(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.2排列与组合课件

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【典例】 (2021浙江高考样卷)如下图,某货场有两堆集装箱,一
堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的
一个集装箱,那么在装运的过程中不同取法的种数是
A

A

=
(-1)(-2)…(- +1)
,A =n!
-
(2)C = C
!
=
;
-1

, C+1
= C + C
!
!(-)!
-5知识梳理
双击自测
1.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,那
么男女生都有的选法种数是(
)
A.18
B.24
C.30
对点训练(1)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙
两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序种数为(
)
A.30 B.600 C.720 D.840
关闭
若只有甲乙其中一人参加,则有C21 C53 A44 =480(种)方法;若甲乙两人都
参加,则有C22 C52 A44 =240(种)方法.所以共有 480+240=720(种)方法.故
×
关闭
故共有不同的分派方法
90+60=150(种).
A
解析
-21答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.选排问题的特点是入选的元素少于总元素,解决这类
问题可以分步进展,先选元素,再排列.
2.解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都
是一种情况,所以分组后一定要除以 A (n为均分的组数),防止重复
10.2
排列与组合
-2-
年份
2016 2015 2014
9,5 分(理)
排列与组合 16,4 分 16,4 分
14,4 分(理)
考查要求
考向分析
2018
2017
1.了解排列、组合的概念.
2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题.
排列组合知识考查比较灵活多变,既可单独命题,也可
以同概率知识结合起来考查.
全为偶数,或 2 个奇数和 2 个偶数,所以不同的取法有C54 + C44 +
C52 C42 =66(种).
关闭
D
解析
-16答案
考点一
考点二
考点三
方法总结组合问题常有以下两类题型变化:
(1)“含有〞或“不含有〞某些元素的组合题型:假设“含有〞,
那么先将这些元素取出,再由另外元素补足;假设“不含有〞,那么
一种型号的电视机,故不同的取法共有− C43 − C53 =70 种,应选 C.
解法 2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙
型 2 台;甲型 2 台乙型 1 台;故不同的取法有C52 C41 + C51 C42 =70 种,应选
关闭
C.
C
解析
-19答案
考点一
考点二
考点三
A 22
=45(种)分组方法.
这四组分赴四个不同场馆有A44 种方法.
所以根据分步乘法计数原理,不同的分配方案有 45·A44 =1 080(种)方关闭
法.
1 080
解析
-24答案
-25-
易错警示——定序问题
定序问题是排列组合问题中的易错点,也是难点.处理定序问题
关键是先弄清楚几个元素是定序的,再除以其全排列数即可.
-3知识梳理
双击自测
1.排列与组合的概念
名称
排列
组合
定
义
从 n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素
按照一定的顺序
排成一列
合成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有
不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用
A
___________表示.
矮相间的一个队形,那么甲、丁不相邻的不同排法共有(
)
A.12种
B.14种
C.16种
D.18种
关闭
从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 5 人可记为 1,2,3,4,5.要求 1,4 不相
邻.分四类:①先排 4,5 时,则 1 只有 1 种排法,2,3 在剩余的两个位上,
这样有A22 A22 =4 种排法;②先排 3,5 时,则 4 只有 1 种排法,2,1 在剩余
排列、组合的综合应用(考点难度★★★)
考情分析排列组合的综合应用问题是高考的重点和难点,主要考察
两类问题,一类是选排问题,另一类是分堆问题.
类型一 选排问题
【例3】 从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共
可以组成
个没有重复数字的四位数.(用数
字作答)
关闭
若不取零,则排列数为C52 C32 A44 ,若取零,则排列数为C52 C31 A13 A33 .
因此一共有C52 C32 A44 + C52 C31 A13 A33 =1 260 个没有重复数字的四位数.
1260
解析
关闭
-20答案
考点一
考点二
考点三
类型二 分堆问题
【例4】 有5名志愿者分到了3个学校支教,每个学校至少去一名
志愿者,那么不同的分派方法共有(
)
A.150种
B.180种 C.200种 D.280种
展实验,不同种植方法的种数为
.
关闭
由题意知,从 5 种蔬菜品种中选出 4 种,分别种植在 4 块不同的土地
上,相当于从 5 个不同的元素中选出 4 个进行排列,每一个排列对应
着一种不同的种植方法,因此有A45 =120 种.
关闭
120
解析
答案
-9知识梳理
双击自测
5.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里,使得每
D.36
关闭
法一:选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有C42 C31 =18(种),
选出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有C41 C32 =12(种),故选
出的 3 名学生中男女生都有的选法有 18+12=30(种).
法二:用从 7 名同学中任选 3 名的方法数,减去所选 3 名同学全是男
C52 ·C61 ·C21 =120(种)选法.故共有 345 种选法.故选 D.
关闭
D
解析
-18答案
考点一
考点二
考点三
(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少有甲型和乙
型电视机各一台,那么不同的取法共有(
)
A.140种
B.80种
C.70种
D.35种
关闭
解法 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另
1,3不相邻,数字2,5相邻,那么这样的五位数的个数是
(用数字作答).
关闭
先把 2,5 捆挷,有 2 种方法,再把它与 4 排列,有 2 种排法,此时共有 3
个空供数字 1,3 插入,有A23 =6 种方法.故这样的五位数的个数是
2×2×6=24.
关闭
24
解析
-11答案
考点一
考点二
考点三
(2)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可
D
解析
关闭
答案
-7知识梳理
双击自测
3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(
A.8
B.24
C.48
D.120
)
关闭
先排个位有A12 种排法,再排前三位有A34 种排法,故共有A12 A34 =48 种排
法.
关闭
C
解析
答案
-8知识梳理
双击自测
4.从5种蔬菜品种中选出4种,分别种植在不同土质的4块土地上进
的两个位上,这样有A22 A22 =4 种排法;③先排 1,2 时,则 4 只有 1 种排
法,3,5 在剩余的两个位上,这样有A22 A22 =4 种排法;④先排 1,3 时,则这
样的数只有两个,即 21534,43512,有两种排法.综上,共有
关闭
4+4+4+2=14
种排法,应选 B.
B
解析
-14答案
计数.
(2)对于局部均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,
即假设有m组元素个数相等,那么分组时应除以m!,分组过程中有
几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数.
(3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素
的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.
-22-
考点一
考点二
考点三
关闭
3
3
3
生或全是女生的方法数,即C
7 − C4 − C3 =30.
C
解析
答案
-6知识梳理
双击自测
2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为
(
)
A.144
B.120 C.72
D.24
关闭
插空法.在已排好的三把空椅子产生的 4 个空当中选出 3 个插入 3
人即可.故排法种数为A34 =24.故选 D.
以不相邻),那么不同的排法有(
)
A.24种
B.60种
C.90种
D.120种
关闭
因为 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同,所以题设的排法只
1
是 5 个元素全排列数的一半,即2 A55 =60 种.故选 B.
关闭
B
解析
-12答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析
同学;乙组有6名男同学、2名女同学.假设从甲、乙两组中各选出2
名同学,那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(
)
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
关闭
选出的 4 人中恰有 1 名女同学的情况可分两类:①从甲组中选出一名
女同学,有C51 ·C31 ·C62 =225(种)选法;②从乙组中选出一名女同学,有
法、元素分析法.在实际进展排列时,一般采用特殊元素优先原那
么,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过
多的问题可以采用间接法.
2.对相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法,定序问题采用
倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
-13-
考点一
考点二
考点三
对点训练假设把身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高
考点一
考点二
考点三
组合问题(考点难度★★)
【例2】 (1)(2021浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副
队长1人,普通队员2人组成4人效劳队,要求效劳队中至少有1名女
生,共有
种不同的选法.(用数字作答)
关闭
由题意可得,总的选择方法为C84 C41 C31 种方法,其中不满足题意的选法
有C64 C14 C31 种方法,则满足题意的选法有:C84 C41 C31 − C64 C41 C31 =660(种). 关闭
个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,那么不同的放球方法共有
种.(用数字作答)
关闭
不同的放球方法共有C72 + C73 + C74 =21+35+35=91(种).
关闭
91
解析
答案
-10知识梳理
双击自测
自测点评
1.排列与组合最根本的区别在于“有序〞和“无序〞.取出元素
后交换顺序,如果与顺序有关,那么是排列;如果与顺序无关,那么是

(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有
不同组合 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,
用 C 表示.
-4知识梳理
双击自测
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
性质
!
(1)m
n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =
;
(-)!
(2)C
=
(1)0!=1
先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少〞或“最多〞含有几个元素的组合题型:解这类题目必
须十分重视“至少〞与“最多〞这两个关键词的含义,谨防重复与
漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考
虑逆向思维,用间接法处理.
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考点一
考点二
考点三
对点训练(1)(2021浙江宁波十校联考)甲组有5名男同学,3名女
关闭
依题意 5 个人分配到 3 个学校且每个学校至少去一个人,因此可将 5
C 15 C 24 C 22
人按人数分成 1,2,2 与 1,1,3 两种,当人数是 1,2,2 时,有分法
A33 =90(种).当人数是
C 15 C 14 C 33
1,1,3 时,有分法
A 22
× A33 =60(种).
A 22

组合.
2.组合数的性质的应用主要是三个方面,一是简化运算,当 m> 时,
通常将计算C 转化为计算C- ;二是列等式,由C =
x+y=n;三是用于恒等变形简化运算.

C 可得
2
x=y 或
考点一
考点二
考点三
排列问题(考点难度★★)
【例1】 (1)用数字1,2,3,4,5构成数字不重复的五位数,要求数字
660
解析
-15答案
考点一
考点二
考点三
(2)假设从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,
那么不同的取法共有(
)
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
关闭
1~9 这 9 个整数中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使所取
的 4 个不同数的和为偶数,必须使所取的 4 个不同的数全为奇数,或
选 C.
关闭
C
解析
-23答案
考点一
考点二
考点三
(2)2021年中华人民共和国第十三届运动会在天津举行,将6名志
愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆效劳,其中两个组
各2人,另两个组各1人.不同的分配方案有
种(用数字作
答).
关闭
C 26 C 24
将 6 名志愿者分为 2 名,2 名,1 名,1 名四组,有