

若1a≠
1
1，于是123
b<b<b。

又由
2
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
+
=
+
即
1
a=
，得
1
1
n
b
a-。

∴
123
b b b
，，中至少有两项相同，与123
b<b<b
矛盾。

∴1a。

∴
1
n
b
-
12
=
a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【典型状况】（1）①写出
22
1
1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
而不知道给出结论。

②写出了
2
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
=
+
+
，不能进行下一步的变换。

③根据前三项成等差，说明结论，不给分。

④罗列几个条件下结论，不给分。

（2）根据基本不等式得到
1
1n
<a+≤{}
n
a
的公比=1
q。

凭感觉下结论。

第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错
误；③做成了
22
n
n b a ，导致错误.
第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由n n
n a b b 2
1=+利用累
乘得出
n b ，2分；得出{}n a 的范围，3分.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．
证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到
B C ∠=∠。

从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

B ．[选修4 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值．
解：∵1-A A =E ，∴()
1
1
--A =A 。

∵1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。

∴矩阵A 的特征多项式为()2
2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。

令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C 经过点(
)
24
P
π
，
，圆心为直线3
sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭与极轴的交点，
∴在3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点(
)24
P
π
，
，∴圆C 的半径为()
2
22
1212cos
=14
PC π
=+-⨯⨯。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆
C 经过点(
)
24
P
π
，
求出圆C 的半径。

从而得到圆C 的极坐标方程。

D ．[选修4 5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足：11
|||2|36
x y x y +<-<，，
求证：5
||18
y <．
【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|36x y x y +<
-<，，
∴1153||=366y <+。

∴5
||18
y <。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．设集合{12}n P n =，，，…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n p ∈，则A C x n
p ∉2。

（1）求(4)f ；
（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 解：（1）当=4n 时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，，
∴(4)f =4。

(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，···经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。

于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数；若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数。

于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。

当n 为偶数〔或奇数）时，n P 中奇数的个数是
2n （12
n +）。

∴()()2
122()=2n
n n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩
为偶数为奇数。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

22．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．
（1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有2
3
8C 对相交棱。

∴232128834
(0)=6611
C P C ξ⨯==
=。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6对，
∴2
12661(6611P C ξ===
，416
(1)=1(0)(=111111
P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：
ξ
0 1
()P ξ
4
11 611 111
∴其数学期望61()=11111E ξ⨯
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。

（2
的共有6
对，即可求出(P ξ=，从而求出(1)
P ξ=
（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量 的分布列，求出其数学期望。

高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）
1．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．8cm3 B．12cm3 C．D．
2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）
A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]
3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）
A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．B．C．D．
6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）
A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|
8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）
A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．
10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值
是．
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．
12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．
13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．
14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．
15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足
，且对于任意x，y∈R，
=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|=．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．
19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
20．（15分）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；
（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）
1．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．8cm3 B．12cm3 C．D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）
A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．
【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，
解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），
∴∁RP=（0，2），
∵Q=（1，2]，
∴（∁RP）∩Q=（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）
A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．
∵d≠0，∴，
∴，
=＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，
则===，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card （B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：A．
【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．
7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）
A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|
【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；
令t2﹣1=x，则t=±；
∴；
即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）
A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α
【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．
【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；
②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，
α=∠A′OE，连结AA′，
易得∠ADA′＜∠AOA′，
∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
综上所述，∠A′DB≥α，
故选：B．
【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．
【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，
∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．
故答案为：2；y=±x．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．
【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f （x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1时，f（x）=，即最小值，
当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，
故f（x）的最小值是．
故答案为：0；．
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．
【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1
=（1﹣cos2x）+sin2x+1
=sin（2x﹣）+，
∴原函数的最小正周期为T==π，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．
【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．
【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，
即2a=，。