北师大版2020届九年级数学下册类比归纳专题切线证明的常用方法

类比概括专题：切线证明的常用方法
——弄清不一样条件下证明方式，领会异同
◆ 种类一有切点型：连半径，证垂直
一、利用角度变换证垂直
1．(2017 ·肥城市二模) 如图，等边△ ABC 中，点 O在边 AB上，⊙O 过点 B 且分别与边AB、 BC交于点 D、 E， F 是 AC上的点，以下说法错误的选项是()
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
3
D．若BE＝2EC，则AC是⊙O的切线
2．( 2017·景德镇二模 ) 如图，Rt△ABC中，∠ C＝90°，点 O是 AB边上一点，以 OA为半径作⊙O 与边 AC交于点 D，连结 BD，若∠ DBC＝∠ A，求证： BD是⊙O的切线．【方法 10③】
3．如图，以△ ABC 的 BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C 两点且与BC边交于点E，点 D为 CE的下半圆弧的中点，连结 AD交线段 EO于点 F，若 AB＝ BF. 求证：AB是⊙O的切线．【方法 10③】
二、利用全等证垂直
1
1 / 3
4．如图， AB 是⊙O的直径， PB 与⊙O相切于点 B，弦 AC∥OP， PC交 BA的延伸线于点 D，求证： PD是⊙O 的切线．【方法 10③】
◆ 种类二无切点型：作垂直，证半径
5．如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，∠ BAC 的均分线交 BC于点 O， OC＝1，以点 O 为圆心、 OC为半径作半圆．求证： AB为⊙O 的切线．
2
2 / 3
参照答案与分析
1．C 分析：连结OE，则OB＝OE. ∵∠B＝60°，∴∠BOE＝60°. ∵∠BAC＝60°，∴∠BOE ＝∠ BAC，∴ OE∥ AC.∵ EF⊥ AC，∴ OE⊥EF，∴ EF是⊙ O的切线，∴A 选项正确．∵ EF是⊙ O 的切线，∴OE⊥EF.又OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确．过O作OH⊥AC于H，∵∠B＝60°，
3
OB＝ OE，∴ BE＝ OB.∵ BE＝ CE，∴ BC＝ AB＝2BO，∴AO＝ OB.∵∠ BAC＝60°，∴ OH＝2 AO≠OB，
∴C 选项错误．∵＝3 ，∴
＝ 2
3
. ∵＝，＝，∴＝＝2
3 ，∴
BE 2 EC CE 3 BE AB BC BO BE AO CE 3OB OH 3
＝2 AO＝OB，∴ AC是⊙ O的切线，∴D选项正确．应选 C.
2．证明：连结OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.∵∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°. 又∵∠CBD＝∠ A，∴∠ ADO＋∠ CDB＝90°，∴∠ ODB＝180°－(∠ ADO＋∠ CDB)＝90°.∴ BD是
⊙ O的切线．
3．证明：连结OA，OD.∵点D为CE的下半圆弧的中点，∴∠ EOD＝90°，∴∠ D＋∠ OFD ＝90°. ∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D. 又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋
∠ BAF＝∠ D＋∠ OFD＝90°，即∠ OAB＝90°，∴ OA⊥ AB，∴ AB是⊙ O的切线．
4．证明：如图，连结OC.∵AC∥OP，∴∠ 1＝∠ 2，∠3＝∠ 4. ∵OA＝OC，∴∠ 1＝∠ 3. ∴∠2
OC＝ OB，
＝∠ 4. ∵在△POC与△POB中，∠2＝∠ 4，∴△ POC≌△ POB(SAS)，∴∠ PCO＝∠ PBO.∵ PB
OP＝ OP，
切⊙ O于点 B， AB是⊙ O的直径，∴∠ PBO＝90°，∴∠ PCO＝90°，∴ PC与⊙ O相切．5．证明：过点O作OM⊥AB于M. ∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC. 又∵AO均分∠CAB，OM⊥AB，∴ OM＝ OC，∴ AB是⊙ O的切线．
3
3 / 3。