重庆市铁路中学校2018-2019学年上期高三年级10月理科数学考试题及答案

重庆市铁路中学校2018-2019学年上期高三年级月考试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150 分,考试时间120 分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．已知
()2
1i =1i z
-+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．已知命题：，，命题：
，则下列说法正确的是（ ） A ．命题是假命题 B ．命题是真命题 C ．命题是真命题
D ．命题是假命题
4．已知函数，则
（ ） A ．4
B ．
C ．
D ． 5．执行如图所示的程序框图，若输出m 的值为35， 则输入a 的值为 ( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11
a =，则4s =（ ） A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
7．函数的图象大致是（ ）
{}2430 A x x x =-+<{}
124,x
B x x =<≤∈N A
B =∅(]12，
{}2{}12，
p x ∃∈R 20x ->q x ∀∈R x p q ∨p q ∧()p q ∧⌝()p q ∨⌝()5log 020x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，
,125f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
144-14
-()2
2x
f x x =-
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知，，与的夹角为，则（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知函数 的周期为2,当x 时, , 如果 ，则函数 的所有零点之和为（ ）
A.10-
B. 8-
C. 0
D. 8
10．已知函数 ，则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要．．．．．条．件．是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式
的解集为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．对于函数和，设，，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”．与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
()2sin13,2sin77=︒︒a 1-=a b a -a b 3
π
⋅=a b 16a ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭，12a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，12a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，1126a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，()'f x ()f x ()()()'f x f x x >∈R ()1e f =e ()ln f x x <()0,e (01e e 2⎛⎫
⎪⎝⎭
，)
()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}
0x g x β∈=αβ1αβ-≤()f x ()g x ()1e 2x f x x -=+-()23g x x ax a =--+a []24，723⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，733⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，[]23，
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．已知幂函数
的图象过点（
，
），则log 4 f(2)的值为__________． 14．设x ，y 满足约束条件1400
x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．
15．在6
1(1)(2)x x
+-的展开式中，常数项为．（用数字作答）
16．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是___________． 三、解答题：共70分。

解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。

并答在答题 卡相应的位置上．第17题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题 第23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分，其中第1小问7分，第2小问5分）已知向量 (sin ,cos ),x x ωω=
(cos ,cos )x x ωω，其中ω>0，
函数 · -1的最小正周期为π． (Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求函数)(x f 在[6π，4
π
]上的最大值．
18.（本小题满分12分，其中第1小问6分，第2小问6分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，481a =，且23,a a 的等差中项为18. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3log n n b a =，2
1
41
n n c b =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1
2
n T <
()()22cos f x mx x m m =++∈R 0x =m
∆中，a，b，c分别是角A，B，19．(本小题满分12分，其中第1小问5分，第2小问7分）在ABC
C的对边，已知3cos sin3
-=．
b C C a
∠的大小；
（Ⅰ）求B
>，D为AC的中点，且BD=sin A的值．
（Ⅱ）若b=a c
20.（本小题满分12分，其中第1小问6分，第2小问6分）微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：
(Ⅰ)如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请完成上述2×2列联表，据此判断是否有85％的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关?
(Ⅱ)如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表供参考：
参考公式：其中n=a+b+c+d．
其中0mn ≠.
（I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间； （II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分，其中第1小问5分，第2小问5分） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐
标方程为4cos ρθ=,直线
的参数方程为11⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩x y (t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线的普通方程；
(2)若曲线C 2的参数方程为2cos sin αα=⎧⎨=⎩x y ,(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4
，点Q 为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线的距离的最大值．
23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分，其中第1小问5分，第2小问5分） 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|，其中a 为实常数． (1)若函数f(x)的最小值为3，求a 的值；
(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a 的取值范围．
重庆市铁路中学校2018-2019学年上期高三年级月考试题答案
数学（理科）
一、选择题
1-5．CDCBA 6-10．CBBBC 11-12．AD
10．解析：，若在上不单调，
令，则函数与轴在有交点， 设其解为，，则，因此方程的两解不可能都大于1，
∴其在中只有一解，其充要条件是， 解得或，因此选项C 是满足要求的一个充分必要条件．故选C ． 11．解析：构造，则，
∵，∴，在定义域内单调递增，， 则不等式，，由，即
，∴，，，
综上，不等式的解集为．故选A ．
12．解析：，为单调递增的函数，且是函数唯一的零点，
由，互为“零点相邻函数”，则的零点在之间． （1）当有唯一的零点时，，解得，解得满足题意； （2）当在之间有唯一零点时，，解得； （3）当在之间有两个点时，，，解得； 综上所述，解得．故选D ． 二、填空题： 13．
14。

15．128-16． ， ）
16．解析：∵，∴，
()21241
24ax ax f x ax a x x
-='-=--()f x ()13，()2241g x ax ax =--()2241g x ax ax =--x ()13，1x 2x 122x x +=()13，()()241181210a a a a ----<12a <-
1
6
a >()()e x
f x F x =()()()()
()()
2
e e e e x x
x x
f x f x f x f x F x '-=
=
''-()()f x f x '>()0F x '>()()1e
11e
e
f F =
=
=()ln f x x <()0x ∈+∞，()ln 1f x x
<()ln ln 1e
x
f x <()()ln 1F x F <ln 1x <e x <()0,e ()1e 2x f x x -=+-()f x 1x =()f x ()
g x ()g x []02，
()g x 0∆=2a =1x =()g x []02，
()()020g g ≤733a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()g x []02，
0∆>()()020g g ≥(]23a ∈，[]23a ∈，[]2,4-()22cos f x mx x m =++()()22sin g x f x mx x =-'=
∴．
① 当时，恒成立，即在上递增，
若时，则．若时，则．
故函数在递增，在递减，故在处取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，即在上递减，
若时，则．若时，则．
故函数在递减，在递增， 故在处取得极大值，不符合题意；
③当时，使得，即， 但当时，即，在递减， 故，即在递减，不符合题意．综上所述：的范围是． 三、解答题：
17．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω
=)4
2sin(22cos 2sin π
ωωω+
=+x x x ． ……………………………6分
由题意知：π=T ，即
πω
π
=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵ 6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤4
3π
，
又函数y =sin x 在[127π，43π
]上是减函数，……………………………9分
∴ )
34sin(
212
7sin
2)(max π
ππ+==x f ……………………………………10分
3
sin
4
cos
23
cos
4
sin
2π
π
π
π
+==
2
1
3+．………………12分 18.（1）设等比数列的公比为， 由题意，得………………………………………………………………………2分
即两式相除，得，
解得，或，…………………………………………………………………………4分
()()22cos 2cos g x m x m x =-=-'1m ≥()0g x '≥()f x 'R 0x >()()00f x f ''>=0x <()()00f x f ''<=()f x ()0+∞，
()0-∞，()f x 0x =1m ≤-()0g x '≤()f x 'R 0x >()()00f x f ''<=0x <()()00f x f ''>=()f x ()0+∞，
()0-∞，()f x 0x =11m -<<()00,x ∃∈π0cos x m =()00g x '=()00x x ∈,cos x m >()0g x '<()f x '()00,x ()()00f x f ''<=()00,x m [)1+∞，
{}n a ()0q q >423
81
182
a a a =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩31181(1q)36
a q a q ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩2
4990q q --=3q =3
4
-
∵,∴,解得， ……………………………………………………………5分
所. …………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得，…………………………………………………………7分
∴， ……………………………………………………………9分 ∴………11分 .…………………………………………………………………………………12分 19
．解：（Ⅰ）由3cos sin 3b C C a =得：
3sin cos sin 3sin()B C B C B C =+…………………………………………2分
3sin cos sin 3(sin cos cos sin )B C B C B C B C =+
即：sin 3cos sin B C B C =，
∴tan B =∴23
B π
=
．………………………………………………5分 （Ⅱ）∵cos cos ADB CDB ∠=-∠，由余弦定理得：
22222222AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD
+-+-=-
∵D 为AC
的中点，AD CD =
BD =
∴2220AB BC +=，即22
20a c += ………………………………………7分 由2222cos b a c ac B =+-∠得：22
28a c ac =++…………………………8分
∴8ac =，∴4a =，2c = …………………………………………………10分
由 sin sin a b A B =∠∠
得4sin sin a B A b ∠∠===12分
0q >3q =13a =113n n
n a a q -==3log 3n
n b n ==2
1
1114122121n c n n n ⎛⎫=
=- ⎪--+⎝⎭
11111111111(1)2335
2121221242n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=-
=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
1
2
n T <
21解:ln x
分 当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->；
当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<．……………3分 故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；
若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分
，()2111ln ...+m x n x x ∴=①，
同理，()
2
222+ln ...m x n x x =②
由①-分
分
1
22112
ln
20x x x x x x +<-+，
即证：1
12
12
2
21ln +
01x x x x x -
>+（）
，……………9分
()1'p t t =()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，
()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分
22．解:(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2
，x ＝ρcos θ代入，
得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. ……………………………3分
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，
y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线的普通方程为x ＋2y －3＝0. ………………5分 (2)由题设，点P 的极坐标为2,)4π
，其直角坐标为(2，2)．……………………7分 设点Q(2cos α，sin α)，则PQ 的中点M 的坐标为1(1cos ,1sin )2αα++
.………………8分 点M 到直线的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|
5＝105⎪⎪⎪⎪sin ()α＋π4≤105
. 所以点M 到直线的距离的最大值为105.……………………………10分)
23．解：(1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|≥|(x＋a)－(x －2)|=|a ＋2|…………3分 当且仅当(x ＋a)(x －2)≤0时取等号，则f(x)min ＝|a ＋2|.
令|a ＋2|＝3，则a ＝1或a ＝－5. ……………………………5分
(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x ＋a|＋2－x ，|x －4|＝4－x.
由f(x)≤|x－4|，得|x ＋a|＋2－x≤4－x ，即|x ＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2， 即―x －2≤a≤－x ＋2.所以(－x －2)max ≤a ≤(－x ＋2)min . ……………………………8分 因为函数y ＝－x －2和y ＝－x ＋2在[1，2]上都是减函数，则当x=1时，(－x －2)max =－3； 当x=2时，(－x ＋2)min ＝0，所以a 的取值范围是[－3，0]．………………………10分。